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8 如图，$∠ A = 48°$，$\odot O$ 截 $△ ABC$ 的三边所得的弦长相等，则 $∠ BOC$ 的度数为（
A.$96°$
B.$114°$
C.$132°$
D.$138°$
B
）A.$96°$
B.$114°$
C.$132°$
D.$138°$
答案
8. B 解析:如图,过点O分别作△ABC三边的垂线,垂足分别为D,E,F.因为⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等,所以易得OD=OE=OF.所以O为△ABC的三个内角平分线的交点.所以$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$,$∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$.所以$∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A=90°+\frac{1}{2}×48°=114°$.
9 如图，AB和DE是$\odot O$的直径，弦$AC// DE$，连结$CE$，$BE$.若弦$BE$的长为3，则弦$CE$的长为
3
.答案
9. 3 解析:如图,连结OC.因为AC//DE,所以∠A=∠1,∠2=∠ACO.因为OA=OC,所以∠A=∠ACO.所以∠2=∠1.所以CE=BE=3.
10 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，E都在$\odot O$上，$OC⊥ AB$，$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{AE}$，$DE// AB$交OC于点D，延长OC至点F，使$FC=OC$，连结EF.
（1）求证：$CD=OD$；
（2）若$\odot O$的直径是4，求EF的长.
（1）求证：$CD=OD$；
（2）若$\odot O$的直径是4，求EF的长.
答案
10. (1) 连结OE,CE.因为OC⊥AB,所以∠AOC=90°.因为$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{AE}$,所以∠COE=2∠AOE.所以$∠COE=\frac{2}{3}∠AOC=\frac{2}{3}×90°=60°$.又OE=OC,所以△OCE为等边三角形.所以OE=CE.因为DE//AB,OC⊥AB,所以DE⊥OC.所以CD=OD
(2) 因为⊙O的直径是4,所以OE=OC=CF=2.由(1),得$CD=OD=\frac{1}{2}OC=1$,$DE⊥OC$,所以在Rt△ODE中,$DE=\sqrt{OE^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.又DF=CD+CF=1+2=3,所以在Rt△EDF中,$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+3^2}=2\sqrt{3}$
(2) 因为⊙O的直径是4,所以OE=OC=CF=2.由(1),得$CD=OD=\frac{1}{2}OC=1$,$DE⊥OC$,所以在Rt△ODE中,$DE=\sqrt{OE^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.又DF=CD+CF=1+2=3,所以在Rt△EDF中,$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+3^2}=2\sqrt{3}$
11 如图，在$\odot O$中，弦AB，CD相交于点P，连结AC，BD，OP，$∠ PAC=∠ PDB$.若$AB=CD$，$∠ APO=65°$，求$∠ APC$的度数.
答案
11. 连结OA,OD.因为AB=CD,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$.所以$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}-\overset{\frown}{BC}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$.所以AC=DB.在△APC和△DPB中,$\begin{cases}∠APC=∠DPB,\\∠PAC=∠PDB,\\AC=DB,\end{cases}$所以△APC≌△DPB.所以PA=PD.在△AOP和△DOP中,$\begin{cases}PA=PD,\\OA=OD,\\OP=OP,\end{cases}$所以△AOP≌△DOP.所以∠APO=∠DPO=65°.所以∠APD=∠APO+∠DPO=65°+65°=130°.所以∠APC=180°-∠APD=180°-130°=50°
12 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,D,E分别是OA,OB上的点,且$AD=BE$,弦CM,CN分别过点D,E.求证:
(1) $CD=CE$;
(2) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
(1) $CD=CE$;
(2) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
答案
12. (1) 如图,连结OC.因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,所以∠COD=∠COE.因为OA=OB,AD=BE,所以OA-AD=OB-BE,即OD=OE.在△COD和△COE中,$\begin{cases}OD=OE,\\∠COD=∠COE,\\CO=CO,\end{cases}$所以△COD≌△COE.所以CD=CE
(2) 如图,连结OM,ON.由(1),得△COD≌△COE,所以∠ODC=∠OEC,∠OCD=∠OCE.因为OC=OM=ON,所以∠OCM=∠OMC,∠OCN=∠ONC.所以∠OMD=∠ONE.因为∠ODC=∠OMD+∠MOD,∠OEC=∠ONE+∠NOE,所以∠MOD = ∠NOE,即∠MOA = ∠NOB.所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$
