4. 某等腰三角形的腰长为2cm，底边长为2$\sqrt{3}$cm，则顶角为，面积为。

$120^{\circ}$；$\sqrt{3}cm^{2}$

本题可根据等腰三角形的性质，通过作底边上的高，构造直角三角形，再利用三角函数或勾股定理来求解顶角和面积。
求顶角：
作等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，这条高也是底边的中线以及顶角的角平分线。
此时底边的一半为$\sqrt{3}$cm，腰长为$2$cm，$\cos\frac{1}{2}\mathrm{顶角}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{1}{2}\mathrm{顶角}=30^{\circ}$，则顶角为$120^{\circ}$。
求面积：
由上述可知底边的高为$1$cm，底边为$2\sqrt{3}$cm，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，可得该等腰三角形面积为$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$ $cm^{2}$。

5. 如图，P(12，a)在反比例函数y=$\frac{60}{x}$的图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为。

$\frac{5}{12}$（或填“$5/12$” ）

点 $ P(12, a) $ 在反比例函数 $ y = \frac{60}{x} $ 的图象上，因此有$a = \frac{60}{12} = 5$。
所以点 $ P $ 的坐标为 $ (12, 5) $。
$ PH $ 垂直于 $ x $ 轴，点 $ H $ 的坐标为 $ (12, 0) $。
在直角三角形 $ \triangle POH $ 中，$ OH $ 为底边，长度为 12，$ PH $ 为高，长度为 5。
根据正切函数的定义，$\tan \angle POH = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{PH}{OH} = \frac{5}{12}$。

6. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪AD高1m.求旗杆BC的高.（结果保留根号）

解：过点A作AE⊥BC于点E，
则四边形ADCE为矩形，
∴AE=DC=10m，CE=AD=1m.
在Rt△ABE中，∠BAE=60°，
tan∠BAE=BE/AE，
∴BE=AE·tan60°=10×√3=10√3(m).
∴BC=BE+CE=10√3+1(m).
答：旗杆BC的高为(10√3+1)m.

7. 水坝的横截面是梯形ABCD（如图①），上底AD=4m，坝高AM=DN=3m，斜坡AB的坡比i₁=1:$\sqrt{3}$，斜坡DC的坡比i₂=1:1.
（1）求坝底BC的长.（结果保留根号）
（2）为了增强水坝的防洪能力，需在原来的水坝上增加高度（如图②），使得水坝的上底EF=2m.求水坝增加的高度.（精确到0.1m，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73）

（1）在梯形ABCD中，AD=4m，AM=DN=3m，AM⊥BC，DN⊥BC，故四边形AMND为矩形，MN=AD=4m。
斜坡AB的坡比i₁=1:√3，即AM/BM=1/√3，AM=3m，得BM=3√3 m。
斜坡DC的坡比i₂=1:1，即DN/NC=1/1，DN=3m，得NC=3m。
BC=BM+MN+NC=3√3 + 4 + 3=7 + 3√3 (m)。
（2）设增加的高度为h m，新坝高为(3 + h)m。新上底EF=2m，设E、F在BC上的垂足分别为P、Q，则PQ=EF=2m，EP=FQ=3 + h。
斜坡EB坡比i₁=1:√3，得BP=√3(3 + h)；斜坡FC坡比i₂=1:1，得QC=3 + h。
BC=BP + PQ + QC，即7 + 3√3=√3(3 + h) + 2 + (3 + h)。
整理得(√3 + 1)(3 + h)=5 + 3√3，解得3 + h=(5 + 3√3)/(√3 + 1)=2 + √3≈3.73。
h≈3.73 - 3=0.7 (m)。
（1）BC的长为(7 + 3√3)m；（2）增加的高度约为0.7m。