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3. 小明从路灯下向前走了5 m，发现自己在地面上的影长是2 m，如果小明的身高为1.6 m，那么路灯距离地面的高度是
5.6
m.答案
3. 5.6
解析
【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解。首先明确中心投影下光线沿直线传播，会形成两个相似的直角三角形：一是由小明身高、影长、头顶到影子顶端的光线构成的小直角三角形，二是由路灯高度、路灯底部到影子顶端的水平距离、路灯顶端到影子顶端的光线构成的大直角三角形。两个三角形均含直角，且光线与地面的夹角为公共角，因此相似，对应边成比例，代入已知数据即可求出路灯高度。
【解析】
设路灯距离地面的高度为$ h \, \mathrm{m} $。
由题意可知，路灯底部到影子顶端的水平距离为小明行走的距离与影长之和，即$ 5 + 2 = 7 \, \mathrm{m} $。
因为小明和路灯均垂直于地面，光线为同一直线，所以两个直角三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{路灯高度}} = \frac{\mathrm{影长}}{\mathrm{路灯底部到影子顶端的水平距离}}$
代入数据：
$\frac{1.6}{h} = \frac{2}{7}$
交叉相乘得：
$2h = 1.6 × 7 = 11.2$
解得$ h = 5.6 $。
【答案】
5.6
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的常见应用题，解题的核心是准确找到相似三角形，厘清各对应边的长度，尤其要注意大直角三角形的水平边长是行走距离与影长的和，不要漏加或错代数据。
【难度系数】
0.7
本题可利用相似三角形的性质求解。首先明确中心投影下光线沿直线传播，会形成两个相似的直角三角形：一是由小明身高、影长、头顶到影子顶端的光线构成的小直角三角形，二是由路灯高度、路灯底部到影子顶端的水平距离、路灯顶端到影子顶端的光线构成的大直角三角形。两个三角形均含直角，且光线与地面的夹角为公共角，因此相似，对应边成比例，代入已知数据即可求出路灯高度。
【解析】
设路灯距离地面的高度为$ h \, \mathrm{m} $。
由题意可知，路灯底部到影子顶端的水平距离为小明行走的距离与影长之和，即$ 5 + 2 = 7 \, \mathrm{m} $。
因为小明和路灯均垂直于地面，光线为同一直线，所以两个直角三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{路灯高度}} = \frac{\mathrm{影长}}{\mathrm{路灯底部到影子顶端的水平距离}}$
代入数据：
$\frac{1.6}{h} = \frac{2}{7}$
交叉相乘得：
$2h = 1.6 × 7 = 11.2$
解得$ h = 5.6 $。
【答案】
5.6
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的常见应用题，解题的核心是准确找到相似三角形，厘清各对应边的长度，尤其要注意大直角三角形的水平边长是行走距离与影长的和，不要漏加或错代数据。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,∠AED=∠B.如果AE = 2,△ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,那么边AB的长为
3
。答案
4. 3
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，有公共角∠A和相等角∠AED=∠B，可先判定△AED和△ABC相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，先计算△ABC的总面积，得到两个三角形的面积比后求出相似比，最后结合已知AE的长度即可求出AB的长度。
【解析】
1. 证明三角形相似：
∵ ∠A是△AED和△ABC的公共角，且已知∠AED=∠B，
∴ 根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△AED∽△ABC。
2. 计算△ABC的面积：
已知△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ ADE}+S_{四边形BCED}=4+5=9$。
3. 利用相似三角形性质列方程求解：
相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2$
将$S_{△ ADE}=4$，$S_{△ ABC}=9$，$AE=2$代入上式：
$\frac{4}{9}=(\frac{2}{AB})^2$
∵ 边长为正数，等式两边同时开算术平方根得：
$\frac{2}{3}=\frac{2}{AB}$
解得：$AB=3$。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，核心考查相似三角形的判定方法以及面积比与相似比的关系，解题的关键是准确找到相等的角证明三角形相似，再结合面积关系列式计算，是三角形章节的常考类型题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，有公共角∠A和相等角∠AED=∠B，可先判定△AED和△ABC相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，先计算△ABC的总面积，得到两个三角形的面积比后求出相似比，最后结合已知AE的长度即可求出AB的长度。
【解析】
1. 证明三角形相似：
∵ ∠A是△AED和△ABC的公共角，且已知∠AED=∠B，
∴ 根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△AED∽△ABC。
2. 计算△ABC的面积：
已知△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ ADE}+S_{四边形BCED}=4+5=9$。
3. 利用相似三角形性质列方程求解：
相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2$
将$S_{△ ADE}=4$，$S_{△ ABC}=9$，$AE=2$代入上式：
$\frac{4}{9}=(\frac{2}{AB})^2$
∵ 边长为正数，等式两边同时开算术平方根得：
$\frac{2}{3}=\frac{2}{AB}$
解得：$AB=3$。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，核心考查相似三角形的判定方法以及面积比与相似比的关系，解题的关键是准确找到相等的角证明三角形相似，再结合面积关系列式计算，是三角形章节的常考类型题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$□ ABCD$中,E为AB的延长线上一点,$AB:BE=2:3$.若$S_{△ DFC}=12\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{△ EFB}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.
答案
5. 27
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，可证得△DFC与△EFB相似；再结合已知的AB与BE的长度比，得到两个相似三角形的相似比；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，代入已知的△DFC的面积，即可求出△EFB的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠C=∠EBF，∠CDF=∠E，
∴ △DFC∽△EFB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ AB:BE=2:3，CD=AB，
∴ CD:BE=2:3，即△DFC与△EFB的相似比为2:3。
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ DFC}}{S_{△ EFB}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
将$S_{△ DFC}=12\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{12}{S_{△ EFB}}=\frac{4}{9}$，
解得$S_{△ EFB}=12×\frac{9}{4}=27\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
27
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题型，解题的核心是先通过平行关系判定三角形相似，再利用相似三角形面积与相似比的关系求解，此类题型是几何基础计算的常考类型。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，可证得△DFC与△EFB相似；再结合已知的AB与BE的长度比，得到两个相似三角形的相似比；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，代入已知的△DFC的面积，即可求出△EFB的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠C=∠EBF，∠CDF=∠E，
∴ △DFC∽△EFB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ AB:BE=2:3，CD=AB，
∴ CD:BE=2:3，即△DFC与△EFB的相似比为2:3。
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ DFC}}{S_{△ EFB}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
将$S_{△ DFC}=12\ \mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{12}{S_{△ EFB}}=\frac{4}{9}$，
解得$S_{△ EFB}=12×\frac{9}{4}=27\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
27
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题型，解题的核心是先通过平行关系判定三角形相似，再利用相似三角形面积与相似比的关系求解，此类题型是几何基础计算的常考类型。
【难度系数】
0.7
1. 在如图所示的三个矩形中，相似的是（
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.甲、乙和丙
A
）A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.甲、乙和丙
答案
1. A
解析
【分析】
要判断矩形是否相似，首先回忆相似多边形的判定条件：对应角相等，对应边成比例。由于矩形的四个内角都是90°，天然满足对应角相等的要求，因此只需要判断两个矩形的邻边（短边与长边的比值，或长边与短边的比值）是否相等，比值相等则对应边成比例，矩形相似。接下来我们分别计算三个矩形的邻边比值，再对比即可得出结论。
【解析】
∵ 矩形的所有内角均为90°，
∴ 甲、乙、丙三个矩形的对应角都相等。
分别计算各矩形短边与长边的比值：
甲矩形的邻边长为3cm、4cm，短边:长边=$3:4=\frac{3}{4}$；
乙矩形的邻边长为6cm、8cm，短边:长边=$6:8=\frac{3}{4}$；
丙矩形的邻边长为4cm、8cm，短边:长边=$4:8=\frac{1}{2}$。
可见甲和乙的邻边比值相等，即对应边成比例，因此甲和乙相似。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题考查相似矩形的判定，解题的关键是明确矩形已满足对应角相等，只需验证邻边是否成比例即可，计算比值时注意要统一短边比长边（或长边比短边）的对应顺序，避免因边的对应错误出错。
【难度系数】
0.8
要判断矩形是否相似，首先回忆相似多边形的判定条件：对应角相等，对应边成比例。由于矩形的四个内角都是90°，天然满足对应角相等的要求，因此只需要判断两个矩形的邻边（短边与长边的比值，或长边与短边的比值）是否相等，比值相等则对应边成比例，矩形相似。接下来我们分别计算三个矩形的邻边比值，再对比即可得出结论。
【解析】
∵ 矩形的所有内角均为90°，
∴ 甲、乙、丙三个矩形的对应角都相等。
分别计算各矩形短边与长边的比值：
甲矩形的邻边长为3cm、4cm，短边:长边=$3:4=\frac{3}{4}$；
乙矩形的邻边长为6cm、8cm，短边:长边=$6:8=\frac{3}{4}$；
丙矩形的邻边长为4cm、8cm，短边:长边=$4:8=\frac{1}{2}$。
可见甲和乙的邻边比值相等，即对应边成比例，因此甲和乙相似。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题考查相似矩形的判定，解题的关键是明确矩形已满足对应角相等，只需验证邻边是否成比例即可，计算比值时注意要统一短边比长边（或长边比短边）的对应顺序，避免因边的对应错误出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图,已知$AB // CD // EF$,那么下列结论正确的是(
A.$\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{DF}{DA}$
B.$\dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CE}{BC}$
C.$\dfrac{CD}{EF} = \dfrac{AD}{AF}$
D.$\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{AF}{AD}$
A
)A.$\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{DF}{DA}$
B.$\dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CE}{BC}$
C.$\dfrac{CD}{EF} = \dfrac{AD}{AF}$
D.$\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{AF}{AD}$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。本题中三条平行线AB、CD、EF截两条直线BE、AF，我们只需要找准两组被截直线上的对应线段，逐一核对各选项的比例关系是否符合定理即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，AB//CD//EF，截直线BE和AF，对应线段成比例：
选项A：直线BE上的线段CE、CB，对应直线AF上的线段DF、DA，因此$\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{DF}{DA}$，该式成立。
选项B：根据对应关系，$\dfrac{AD}{DF}=\dfrac{BC}{CE}$，与选项给出的$\dfrac{CE}{BC}$不符，错误。
选项C：平行线分线段成比例定理指的是被截直线上的线段成比例，而非平行线本身的长度成比例，$\dfrac{CD}{EF}$与$\dfrac{AD}{AF}$没有对应比例关系，错误。
选项D：根据对应关系，$\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{DF}{AF}$，与选项给出的$\dfrac{AF}{AD}$不符，错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到被截直线上的对应线段，注意不要混淆对应线段的位置，也不要误将平行线的长度代入比例计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。本题中三条平行线AB、CD、EF截两条直线BE、AF，我们只需要找准两组被截直线上的对应线段，逐一核对各选项的比例关系是否符合定理即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，AB//CD//EF，截直线BE和AF，对应线段成比例：
选项A：直线BE上的线段CE、CB，对应直线AF上的线段DF、DA，因此$\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{DF}{DA}$，该式成立。
选项B：根据对应关系，$\dfrac{AD}{DF}=\dfrac{BC}{CE}$，与选项给出的$\dfrac{CE}{BC}$不符，错误。
选项C：平行线分线段成比例定理指的是被截直线上的线段成比例，而非平行线本身的长度成比例，$\dfrac{CD}{EF}$与$\dfrac{AD}{AF}$没有对应比例关系，错误。
选项D：根据对应关系，$\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{DF}{AF}$，与选项给出的$\dfrac{AF}{AD}$不符，错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到被截直线上的对应线段，注意不要混淆对应线段的位置，也不要误将平行线的长度代入比例计算。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在边长为$\sqrt{3}$的菱形ABCD中,
∠B = 30°,过点A作AE ⊥ BC于点E.现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置,AF与CD交于点G,则CG等于(
A.$\sqrt{3} - 1$
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∠B = 30°,过点A作AE ⊥ BC于点E.现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置,AF与CD交于点G,则CG等于(
A
)A.$\sqrt{3} - 1$
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
3. A
解析
【分析】
本题是菱形结合折叠的几何计算题，解题思路可按以下步骤展开：1. 先利用菱形边长和∠B=30°的直角三角形性质，求出BE、EC的长度；2. 结合折叠的性质得到EF=BE，进而求出CF的长度；3. 由AD//CF可证△ADG与△FCG相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，设CG为未知数列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，边长为$\sqrt{3}$，
∴$AB=BC=CD=AD=\sqrt{3}$，$AD// BC$，
∵$AE⊥ BC$，$∠ B=30°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$BE=AB·\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$，
由折叠的性质可得：$EF=BE=\frac{3}{2}$，
∴$EC=BC-BE=\sqrt{3}-\frac{3}{2}$，
∴$CF=EF-EC=\frac{3}{2}-(\sqrt{3}-\frac{3}{2})=3-\sqrt{3}$，
∵$AD// CF$，
∴$∠ D=∠ GCF$，$∠ DAG=∠ F$，
∴$△ ADG∽△ FCG$，
∴$\frac{AD}{CF}=\frac{DG}{CG}$，
设$CG=x$，则$DG=CD-CG=\sqrt{3}-x$，代入比例式得：
$\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-x}{x}$，
先化简左边：$\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{3\sqrt{3}+3}{6}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}-x}{x}$，
交叉相乘得：$(\sqrt{3}+1)x=2(\sqrt{3}-x)$，
整理得：$x(\sqrt{3}+3)=2\sqrt{3}$，
解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{6\sqrt{3}-6}{6}=\sqrt{3}-1$，
即$CG=\sqrt{3}-1$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何图形性质的综合应用，解题的核心是先通过折叠求出线段CF的长度，再利用相似三角形的比例关系建立方程求解，计算过程中注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.6
本题是菱形结合折叠的几何计算题，解题思路可按以下步骤展开：1. 先利用菱形边长和∠B=30°的直角三角形性质，求出BE、EC的长度；2. 结合折叠的性质得到EF=BE，进而求出CF的长度；3. 由AD//CF可证△ADG与△FCG相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，设CG为未知数列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，边长为$\sqrt{3}$，
∴$AB=BC=CD=AD=\sqrt{3}$，$AD// BC$，
∵$AE⊥ BC$，$∠ B=30°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$BE=AB·\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$，
由折叠的性质可得：$EF=BE=\frac{3}{2}$，
∴$EC=BC-BE=\sqrt{3}-\frac{3}{2}$，
∴$CF=EF-EC=\frac{3}{2}-(\sqrt{3}-\frac{3}{2})=3-\sqrt{3}$，
∵$AD// CF$，
∴$∠ D=∠ GCF$，$∠ DAG=∠ F$，
∴$△ ADG∽△ FCG$，
∴$\frac{AD}{CF}=\frac{DG}{CG}$，
设$CG=x$，则$DG=CD-CG=\sqrt{3}-x$，代入比例式得：
$\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-x}{x}$，
先化简左边：$\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{3\sqrt{3}+3}{6}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}-x}{x}$，
交叉相乘得：$(\sqrt{3}+1)x=2(\sqrt{3}-x)$，
整理得：$x(\sqrt{3}+3)=2\sqrt{3}$，
解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{6\sqrt{3}-6}{6}=\sqrt{3}-1$，
即$CG=\sqrt{3}-1$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何图形性质的综合应用，解题的核心是先通过折叠求出线段CF的长度，再利用相似三角形的比例关系建立方程求解，计算过程中注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.6
4. 如图,点D,E,F分别是△ABC(AB ＞ AC)各边的中点,下列说法中错误的是(
A.AD 平分 ∠BAC
B.$EF = \frac{1}{2}BC$
C.EF 与 AD 互相平分
D.△DFE 是 △AEF 的位似图形
A
)A.AD 平分 ∠BAC
B.$EF = \frac{1}{2}BC$
C.EF 与 AD 互相平分
D.△DFE 是 △AEF 的位似图形
答案
4. A
解析
【分析】
解题时可逐个判断选项：首先明确三角形各边中点的性质，结合三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、位似图形的定义逐一验证选项，注意题干给出AB＞AC的条件，可用来判断中线AD是否为角平分线。
【解析】
已知点D、E、F分别是△ABC各边的中点，且AB＞AC：
1. 分析选项A：AD是△ABC的BC边上的中线，仅当AB=AC（即△ABC为等腰三角形）时，才满足“三线合一”，AD平分∠BAC，本题AB＞AC，因此AD不平分∠BAC，A说法错误。
2. 分析选项B：EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得$EF=\frac{1}{2}BC$，B说法正确。
3. 分析选项C：由E、F、D分别是各边中点，可得$DE// AC$，$DF// AB$，因此四边形AEDF是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，即EF与AD互相平分，C说法正确。
4. 分析选项D：△DFE和△AEF的对应边互相平行（$AE// DF$，$AF// DE$，EF为公共边），对应顶点的连线交于同一点（AD与EF的交点），符合位似图形的定义，因此△DFE是△AEF的位似图形，D说法正确。
综上，错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的性质；位似图形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，考查多个几何基础知识点的应用，解题时要注意题干隐含的AB≠AC的条件，不要混淆一般三角形中线和角平分线的性质，对位似图形的判定要抓住“对应边平行、对应顶点连线共点”的核心特征。
【难度系数】
0.7
解题时可逐个判断选项：首先明确三角形各边中点的性质，结合三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、位似图形的定义逐一验证选项，注意题干给出AB＞AC的条件，可用来判断中线AD是否为角平分线。
【解析】
已知点D、E、F分别是△ABC各边的中点，且AB＞AC：
1. 分析选项A：AD是△ABC的BC边上的中线，仅当AB=AC（即△ABC为等腰三角形）时，才满足“三线合一”，AD平分∠BAC，本题AB＞AC，因此AD不平分∠BAC，A说法错误。
2. 分析选项B：EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得$EF=\frac{1}{2}BC$，B说法正确。
3. 分析选项C：由E、F、D分别是各边中点，可得$DE// AC$，$DF// AB$，因此四边形AEDF是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，即EF与AD互相平分，C说法正确。
4. 分析选项D：△DFE和△AEF的对应边互相平行（$AE// DF$，$AF// DE$，EF为公共边），对应顶点的连线交于同一点（AD与EF的交点），符合位似图形的定义，因此△DFE是△AEF的位似图形，D说法正确。
综上，错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的性质；位似图形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，考查多个几何基础知识点的应用，解题时要注意题干隐含的AB≠AC的条件，不要混淆一般三角形中线和角平分线的性质，对位似图形的判定要抓住“对应边平行、对应顶点连线共点”的核心特征。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在钝角三角形ABC中，AB = 6 cm，AC = 12 cm，动点D从A点出发运动到B点停止，动点E从C点出发运动到A点停止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s。如果两点同时运动，那么当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是
3 s 或 4.8 s
。答案
5. 3 s 或 4.8 s
解析
【分析】
本题是动点结合相似三角形的题型，解题思路如下：首先设运动时间为t，先用含t的代数式分别表示出线段AD、AE的长度；由于∠A是△ADE和△ABC的公共角，根据两边对应成比例且夹角相等的相似判定规则，两个三角形相似存在两种对应关系，需分类讨论列比例方程求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
解：设两点同时运动的时间为$ t \, \mathrm{s} $。
由题意得：$ AD = t \, \mathrm{cm} $，$ CE = 2t \, \mathrm{cm} $，因此$ AE = AC - CE = (12 - 2t) \, \mathrm{cm} $，且$ 0 ≤ t ≤ 6 $（D到B、E到A的最长运动时间均为6s）。
$ ∠ DAE = ∠ BAC $为公共角，分两种情况讨论相似：
1. 当$ △ ADE ∽ △ ABC $时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
代入数据得：$ \frac{t}{6} = \frac{12 - 2t}{12} $，
解得：$ 12t = 72 - 12t $，$ 24t = 72 $，$ t = 3 $，符合取值范围。
2. 当$ △ ADE ∽ △ ACB $时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$
代入数据得：$ \frac{t}{12} = \frac{12 - 2t}{6} $，
解得：$ 6t = 144 - 24t $，$ 30t = 144 $，$ t = 4.8 $，符合取值范围。
综上，运动时间为3s或4.8s。
【答案】
3 s 或 4.8 s
【知识点】
相似三角形的判定与性质；动点问题求解；分类讨论思想
【点评】
本题是动点相似的典型题型，易错点是容易遗漏相似的对应情况，解题时要抓住公共角的特征，分两种对应边成比例的情况列方程，同时注意解要符合动点的实际运动范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
本题是动点结合相似三角形的题型，解题思路如下：首先设运动时间为t，先用含t的代数式分别表示出线段AD、AE的长度；由于∠A是△ADE和△ABC的公共角，根据两边对应成比例且夹角相等的相似判定规则，两个三角形相似存在两种对应关系，需分类讨论列比例方程求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
解：设两点同时运动的时间为$ t \, \mathrm{s} $。
由题意得：$ AD = t \, \mathrm{cm} $，$ CE = 2t \, \mathrm{cm} $，因此$ AE = AC - CE = (12 - 2t) \, \mathrm{cm} $，且$ 0 ≤ t ≤ 6 $（D到B、E到A的最长运动时间均为6s）。
$ ∠ DAE = ∠ BAC $为公共角，分两种情况讨论相似：
1. 当$ △ ADE ∽ △ ABC $时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
代入数据得：$ \frac{t}{6} = \frac{12 - 2t}{12} $，
解得：$ 12t = 72 - 12t $，$ 24t = 72 $，$ t = 3 $，符合取值范围。
2. 当$ △ ADE ∽ △ ACB $时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$
代入数据得：$ \frac{t}{12} = \frac{12 - 2t}{6} $，
解得：$ 6t = 144 - 24t $，$ 30t = 144 $，$ t = 4.8 $，符合取值范围。
综上，运动时间为3s或4.8s。
【答案】
3 s 或 4.8 s
【知识点】
相似三角形的判定与性质；动点问题求解；分类讨论思想
【点评】
本题是动点相似的典型题型，易错点是容易遗漏相似的对应情况，解题时要抓住公共角的特征，分两种对应边成比例的情况列方程，同时注意解要符合动点的实际运动范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
6. 如图,点D是BC的中点,AM = MD,BM的延长线交AC于点N,则AN: NC =
$\dfrac{1}{2}$
.答案
6. $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要求AN:NC的比值，已知两个中点条件（D是BC中点、M是AD中点），可通过作平行线构造全等三角形和三角形中位线求解：过D作DE//AC交BN于E，先利用M是AD的中点，结合平行线的性质证明△AMN和△DME全等，得到AN=DE；再利用D是BC中点、DE//AC的条件，推出DE是△BCN的中位线，得到DE与NC的数量关系，即可求出AN与NC的比值。
【解析】
过点D作DE//AC，交BN于点E。
① 证明△AMN≌△DME：
∵ DE//AC，
∴ ∠MAN=∠EDM，
又
∵ AM=MD，∠AMN=∠DME（对顶角相等），
∴ △AMN≌△DME（ASA），
∴ AN=DE。
② 利用中位线定理求DE与NC的关系：
∵ D是BC的中点，DE//AC，
∴ DE是△BCN的中位线，
∴ DE=$\dfrac{1}{2}$NC。
③ 推导比值：
将AN=DE代入上式，得AN=$\dfrac{1}{2}$NC，
∴ AN:NC=1:2=$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质
【点评】
本题是常见的线段比例类几何题，解题的核心是结合中点条件构造合适的辅助线，通过全等和中位线性质转化线段关系，有助于提升学生构造辅助线解决几何问题的思维能力。
【难度系数】
0.6
要求AN:NC的比值，已知两个中点条件（D是BC中点、M是AD中点），可通过作平行线构造全等三角形和三角形中位线求解：过D作DE//AC交BN于E，先利用M是AD的中点，结合平行线的性质证明△AMN和△DME全等，得到AN=DE；再利用D是BC中点、DE//AC的条件，推出DE是△BCN的中位线，得到DE与NC的数量关系，即可求出AN与NC的比值。
【解析】
过点D作DE//AC，交BN于点E。
① 证明△AMN≌△DME：
∵ DE//AC，
∴ ∠MAN=∠EDM，
又
∵ AM=MD，∠AMN=∠DME（对顶角相等），
∴ △AMN≌△DME（ASA），
∴ AN=DE。
② 利用中位线定理求DE与NC的关系：
∵ D是BC的中点，DE//AC，
∴ DE是△BCN的中位线，
∴ DE=$\dfrac{1}{2}$NC。
③ 推导比值：
将AN=DE代入上式，得AN=$\dfrac{1}{2}$NC，
∴ AN:NC=1:2=$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质
【点评】
本题是常见的线段比例类几何题，解题的核心是结合中点条件构造合适的辅助线，通过全等和中位线性质转化线段关系，有助于提升学生构造辅助线解决几何问题的思维能力。
【难度系数】
0.6
7.如图,在$△ ABC$中,$DG // BC,DE ⊥ BC,GF ⊥ BC$,垂足分别是点$E,F,EF = 2DE$.若$BC = 30$,高$AH = 25$,则$DE =$
$\dfrac{75}{8}$
.答案
7. $\dfrac{75}{8}$
解析
【分析】
我们可以通过设未知数结合相似三角形性质建立方程求解。首先观察图形，由$DG// BC$可推出$△ ADG ∽ △ ABC$，同时$DE⊥ BC$、$GF⊥ BC$、$DG// BC$可判定四边形$DEFG$是矩形，因此$DG=EF$，且$△ ADG$的高等于$△ ABC$的高$AH$减去$DE$的长度，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可列方程求解$DE$的长度。
【解析】
设$DE = x$，由$EF=2DE$可得$EF=2x$。
$\because DE⊥ BC$，$GF⊥ BC$，$DG// BC$，
$\therefore$四边形$DEFG$是矩形，因此$DG=EF=2x$。
$\because DG// BC$，
$\therefore △ ADG ∽ △ ABC$。
又$\because AH$是$△ ABC$的高，
$\therefore △ ADG$中$DG$边上的高为$AH-DE=25-x$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{DG}{BC}=\frac{25-x}{AH}$
代入$DG=2x$，$BC=30$，$AH=25$得：
$\frac{2x}{30}=\frac{25-x}{25}$
交叉相乘得：$50x=30(25-x)$
整理得：$50x=750-30x$
$80x=750$
解得$x=\frac{75}{8}$。
【答案】
$\dfrac{75}{8}$
【知识点】
相似三角形的性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形在几何计算中的典型应用，解题关键是抓住平行线得到相似三角形，再利用相似三角形的性质找到等量关系建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
我们可以通过设未知数结合相似三角形性质建立方程求解。首先观察图形，由$DG// BC$可推出$△ ADG ∽ △ ABC$，同时$DE⊥ BC$、$GF⊥ BC$、$DG// BC$可判定四边形$DEFG$是矩形，因此$DG=EF$，且$△ ADG$的高等于$△ ABC$的高$AH$减去$DE$的长度，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可列方程求解$DE$的长度。
【解析】
设$DE = x$，由$EF=2DE$可得$EF=2x$。
$\because DE⊥ BC$，$GF⊥ BC$，$DG// BC$，
$\therefore$四边形$DEFG$是矩形，因此$DG=EF=2x$。
$\because DG// BC$，
$\therefore △ ADG ∽ △ ABC$。
又$\because AH$是$△ ABC$的高，
$\therefore △ ADG$中$DG$边上的高为$AH-DE=25-x$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{DG}{BC}=\frac{25-x}{AH}$
代入$DG=2x$，$BC=30$，$AH=25$得：
$\frac{2x}{30}=\frac{25-x}{25}$
交叉相乘得：$50x=30(25-x)$
整理得：$50x=750-30x$
$80x=750$
解得$x=\frac{75}{8}$。
【答案】
$\dfrac{75}{8}$
【知识点】
相似三角形的性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形在几何计算中的典型应用，解题关键是抓住平行线得到相似三角形，再利用相似三角形的性质找到等量关系建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
