2. 相似三角形的判定.
（1）三角形相似的预备定理：
.
（2）三角形相似的判定定理1：
.
（3）三角形相似的判定定理2：
.
（4）三角形相似的判定定理3：
.

2.(1) 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
(2) 两角分别相等的两个三角形相似
(3) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
(4) 三边成比例的两个三角形相似

【分析】
本题考查相似三角形相关判定定理的识记，解题时可类比全等三角形的判定逻辑记忆：①预备定理是平行线截三角形两边得到的相似结论；②判定定理1对应全等的“AA”判定，核心是角的相等关系；③判定定理2对应全等的“SAS”判定，区别是全等要求边相等，相似要求两边成比例，再匹配夹角相等即可；④判定定理3对应全等的“SSS”判定，区别是全等要求三边相等，相似要求三边成比例，按照这个对应逻辑就能准确写出各定理内容。
【解析】
（1）根据预备定理的定义，内容为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）判定定理1为角相关的判定：两角分别相等的两个三角形相似；
（3）判定定理2为边角结合的判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（4）判定定理3为边相关的判定：三边成比例的两个三角形相似。
【答案】
2.(1) 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
(2) 两角分别相等的两个三角形相似
(3) 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
(4) 三边成比例的两个三角形相似
【知识点】
相似三角形预备定理；相似三角形的判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考察对相似三角形判定相关定理的记忆掌握，这些定理是解决相似三角形证明、计算类问题的核心基础，需要熟练背诵并灵活运用。
【难度系数】
0.9

3. 性质.
(1) 相似三角形对应线段的比等于.
(2) 相似三角形面积的比等于.

3.(1) 相似比
(2) 相似比的平方

【分析】
本题考查相似三角形的基础性质，解题时可直接回忆相关性质作答：首先明确相似三角形的相似比是对应边的比值，所有对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比值都与相似比相等；而面积涉及两个线段长度的乘积，因此面积比是相似比的平方。
【解析】
(1) 根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等所有对应线段的比都等于相似比，因此第一空填相似比。
(2) 设两个相似三角形的相似比为$k$，则对应底的比为$k$，对应高的比也为$k$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得两个三角形的面积比为$\frac{\frac{1}{2}a_1h_1}{\frac{1}{2}a_2h_2}=\frac{a_1}{a_2}·\frac{h_1}{h_2}=k· k=k^2$，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，因此第二空填相似比的平方。
【答案】
(1) 相似比；(2) 相似比的平方
【知识点】
相似三角形对应线段性质、相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于基础识记类题型，主要考查相似三角形的核心性质，熟练记忆相关性质即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9

1. 如图，将$△ ABC$沿$BC$边上的中线$AD$平移到$△ A'B'C'$的位置. 已知$△ ABC$的面积为16，阴影部分三角形的面积为9. 若$AA' = 1$，求$A'D$的长.

解：
∵AD是BC边上的中线，S△ABC=16，
∴S△ABD=1/2 S△ABC=8。由平移的性质可得A'E//AB，
∴△DA'E∽△DAB，设A'D=x，则AD=A'D+AA'=x+1，相似比为x/(x+1)，面积比为(x/(x+1))²=9/16，解得x=3，即A'D的长为3。

【分析】
解题时先从已知条件梳理思路：首先，AD是BC边上的中线，根据三角形中线的性质，中线能将三角形分成面积相等的两个小三角形，可先求出△ABD的面积；其次，根据平移的性质，平移后对应边互相平行，可推出阴影三角形的边与△ABC的对应边平行，进而得到相似三角形；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，设A'D的长为x，用含x的式子表示相似比，结合面积比列方程求解即可。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线，$S_{△ ABC}=16$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=8$。
由平移的性质可得$A'B'// AB$，
∴$△ DA'E ∽ △ DAB$（E为$A'B'$与$BC$的交点）。
设$A'D=x$，
∵$AA'=1$，
∴$AD=A'D+AA'=x+1$，
则$△ DA'E$与$△ DAB$的相似比为$\frac{x}{x+1}$。
∵阴影部分三角形的面积为9，AD为阴影三角形的中线，
∴$S_{△ DA'E}=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$(\frac{x}{x+1})^2=\frac{S_{△ DA'E}}{S_{△ DAB}}=\frac{\frac{9}{2}}{8}=\frac{9}{16}$，
∵$x＞0$，
∴$\frac{x}{x+1}=\frac{3}{4}$，
解得$x=3$。
【答案】
$A'D$的长为$\boldsymbol{3}$
【知识点】
平移的性质；相似三角形的判定与性质；三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查了图形平移、相似三角形、三角形中线的相关知识，解题的核心是通过平移性质得到相似三角形，再结合相似三角形面积比与相似比的关系建立方程求解，解题时可借助中线的性质简化面积计算。
【难度系数】
0.6

2. 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC = 80°, ∠ BAC = 40°$,AB 的垂直平分线分别与 AC,AB 交于点 D,E.
（1）用尺规作出 AB 的垂直平分线.
（2）求证: $△ ABC ∽ △ BDC$.

（1）[图1] 即为所求AB的垂直平分线
（2）证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAC=40°，又
∵∠ABC=80°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°=∠BAC，又
∵∠C是公共角，
∴△ABC∽△BDC。

【分析】
（1）作AB的垂直平分线时，需回忆尺规作线段垂直平分线的方法：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两个不同的点，过这两个点作直线就是AB的垂直平分线，注意半径长度必须大于$\frac{1}{2}AB$，否则无法得到两个交点确定唯一的直线。
（2）要证明$△ ABC ∽ △ BDC$，首先观察到$∠ C$是两个三角形的公共角，因此只需再证明一组对应角相等即可。结合已知的垂直平分线条件，利用垂直平分线的性质可得AD=BD，由等边对等角推出$∠ ABD=∠ BAC=40°$，再结合$∠ ABC=80°$计算出$∠ DBC=40°$，即可得到另一组相等的角$∠ DBC=∠ BAC$，满足相似三角形的判定条件。
【解析】
（1）尺规作图步骤：
①分别以点A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在AB的两侧各交于一个点，记为M、N；
②作直线MN，直线MN即为所求的AB的垂直平分线。
（2）证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴$∠ ABD=∠ BAC=40°$，
又
∵$∠ ABC=80°$，
∴$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=80°-40°=40°=∠ BAC$，
又
∵$∠ C$是$△ ABC$和$△ BDC$的公共角，
∴根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ BDC$。
【答案】
（1）按上述尺规作图方法作出的直线即为AB的垂直平分线；
（2）证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAC=40°，又
∵∠ABC=80°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°=∠BAC，又
∵∠C是公共角，
∴△ABC∽△BDC。
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 线段垂直平分线的性质
3. 相似三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，同时考察了尺规作图的基本操作和几何证明能力，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定定理，准确找到对应相等的角即可完成证明。
【难度系数】
0.8

1. 下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.$a=\sqrt{2},b=3,c=2,d=\sqrt{3}$
B.$a=4,b=6,c=5,d=10$
C.$a=2,b=\sqrt{5},c=2\sqrt{3},d=\sqrt{15}$
D.$a=2,b=3,c=4,d=1$

1. C

【分析】
要判断四条线段是否成比例，可采用便捷的判定思路：先将四条线段的长度按照从小到大的顺序排列，再验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则四条线段成比例，反之则不成比例。该方法可以避免挨个凑比例的繁琐，减少计算失误。
【解析】
对每个选项逐一验证：
选项A：四条线段从小到大排序为$\sqrt{2},\sqrt{3},2,3$，计算乘积：$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}$，$\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}≠2\sqrt{3}$，四条线段不成比例；
选项B：四条线段从小到大排序为$4,5,6,10$，计算乘积：$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，四条线段不成比例；
选项C：四条线段从小到大排序为$2,\sqrt{5},2\sqrt{3},\sqrt{15}$，计算乘积：$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，两个乘积相等，四条线段成比例；
选项D：四条线段从小到大排序为$1,2,3,4$，计算乘积：$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，四条线段不成比例。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题，解题核心是掌握“先排序，再验证两端乘积等于中间两数乘积”的技巧，能大幅提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是AD,CD边上的点,连接BE,AF,它们相交于点G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中相似三角形共有()

A.2对
B.3对
C.4对
D.5对

2. C

【分析】
解题时先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边互相平行，再结合相似三角形的判定定理（平行于三角形一边的直线截三角形另两边，所得三角形与原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似），按顺序逐一找出相似三角形，同时利用相似的传递性找出间接相似的三角形，注意不要漏数也不要重复计数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD（即AB//CH）。
①
∵AB//CH，
∴∠ABE=∠H，∠A=∠EDH，可证△ABE∽△DHE；
②
∵AD//BC，
∴∠HED=∠HBC，又∠H为公共角，可证△HED∽△HBC；
③由①②的相似关系，根据相似的传递性可得△ABE∽△HBC；
④
∵AD//BC，
∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠CBG，可证△AEG∽△CBG。
综上，图中共有4对相似三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的常规题型，需要结合平行四边形的性质寻找角的等量关系，解题时要按固定顺序排查相似三角形，避免出现漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.6