8. 如图,在平面直角坐标系内有两点$A(-2,0),B(\dfrac{1}{2},0)$,$CB$所在直线的方程为$y=2x+b$,连接$AC$.
(1) 求$b$的值;
(2) 求证:$△ AOC ∽ △ COB$.

8. (1) - 1;(2) 略.

【分析】
(1) 求b的值时，已知点B在直线CB上，可直接将点B的坐标代入直线方程，解一元一次方程即可得到b的值。
(2) 要证明△AOC∽△COB，首先需要求出点C的坐标，进而得到OA、OC、OB的长度，再验证两个三角形的对应边成比例，且夹角都为直角，利用两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理即可证明。
【解析】
(1) 已知点$B(\dfrac{1}{2},0)$在直线$y=2x+b$上，将$x=\dfrac{1}{2}$，$y=0$代入直线方程：
$0=2× \dfrac{1}{2}+b$
解得$b=-1$。
(2) 证明：
由(1)得直线CB的解析式为$y=2x-1$，
点C在y轴上，横坐标为0，将$x=0$代入$y=2x-1$，得$y=-1$，即$C(0,-1)$。
$\therefore OA=|-2|=2$，$OC=|-1|=1$，$OB=\left|\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，
$\because ∠ AOC=∠ COB=90°$，
且$\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{2}{1}=2$，$\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$，
$\therefore \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OC}{OB}$，
$\therefore △ AOC ∽ △ COB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $-1$；(2) 证明成立。
【知识点】
一次函数解析式求解，相似三角形的判定，坐标与图形性质
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，第一问考查代入法求一次函数的未知参数，第二问需要先结合一次函数求出关键点坐标，再利用相似三角形的判定定理完成证明，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在四边形ABCD中,∠B = 90°,对角线AC平分∠BAD,AC² = AB·AD.
(1) 求证:AC ⊥ CD.
(2) 若点E是AD的中点,连接CE,∠AEC = 134°,求∠BCD的度数.

9. (1) 提示:可证 $△ BAC ∽ △ CAD$. (2) 提示:可证 $△ ABC ∽ △ ACD$.

【分析】
(1) 要证明$AC⊥ CD$，即证$∠ ACD=90°$，已知$∠ B=90°$，可通过证明$△ BAC$与$△ CAD$相似，利用相似三角形对应角相等得到$∠ ACD=∠ B=90°$。首先由角平分线定义得到$∠ BAC=∠ CAD$，再将已知等积式$AC^2=AB· AD$转化为比例式，结合相等的夹角即可证明两三角形相似。
(2) 要求$∠ BCD$的度数，可将其拆分为$∠ ACB$和$∠ ACD$两部分，$∠ ACD$已证为$90°$，只需求出$∠ ACB$的度数即可。首先在$Rt△ ACD$中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到$CE=AE$，结合$∠ AEC$的度数求出$∠ EAC$即$∠ BAC$的度数，再在$Rt△ ABC$中计算$∠ ACB$的度数，最后求和得到$∠ BCD$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ BAC=∠ CAD$。
$\because AC^2=AB· AD$，$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
在$△ BAC$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\\∠ BAC=∠ CAD\end{cases}$
$\therefore △ BAC∽△ CAD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\therefore ∠ ACD=∠ B=90°$，即$AC⊥ CD$。
(2) 解：
由(1)得$∠ ACD=90°$，$\because E$是$AD$的中点，
$\therefore CE=AE=ED$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠ EAC=∠ ECA$。
在$△ AEC$中，$∠ AEC=134°$，
$\therefore ∠ EAC=\frac{180°-∠ AEC}{2}=\frac{180°-134°}{2}=23°$。
$\because AC$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ BAC=∠ EAC=23°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，
$\therefore ∠ ACB=90°-∠ BAC=90°-23°=67°$。
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=67°+90°=157°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{157°}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了相似三角形、直角三角形以及角平分线的相关知识，解题的关键是将等积式转化为比例式证明三角形相似，再结合直角三角形斜边中线的性质逐步推导角度，能够有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65

1. 下列四条线段中,不是成比例线段的为()

A.$a=4,b=6,c=5,d=10$
B.$a=3,b=6,c=2,d=4$
C.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{6},d=\sqrt{3}$
D.$a=2,b=\sqrt{5},c=\sqrt{15},d=2\sqrt{3}$

1. A

【分析】
要判断四条线段是否为成比例线段，首先回忆成比例线段的判定方法：先将四条线段按长度从小到大排序，若最长线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，反之则不是。接下来我们用这个方法逐个验证四个选项即可得到答案。
【解析】
判断成比例线段的常用方法：将四条线段从小到大排序后，验证“最长×最短=中间两条线段的乘积”，若等式成立则为成比例线段。
对各选项逐一分析：
A选项：四条线段从小到大排序为4，5，6，10，计算得：$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，因此四条线段不是成比例线段；
B选项：四条线段从小到大排序为2，3，4，6，计算得：$2×6=12$，$3×4=12$，$12=12$，因此四条线段是成比例线段；
C选项：四条线段从小到大排序为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，计算得：$1×\sqrt{6}=\sqrt{6}$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，等式成立，因此四条线段是成比例线段；
D选项：四条线段从小到大排序为$2$，$\sqrt{5}$，$2\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$，计算得：$2×\sqrt{15}=2\sqrt{15}$，$\sqrt{5}×2\sqrt{3}=2\sqrt{15}$，等式成立，因此四条线段是成比例线段。
综上，不是成比例线段的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.成比例线段的判定
2.二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查成比例线段的判定技巧，使用“最长线段与最短线段乘积等于中间两线段乘积”的方法可以避免反复计算比值，提升解题效率，解题时需注意先对线段长度排序，同时要熟练掌握二次根式的乘法运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

2. 如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8 m，他在地面上的影长为2.1 m。若小芳比爸爸矮0.3 m，则她的影长为( )

A.1.5 m
B.1.65 m
C.1.75 m
D.1.8 m

C

【分析】
本题考查平行投影的实际应用，解题思路如下：首先明确同一时刻太阳光线是平行的，此时不同物体的高度和对应影长的比值相等（即物高与影长成正比例）。第一步先计算出小芳的身高，第二步设小芳的影长为未知数，根据物高与影长的比例关系列方程，第三步解方程即可得到结果。
【解析】
解：同一时刻，平行投影中物体高度与影长的比值相等。
首先计算小芳的身高：$1.8 - 0.3 = 1.5\ \mathrm{m}$
设小芳的影长为$x\ \mathrm{m}$，根据比例关系列方程：
$\frac{\mathrm{爸爸的身高}}{\mathrm{爸爸的影长}}=\frac{\mathrm{小芳的身高}}{\mathrm{小芳的影长}}$
代入数据得：$\frac{1.8}{2.1}=\frac{1.5}{x}$
交叉相乘得：$1.8x = 1.5×2.1$
计算右侧：$1.5×2.1=3.15$
解得：$x=\frac{3.15}{1.8}=1.75$
即小芳的影长为1.75m。
【答案】
C
【知识点】
平行投影性质，比例计算，相似三角形应用
【点评】
本题是平行投影的基础应用题型，核心是掌握同一时刻下物高与影长成正比的规律，代入数据列比例式计算即可，解题过程中注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8