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1. 下图中全等的三角形有（
A.图1和图2
B.图2和图3
C.图2和图4
D.图1和图3
D
）A.图1和图2
B.图2和图3
C.图2和图4
D.图1和图3
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪两个三角形全等，首先回忆三角形全等的SAS判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。解题时先分别找出每个三角形中30°角的两条夹边的长度，再对比哪两个三角形的夹边长度、夹角度数都对应相等，满足条件的就是全等三角形。
【解析】
我们逐个分析每个三角形的边角条件：
1. 图1：30°角的两条夹边长度分别为8cm、9cm，即两边为8cm、9cm，夹角为30°；
2. 图2：30°角的两条夹边长度分别为8cm、5cm，即两边为8cm、5cm，夹角为30°；
3. 图3：30°角的两条夹边长度分别为8cm、9cm，即两边为8cm、9cm，夹角为30°；
4. 图4：30°角的两条夹边长度分别为8cm、8cm，即两边为8cm、8cm，夹角为30°。
根据SAS判定定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，因此图1和图3的边角条件完全对应相等，二者全等。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 三角形夹角识别
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查SAS判定定理的应用，解题的关键是准确识别每个三角形中30°角对应的两条夹边，避免因混淆边和角的对应关系而出错。
【难度系数】
0.8
要判断哪两个三角形全等，首先回忆三角形全等的SAS判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。解题时先分别找出每个三角形中30°角的两条夹边的长度，再对比哪两个三角形的夹边长度、夹角度数都对应相等，满足条件的就是全等三角形。
【解析】
我们逐个分析每个三角形的边角条件：
1. 图1：30°角的两条夹边长度分别为8cm、9cm，即两边为8cm、9cm，夹角为30°；
2. 图2：30°角的两条夹边长度分别为8cm、5cm，即两边为8cm、5cm，夹角为30°；
3. 图3：30°角的两条夹边长度分别为8cm、9cm，即两边为8cm、9cm，夹角为30°；
4. 图4：30°角的两条夹边长度分别为8cm、8cm，即两边为8cm、8cm，夹角为30°。
根据SAS判定定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，因此图1和图3的边角条件完全对应相等，二者全等。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 三角形夹角识别
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查SAS判定定理的应用，解题的关键是准确识别每个三角形中30°角对应的两条夹边，避免因混淆边和角的对应关系而出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示，$AA'$，$BB'$表示两根长度相同的木条，若$O$是$AA'$，$BB'$的中点，经测量$AB=9\ \mathrm{cm}$，则容器的内径$A'B'$为 （
A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$9\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$11\ \mathrm{cm}$
B
）A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$9\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$11\ \mathrm{cm}$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决本题，我们可以通过证明三角形全等，将无法直接测量的容器内径$A'B'$和已知长度的$AB$建立关联。首先由$O$是$AA'$、$BB'$的中点可得两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质，即可用SAS判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质求出$A'B'$的长度。
【解析】
$\because O$是$AA'$、$BB'$的中点，
$\therefore OA=OA'$，$OB=OB'$。
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中：
$\begin{cases}OA=OA' \\∠ AOB=∠ A'OB' \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB=OB'\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ A'OB' \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore A'B'=AB=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形对应边相等；对顶角的性质
【点评】
本题是利用全等三角形解决实际测量问题的基础题，解题核心是提取已知条件中的边角关系证明三角形全等，实现未知线段和已知线段的转化。
【难度系数】
0.9
要解决本题，我们可以通过证明三角形全等，将无法直接测量的容器内径$A'B'$和已知长度的$AB$建立关联。首先由$O$是$AA'$、$BB'$的中点可得两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质，即可用SAS判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质求出$A'B'$的长度。
【解析】
$\because O$是$AA'$、$BB'$的中点，
$\therefore OA=OA'$，$OB=OB'$。
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中：
$\begin{cases}OA=OA' \\∠ AOB=∠ A'OB' \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB=OB'\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ A'OB' \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore A'B'=AB=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形对应边相等；对顶角的性质
【点评】
本题是利用全等三角形解决实际测量问题的基础题，解题核心是提取已知条件中的边角关系证明三角形全等，实现未知线段和已知线段的转化。
【难度系数】
0.9
3.如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，只添加一个条件，能用“SAS”判定△ADE≌△CBE的是（
A.$BC=AD$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AB=CD$
D.$∠ B=∠ D$
C
）A.$BC=AD$
B.$∠ A=∠ C$
C.$AB=CD$
D.$∠ B=∠ D$
答案
3.C
解析
【分析】
要使用“SAS”判定△ADE≌△CBE，首先回忆SAS的判定条件：两个三角形有两组对应边相等，且这两组边的夹角对应相等，即可判定全等。首先梳理已知条件：AE=CE，AB和CD相交于E可得对顶角∠AED=∠CEB，此时已有一组边、一组夹角对应相等，还缺夹这个角的另一组对应边相等，即DE=BE。接下来分析各选项能否推出DE=BE，同时排除不符合SAS判定的选项即可。
【解析】
首先明确SAS判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
已知AE=CE，AB与CD交于点E，因此∠AED=∠CEB（对顶角相等）。
对各选项逐一分析：
选项A：添加BC=AD，此时条件为AD=BC、AE=CE、∠AED=∠CEB，属于SSA组合，无法判定三角形全等，排除；
选项B：添加∠A=∠C，此时条件为∠A=∠C、AE=CE、∠AED=∠CEB，属于ASA判定，不符合“SAS”的要求，排除；
选项C：添加AB=CD，因为AB=AE+BE，CD=CE+DE，且AE=CE，根据等式性质可得AB-AE=CD-CE，即BE=DE。此时在△ADE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}AE=CE\\ ∠ AED=∠ CEB\\ DE=BE\end{array} $，满足“SAS”判定条件，符合要求；
选项D：添加∠B=∠D，此时条件为∠B=∠D、∠AED=∠CEB、AE=CE，属于AAS判定，不符合“SAS”的要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定三角形全等；对顶角相等；等式的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形SAS判定定理的应用，解题时需注意SAS中的角必须是两组对应边的夹角，要区分开不同的全等判定定理，结合已知条件推导缺失的判定要素即可正确求解。
【难度系数】
0.7
要使用“SAS”判定△ADE≌△CBE，首先回忆SAS的判定条件：两个三角形有两组对应边相等，且这两组边的夹角对应相等，即可判定全等。首先梳理已知条件：AE=CE，AB和CD相交于E可得对顶角∠AED=∠CEB，此时已有一组边、一组夹角对应相等，还缺夹这个角的另一组对应边相等，即DE=BE。接下来分析各选项能否推出DE=BE，同时排除不符合SAS判定的选项即可。
【解析】
首先明确SAS判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
已知AE=CE，AB与CD交于点E，因此∠AED=∠CEB（对顶角相等）。
对各选项逐一分析：
选项A：添加BC=AD，此时条件为AD=BC、AE=CE、∠AED=∠CEB，属于SSA组合，无法判定三角形全等，排除；
选项B：添加∠A=∠C，此时条件为∠A=∠C、AE=CE、∠AED=∠CEB，属于ASA判定，不符合“SAS”的要求，排除；
选项C：添加AB=CD，因为AB=AE+BE，CD=CE+DE，且AE=CE，根据等式性质可得AB-AE=CD-CE，即BE=DE。此时在△ADE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}AE=CE\\ ∠ AED=∠ CEB\\ DE=BE\end{array} $，满足“SAS”判定条件，符合要求；
选项D：添加∠B=∠D，此时条件为∠B=∠D、∠AED=∠CEB、AE=CE，属于AAS判定，不符合“SAS”的要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
SAS判定三角形全等；对顶角相等；等式的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形SAS判定定理的应用，解题时需注意SAS中的角必须是两组对应边的夹角，要区分开不同的全等判定定理，结合已知条件推导缺失的判定要素即可正确求解。
【难度系数】
0.7
4.如图，已知$AB=AD$，$AC=AE$，要证$△ ABC ≌ △ ADE$，可以添加的条件是（
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ B=∠ D$
C.$∠ C=∠ E$
D.$∠ CAD=∠ DAC$
A
）A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ B=∠ D$
C.$∠ C=∠ E$
D.$∠ CAD=∠ DAC$
答案
4.A
解析
【分析】
要判定$△ ABC ≌ △ ADE$，已知两组边$AB=AD$、$AC=AE$对应相等，根据三角形全等的判定定理，已知两边对应相等时，可补充第三边相等（SSS）或两边的夹角相等（SAS）来证明全等。首先明确两组边的夹角是$∠ BAC$和$∠ DAE$，接下来逐一分析选项，判断哪个选项能推出夹角相等即可。
【解析】
已知$AB=AD$，$AC=AE$，已有两组边对应相等。
对选项A：若$∠ 1=∠ 2$，根据等式的性质，$∠ 1+∠ CAD=∠ 2+∠ CAD$，即$∠ BAC=∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD(已知)\\∠ BAC=∠ DAE(已证)\\AC=AE(已知)\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，符合要求。
对选项B：添加$∠ B=∠ D$，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不符合全等三角形的判定定理，无法证明全等，排除。
对选项C：添加$∠ C=∠ E$，同样属于SSA的情况，不能判定三角形全等，排除。
对选项D：$∠ CAD$和$∠ DAC$是同一个角，添加该条件无法推出$∠ BAC=∠ DAE$，不能证明全等，排除。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形全等的SAS判定
2. 角的和差性质
【点评】
本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，特别注意两边及一边对角相等（SSA）不能判定两个三角形全等，避免错选。
【难度系数】
0.8
要判定$△ ABC ≌ △ ADE$，已知两组边$AB=AD$、$AC=AE$对应相等，根据三角形全等的判定定理，已知两边对应相等时，可补充第三边相等（SSS）或两边的夹角相等（SAS）来证明全等。首先明确两组边的夹角是$∠ BAC$和$∠ DAE$，接下来逐一分析选项，判断哪个选项能推出夹角相等即可。
【解析】
已知$AB=AD$，$AC=AE$，已有两组边对应相等。
对选项A：若$∠ 1=∠ 2$，根据等式的性质，$∠ 1+∠ CAD=∠ 2+∠ CAD$，即$∠ BAC=∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD(已知)\\∠ BAC=∠ DAE(已证)\\AC=AE(已知)\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，符合要求。
对选项B：添加$∠ B=∠ D$，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不符合全等三角形的判定定理，无法证明全等，排除。
对选项C：添加$∠ C=∠ E$，同样属于SSA的情况，不能判定三角形全等，排除。
对选项D：$∠ CAD$和$∠ DAC$是同一个角，添加该条件无法推出$∠ BAC=∠ DAE$，不能证明全等，排除。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形全等的SAS判定
2. 角的和差性质
【点评】
本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，特别注意两边及一边对角相等（SSA）不能判定两个三角形全等，避免错选。
【难度系数】
0.8
