1.已知$x=y$,则下列变形不一定成立的是（）

A.$x+a=y+a$
B.$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$
C.$x-a=y-a$
D.$ax=ay$

1.B

【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题时先回忆等式的两条基本性质，再逐一分析每个选项是否符合性质要求，尤其要注意等式两边作除法运算时，除数不能为0这个限制条件，就能快速找出不一定成立的选项。
【解析】
首先明确等式的基本性质：
1. 等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立；
2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
逐个分析选项：
A选项：等式两边同时加a，符合等式性质1，变形一定成立；
B选项：等式两边同时除以a，若a=0时，除数为0无意义，此时变形不成立，只有a≠0时才成立，因此该变形不一定成立；
C选项：等式两边同时减a，符合等式性质1，变形一定成立；
D选项：等式两边同时乘a，无论a取何值，两边都相等（a=0时两边均为0），变形一定成立。
综上，符合题意的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质、除数非零要求
【点评】
本题是等式性质应用的基础题，易错点是容易忽略等式两边同时除以的数不能为0的限制条件，做题时要注意对除数取值的讨论。
【难度系数】
0.7

2. 根据等式的基本性质，下列方程变形正确的是（）

A.由$3 - x = -2$，得$x = 3 + 2$
B.由$3x = -7$，得$x = -\frac{3}{7}$
C.由$\frac{1}{3}x = 0$，得$x = 3$
D.由$3 + x = 5$，得$x = 5 + 3$

2.A

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质：①等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一将每个选项的变形对应等式性质验证，判断是否符合规则即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对等式$3 - x = -2$，根据等式性质1，两边同时加$x$得$3 = -2 + x$，再两边同时加2得$3 + 2 = x$，即$x = 3 + 2$，变形正确。
B选项：对等式$3x = -7$，根据等式性质2，两边同时除以3，得$x = -\frac{7}{3}$，选项中结果为$-\frac{3}{7}$，变形错误。
C选项：对等式$\frac{1}{3}x = 0$，根据等式性质2，两边同时乘3，得$x = 0$，选项中结果为3，变形错误。
D选项：对等式$3 + x = 5$，根据等式性质1，两边同时减3，得$x = 5 - 3$，选项中为$x = 5 + 3$，变形错误。
综上，变形正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等式基本性质的灵活运用，解题时需注意移项要改变符号，等式两边同时除以系数时不要颠倒分子分母的位置，熟练掌握性质是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8

3.已知$a=b$,请用“=”或“≠”填空:
(1)$a+3$ $b+3$;
(2)$a-3$ $b-7$;
(3)$\frac{a}{4}$ $\frac{b}{4}$;
(4)$a+x$ $b+x$.

3.(1)= (2)≠ (3)= (4)=

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：性质1是等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；性质2是等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐个分析每个小题的变形是否符合等式性质的要求，符合则填“=”，不符合则填“≠”。
【解析】
已知$a=b$，根据等式的基本性质判断如下：
(1) 等式两边同时加3，符合等式基本性质1，因此$a+3 = b+3$；
(2) 等式左边减3，右边减7，两边减去的不是同一个数，不符合等式基本性质1的要求，因此$a-3 ≠ b-7$；
(3) 等式两边同时除以4（4不为0），符合等式基本性质2，因此$\frac{a}{4} = \frac{b}{4}$；
(4) 等式两边同时加整式$x$，符合等式基本性质1，因此$a+x = b+x$。
【答案】
(1)= (2)≠ (3)= (4)=
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查等式基本性质的应用，解题时要注意：等式变形时必须两边同时进行完全相同的操作，做除法变形时还要保证除数不为0。
【难度系数】
0.9

4.(教材$\boldsymbol{P_{97}}$习题$\boldsymbol{T_{1}}$变式)将下列各题补充完整,包括变形依据及变形过程.
(1)如果$x=3x+2$,那么$x - \_\_\_\_\_\_=2$,根据________;
(2)如果$\dfrac{2}{3}x=4$,那么$x=\_\_\_\_\_\_$,根据________.

4.(1)$3x$ 等式的基本性质1,两边都减去$3x$ (2)$6$ 等式的基本性质2,两边都乘$\frac{3}{2}$

【分析】
解决本题需要熟练掌握等式的两个基本性质，针对每一小问的目标形式，确定需要对等式两边执行的运算：
(1) 原等式右边为$3x+2$，要得到右边仅为2的形式，需要消去右边的$3x$，因此考虑给等式两边同时减去$3x$，对应等式的基本性质1；
(2) 原等式中$x$的系数为$\frac{2}{3}$，要得到系数为1的$x$，需要给等式两边同时乘$\frac{2}{3}$的倒数$\frac{3}{2}$，对应等式的基本性质2。
【解析】
(1) 已知等式$x=3x+2$，根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，给等式两边同时减去$3x$，可得$x - 3x = 3x + 2 - 3x$，化简后为$x - 3x = 2$，因此第一个空填$3x$，变形依据为等式的基本性质1，两边都减去$3x$。
(2) 已知等式$\dfrac{2}{3}x=4$，根据等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，给等式两边同时乘$\dfrac{3}{2}$，可得$\dfrac{2}{3}x × \dfrac{3}{2} = 4 × \dfrac{3}{2}$，计算后得$x=6$，因此空填$6$，变形依据为等式的基本性质2，两边都乘$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$3x$ 等式的基本性质1,两边都减去$3x$ (2)$6$ 等式的基本性质2,两边都乘$\frac{3}{2}$
【知识点】
等式的基本性质1；等式的基本性质2
【点评】
本题是等式基本性质的基础应用题型，解题关键是明确等式变形的目标，准确选择对应的性质，注意变形时等式两边要同时进行相同的运算，避免出现仅对单边运算的错误。
【难度系数】
0.9

5. 解方程$-\frac{3}{5}x=12$时，应在方程两边（）

A.都乘$-\frac{3}{5}$
B.都乘5
C.都除以$\frac{3}{5}$
D.都除以$-\frac{3}{5}$

5.D

【分析】
这道题考查等式的基本性质在解一元一次方程中的应用，解题目标是把未知数x的系数化为1，得到x=a的形式。首先明确当前x的系数是$-\frac{3}{5}$，根据等式的性质2，要让系数变为1，要么在方程两边同时乘系数的倒数（即$-\frac{5}{3}$），要么在方程两边同时除以这个系数本身（即$-\frac{3}{5}$），对照选项判断即可，注意不能遗漏系数的负号。
【解析】
根据等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本题要解$-\frac{3}{5}x=12$，需将x的系数化为1：
选项A：两边都乘$-\frac{3}{5}$，左边变为$\frac{9}{25}x$，无法将系数化为1，错误；
选项B：两边都乘5，左边变为$-3x$，没有将系数化为1，还需后续计算，错误；
选项C：两边都除以$\frac{3}{5}$，左边变为$-x$，未得到x的系数为1，符号错误，错误；
选项D：两边都除以$-\frac{3}{5}$，左边变为$x$，可直接将系数化为1，正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程系数化1
【点评】
本题属于基础题型，重点考察运用等式性质解方程时系数化1的操作，解题时要注意未知数系数的符号，避免因忽略符号误选。
【难度系数】
0.9

6. 由 $2x - 1 = 0$ 得到 $x = \frac{1}{2}$ 可分两步，按步骤完成下列填空：
第一步: 根据等式的基本性质 ，等式两边 ，得到 $2x =$ 。
第二步: 根据等式的基本性质 ，等式两边 ，得到 $x =$ 。

6.1 都加上1 1 2 都除以2 $\frac{1}{2}$

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题时对照每一步的变形目标，选择对应的等式性质操作即可。首先原等式为$2x-1=0$，第一步要让左边仅保留含$x$的项$2x$，需要消去左边的$-1$，对应使用等式的基本性质1操作；第二步要把$2x$的系数化为1得到$x$，对应使用等式的基本性质2操作。
【解析】
第一步：等式的基本性质1为“等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍然成立”，因此给等式两边都加上1，左边变为$2x-1+1=2x$，右边变为$0+1=1$，得到$2x=1$。
第二步：等式的基本性质2为“等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立”，因此给等式两边都除以2，左边变为$2x÷2=x$，右边变为$1÷2=\frac{1}{2}$，得到$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
1；都加上1；1；2；都除以2；$\frac{1}{2}$
【知识点】
等式的基本性质1；等式的基本性质2；方程系数化1
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，是解方程的入门知识，熟练掌握等式的两个基本性质是后续求解各类方程的核心基础。
【难度系数】
0.9

7.(教材$\boldsymbol{P_{97}}$习题$\boldsymbol{T_{2}}$变式)根据等式的基本性质解下列方程,并检验.
(1)$3x - 4 = 8$;
(2)$3 = \dfrac{5}{2}x + 1$.

7.解:(1)两边都加上4,得$3x=8+4$,(性质1)即$3x=12$.两边同除以3,得$x=4$.(性质2)检验:把$x=4$代入原方程,得左边$=3×4-4=8$,右边$=8$,左边$=$右边.所以$x=4$是原方程的解;(2)两边都减去1,得$3-1=\frac{5}{2}x$,(性质1)即$\frac{5}{2}x=2$.两边同除以$\frac{5}{2}$,得$x=\frac{4}{5}$.(性质2)检验:把$x=\frac{4}{5}$代入原方程,得左边$=3$,右边$=\frac{5}{2}×\frac{4}{5}+1=3$,左边$=$右边.所以$x=\frac{4}{5}$是原方程的解.

【分析】
解这类用等式基本性质求解的一元一次方程，首先明确等式的两条核心性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时先通过等式性质1，将含未知数的项留在等号一侧，常数项移到另一侧，合并后再通过等式性质2将未知数的系数化为1得到解，最后将解代入原方程，验证左右两边是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1) 解方程$3x - 4 = 8$：
根据等式性质1，两边都加上4，得$3x=8+4$，即$3x=12$；
再根据等式性质2，两边同除以3，得$x=4$。
检验：把$x=4$代入原方程，左边$=3×4-4=8$，右边$=8$，左边=右边，因此$x=4$是原方程的解。
(2) 解方程$3 = \dfrac{5}{2}x + 1$：
根据等式性质1，两边都减去1，得$3-1=\frac{5}{2}x$，即$\frac{5}{2}x=2$；
再根据等式性质2，两边同除以$\frac{5}{2}$，得$x=\frac{4}{5}$。
检验：把$x=\frac{4}{5}$代入原方程，右边$=\frac{5}{2}×\frac{4}{5}+1=3$，左边$=3$，左边=右边，因此$x=\frac{4}{5}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=4$；(2)$x=\dfrac{4}{5}$
【知识点】
等式的基本性质；解一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，重点考察利用等式性质解简单一元一次方程的规范步骤，以及方程解的检验方法，熟练掌握等式的两条性质和解题流程即可顺利作答。
【难度系数】
0.85

8. 根据等式的基本性质，下列各式变形正确的是（）

A.若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，则$a=b$
B.若$ac=bc$，则$a=b$
C.若$a^2=b^2$，则$a=b$
D.若$-\frac{1}{3}x=6$，则$x=-2$

8.A

【分析】
解题时首先回忆等式的基本性质，重点注意等式两边同时除以同一个数时，该数不能为0的限制条件，再结合平方的性质、一元一次方程的解法逐个验证选项：1.先判断各选项的前提是否隐含除数不为0的条件；2.核对变形过程是否符合等式性质，计算是否正确；3.排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
我们结合等式的基本性质逐个分析选项：
选项A：已知$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，根据分式的定义，分母$c≠0$，等式两边同时乘$c$，可得$a=b$，变形符合等式基本性质，正确。
选项B：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$取何值等式都成立，此时无法推出$a=b$，变形错误。
选项C：若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，例如$a=2$、$b=-2$时，$a^2=b^2=4$，但$a≠ b$，变形错误。
选项D：对$-\frac{1}{3}x=6$求解，等式两边同时乘$-3$，得$x=6×(-3)=-18≠-2$，计算错误。
综上，变形正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质，平方的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查对等式基本性质的理解，易错点在于容易忽略等式两边除以的数不能为0的限制，同时要注意平方相等的两个数可能互为相反数，解题时需逐一验证选项，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8