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9.(亳州涡阳县期末)下面四个方程及其变形，其中正确的是 (
①$4x+8=0$变形为$x+2=0$；
②$x+7=5-3x$变形为$4x=-2$；
③$\frac{2}{5}x=3$变形为$2x=15$；
④$4x=-2$变形为$x=-2$。
A.①③④
B.①②④
C.②③④
D.①②③
D
)①$4x+8=0$变形为$x+2=0$；
②$x+7=5-3x$变形为$4x=-2$；
③$\frac{2}{5}x=3$变形为$2x=15$；
④$4x=-2$变形为$x=-2$。
A.①③④
B.①②④
C.②③④
D.①②③
答案
9.D
解析
【分析】
这道题需要我们逐个判断4个方程变形是否正确，核心依据是等式的基本性质。解题时先回忆等式的两个基本性质：1. 等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来我们逐个验证每个变形是否符合上述性质，最后选出全部正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个变形：
① 对$4x+8=0$，等式两边同时除以4，左边变为$x+2$，右边变为0，即变形为$x+2=0$，变形正确；
② 对$x+7=5-3x$，先等式两边同时加$3x$，得$4x+7=5$，再等式两边同时减7，得$4x=-2$，变形正确；
③ 对$\frac{2}{5}x=3$，等式两边同时乘5，左边变为$2x$，右边变为$15$，即变形为$2x=15$，变形正确；
④ 对$4x=-2$，等式两边同时除以4，得$x=-\frac{1}{2}$，不是$x=-2$，变形错误。
综上，①②③变形正确，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程变形
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查等式基本性质的应用，变形时要注意等式两边同乘一个数时不要漏乘项，同除一个数时要确保该数不为0，熟练掌握性质就能快速判断对错。
【难度系数】
0.8
这道题需要我们逐个判断4个方程变形是否正确，核心依据是等式的基本性质。解题时先回忆等式的两个基本性质：1. 等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来我们逐个验证每个变形是否符合上述性质，最后选出全部正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个变形：
① 对$4x+8=0$，等式两边同时除以4，左边变为$x+2$，右边变为0，即变形为$x+2=0$，变形正确；
② 对$x+7=5-3x$，先等式两边同时加$3x$，得$4x+7=5$，再等式两边同时减7，得$4x=-2$，变形正确；
③ 对$\frac{2}{5}x=3$，等式两边同时乘5，左边变为$2x$，右边变为$15$，即变形为$2x=15$，变形正确；
④ 对$4x=-2$，等式两边同时除以4，得$x=-\frac{1}{2}$，不是$x=-2$，变形错误。
综上，①②③变形正确，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程变形
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查等式基本性质的应用，变形时要注意等式两边同乘一个数时不要漏乘项，同除一个数时要确保该数不为0，熟练掌握性质就能快速判断对错。
【难度系数】
0.8
10.【整体思想】已知$2x - 3y + 1 = 0$且$m - 6x + 9y = 4$，则$m$的值为
1
。答案
10.1
解析
【分析】
本题可利用整体思想求解，首先观察两个等式中含x、y的项的系数关系：第二个等式中-6x+9y是第一个等式中2x-3y的-3倍，因此不需要单独求出x、y的取值，只需先从第一个等式求出2x-3y的值，再整体代入第二个等式即可求出m的值。
【解析】
解：由$2x - 3y + 1 = 0$，移项可得：
$2x - 3y = -1$
对等式$m - 6x + 9y = 4$变形，提取公因式得：
$m - 3(2x - 3y) = 4$
将$2x - 3y = -1$代入上式：
$m - 3×(-1) = 4$
即$m + 3 = 4$
解得$m = 4 - 3 = 1$
【答案】
1
【知识点】
等式的基本性质、整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是运用整体思想，通过观察得到两个式子中含x、y的代数式的倍数关系，避免单独求解x、y的繁琐运算，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题可利用整体思想求解，首先观察两个等式中含x、y的项的系数关系：第二个等式中-6x+9y是第一个等式中2x-3y的-3倍，因此不需要单独求出x、y的取值，只需先从第一个等式求出2x-3y的值，再整体代入第二个等式即可求出m的值。
【解析】
解：由$2x - 3y + 1 = 0$，移项可得：
$2x - 3y = -1$
对等式$m - 6x + 9y = 4$变形，提取公因式得：
$m - 3(2x - 3y) = 4$
将$2x - 3y = -1$代入上式：
$m - 3×(-1) = 4$
即$m + 3 = 4$
解得$m = 4 - 3 = 1$
【答案】
1
【知识点】
等式的基本性质、整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是运用整体思想，通过观察得到两个式子中含x、y的代数式的倍数关系，避免单独求解x、y的繁琐运算，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
11.在等式 $3a - 7 = 2a + 1$ 的两边同时减去一个多项式可以得到等式 $a = 8$，则这个多项式是
$2a-7$
。答案
11.$2a-7$
解析
【分析】
本题需要运用等式的基本性质1解题，等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。我们的目标是将原等式$3a -7 = 2a +1$变形为$a=8$，可通过两种思路推导要减去的多项式：第一种是利用“原等式左边 - 所求多项式 = 变形后的左边$a$”，第二种是利用“原等式右边 - 所求多项式 = 变形后的右边$8$”，两种思路都能求出这个多项式。
【解析】
设这个多项式为$x$，根据题意可得：
思路1：等式左边减去$x$后等于$a$，即：
$3a - 7 - x = a$
移项得：$x = 3a -7 -a$
合并同类项得：$x = 2a -7$
思路2：可代入验证，原等式两边同时减去$2a-7$，左边为$3a-7-(2a-7)=a$，右边为$2a+1-(2a-7)=8$，恰好得到$a=8$，符合题意。
【答案】
$2a-7$
【知识点】
等式的基本性质；整式的加减
【点评】
本题核心是对等式基本性质的灵活运用，结合整式的加减运算即可求解，解题时也可以通过逐步变形的思路，先消去右侧的$2a$，再消去左侧的$-7$，将两步操作合并即可得到要减去的多项式。
【难度系数】
0.8
本题需要运用等式的基本性质1解题，等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。我们的目标是将原等式$3a -7 = 2a +1$变形为$a=8$，可通过两种思路推导要减去的多项式：第一种是利用“原等式左边 - 所求多项式 = 变形后的左边$a$”，第二种是利用“原等式右边 - 所求多项式 = 变形后的右边$8$”，两种思路都能求出这个多项式。
【解析】
设这个多项式为$x$，根据题意可得：
思路1：等式左边减去$x$后等于$a$，即：
$3a - 7 - x = a$
移项得：$x = 3a -7 -a$
合并同类项得：$x = 2a -7$
思路2：可代入验证，原等式两边同时减去$2a-7$，左边为$3a-7-(2a-7)=a$，右边为$2a+1-(2a-7)=8$，恰好得到$a=8$，符合题意。
【答案】
$2a-7$
【知识点】
等式的基本性质；整式的加减
【点评】
本题核心是对等式基本性质的灵活运用，结合整式的加减运算即可求解，解题时也可以通过逐步变形的思路，先消去右侧的$2a$，再消去左侧的$-7$，将两步操作合并即可得到要减去的多项式。
【难度系数】
0.8
12. 根据等式的基本性质解下列方程，并检验.
(1)$2.2x - 3.4 = 3.2$；
(2)$\frac{2}{3}x + 1 = \frac{1}{3}x$.
(1)$2.2x - 3.4 = 3.2$；
(2)$\frac{2}{3}x + 1 = \frac{1}{3}x$.
答案
12.解:(1)两边都加上3.4,得$2.2x=3.2+3.4$,(性质1)即$2.2x=6.6$.两边都除以2.2,得$x=3$.(性质2)检验:把$x=3$代入原方程,得左边$=2.2×3-3.4=3.2$,右边$=3.2$,左边$=$右边,所以$x=3$是原方程的解;(2)两边都减去1,得$\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x-1$.(性质1)两边都减去$\frac{1}{3}x$,得$\frac{1}{3}x=-1$.(性质1)两边都乘以3,得$x=-3$.(性质2)检验:把$x=-3$代入原方程,得左边$=\frac{2}{3}×(-3)+1=-1$,右边$=\frac{1}{3}×(-3)=-1$,左边$=$右边,所以$x=-3$是原方程的解.
解析
【分析】
解这两个方程需利用等式的基本性质逐步化简，整体思路如下：首先用等式性质1（等式两边加/减同一个数或整式，等式仍然成立），将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧；再用等式性质2（等式两边乘/除以同一个不为0的数，等式仍然成立），把未知数的系数化为1得到解；最后将解代入原方程，验证左右两边是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1) 解方程$2.2x - 3.4 = 3.2$：
根据等式性质1，两边都加上3.4，得$2.2x=3.2+3.4$，即$2.2x=6.6$；
根据等式性质2，两边都除以2.2，得$x=3$。
检验：把$x=3$代入原方程，左边$=2.2×3-3.4=3.2$，右边$=3.2$，左边=右边，所以$x=3$是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{2}{3}x + 1 = \frac{1}{3}x$：
根据等式性质1，两边都减去1，得$\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x-1$；
再根据等式性质1，两边都减去$\frac{1}{3}x$，得$\frac{1}{3}x=-1$；
根据等式性质2，两边都乘以3，得$x=-3$。
检验：把$x=-3$代入原方程，左边$=\frac{2}{3}×(-3)+1=-1$，右边$=\frac{1}{3}×(-3)=-1$，左边=右边，所以$x=-3$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-3$
【知识点】
等式的基本性质；解一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题属于解方程的基础题型，重点考查对等式基本性质的理解与应用，解题时要明确每一步变形的依据，养成检验的好习惯可以有效避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解这两个方程需利用等式的基本性质逐步化简，整体思路如下：首先用等式性质1（等式两边加/减同一个数或整式，等式仍然成立），将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧；再用等式性质2（等式两边乘/除以同一个不为0的数，等式仍然成立），把未知数的系数化为1得到解；最后将解代入原方程，验证左右两边是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1) 解方程$2.2x - 3.4 = 3.2$：
根据等式性质1，两边都加上3.4，得$2.2x=3.2+3.4$，即$2.2x=6.6$；
根据等式性质2，两边都除以2.2，得$x=3$。
检验：把$x=3$代入原方程，左边$=2.2×3-3.4=3.2$，右边$=3.2$，左边=右边，所以$x=3$是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{2}{3}x + 1 = \frac{1}{3}x$：
根据等式性质1，两边都减去1，得$\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x-1$；
再根据等式性质1，两边都减去$\frac{1}{3}x$，得$\frac{1}{3}x=-1$；
根据等式性质2，两边都乘以3，得$x=-3$。
检验：把$x=-3$代入原方程，左边$=\frac{2}{3}×(-3)+1=-1$，右边$=\frac{1}{3}×(-3)=-1$，左边=右边，所以$x=-3$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-3$
【知识点】
等式的基本性质；解一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题属于解方程的基础题型，重点考查对等式基本性质的理解与应用，解题时要明确每一步变形的依据，养成检验的好习惯可以有效避免计算失误。
【难度系数】
0.8
13.有只狡猾的狐狸,它平时总喜欢戏弄别的动物,有一天它遇见了老虎,狐狸说:“我发现2和5是可以一样大的,我这里有一个方程$5x-2=2x-2$.
等式两边同时加上2,得
$5x-2+2=2x-2+2$,①
即$5x=2x$.
等式两边同时除以$x$,得$5=2$.②”
老虎瞪大了眼睛,听傻了.
你认为狐狸的说法正确吗？如果正确,请说明上述①②步的理由；如果不正确,请指出错在哪里,并加以改正.
等式两边同时加上2,得
$5x-2+2=2x-2+2$,①
即$5x=2x$.
等式两边同时除以$x$,得$5=2$.②”
老虎瞪大了眼睛,听傻了.
你认为狐狸的说法正确吗？如果正确,请说明上述①②步的理由；如果不正确,请指出错在哪里,并加以改正.
答案
13.解:不正确.①正确,运用了等式的基本性质1.②不正确,等式$5x=2x$两边不能同时除以$x$,因为$x$可能为0.改正如下:等式$5x=2x$两边都减去$2x$,得$5x-2x=0$,即$3x=0$.两边都除以3,得$x=0$.
解析
【分析】
要判断狐狸的说法是否正确，需依据等式的基本性质逐一核查每一步操作是否合规。首先回忆等式的基本性质：1. 等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；2. 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。先看步骤①：等式两边同时加2，符合等式基本性质1，操作正确。再看步骤②：等式两边同时除以x，此时未考虑x可能为0，0不能作除数，违反了等式基本性质2的要求，操作错误。改正时需避免除以可能为0的x，应先移项合并同类项再求解。
【解析】
狐狸的说法不正确。
①步是正确的，运用了等式的基本性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。
②步是不正确的，等式$5x=2x$两边不能同时除以$x$，因为$x$的值可能为0，0不能作除数。
改正过程：对等式$5x=2x$，两边都减去$2x$，得$5x-2x=0$，合并同类项得$3x=0$，两边都除以3，得$x=0$。
【答案】
不正确。①正确，运用了等式的基本性质1。②不正确，等式$5x=2x$两边不能同时除以$x$，因为$x$可能为0。改正如下：等式$5x=2x$两边都减去$2x$，得$5x-2x=0$，即$3x=0$。两边都除以3，得$x=0$。
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查对等式基本性质适用条件的理解，易错点是使用等式性质2进行除法操作时，忽略除数不能为0的要求，这类问题是解方程过程中的常见易错题，掌握本题的易错点能有效减少解方程时的规则误用。
【难度系数】
0.7
要判断狐狸的说法是否正确，需依据等式的基本性质逐一核查每一步操作是否合规。首先回忆等式的基本性质：1. 等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；2. 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立。先看步骤①：等式两边同时加2，符合等式基本性质1，操作正确。再看步骤②：等式两边同时除以x，此时未考虑x可能为0，0不能作除数，违反了等式基本性质2的要求，操作错误。改正时需避免除以可能为0的x，应先移项合并同类项再求解。
【解析】
狐狸的说法不正确。
①步是正确的，运用了等式的基本性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。
②步是不正确的，等式$5x=2x$两边不能同时除以$x$，因为$x$的值可能为0，0不能作除数。
改正过程：对等式$5x=2x$，两边都减去$2x$，得$5x-2x=0$，合并同类项得$3x=0$，两边都除以3，得$x=0$。
【答案】
不正确。①正确，运用了等式的基本性质1。②不正确，等式$5x=2x$两边不能同时除以$x$，因为$x$可能为0。改正如下：等式$5x=2x$两边都减去$2x$，得$5x-2x=0$，即$3x=0$。两边都除以3，得$x=0$。
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查对等式基本性质适用条件的理解，易错点是使用等式性质2进行除法操作时，忽略除数不能为0的要求，这类问题是解方程过程中的常见易错题，掌握本题的易错点能有效减少解方程时的规则误用。
【难度系数】
0.7
14.某班运来一批图书分给班上的同学，若每人分5本，则还缺20本；若每人分4本，则剩余25本.问班上共有多少名同学？多少本书？
（1）设班上共有x名同学，根据题意列方程；
（2）利用等式的基本性质解上述所列方程，并回答问题。
（1）设班上共有x名同学，根据题意列方程；
（2）利用等式的基本性质解上述所列方程，并回答问题。
答案
14.解:(1)根据题意,得$5x-20=4x+25$;(2)两边都加上20,得$5x=4x+45$.两边都减去$4x$,得$x=45$.当$x=45$时,$4x+25=4×45+25=205$.答:班上共有45名同学,205本书.
解析
【分析】
（1）列方程的核心是找到不变的等量关系，本题中图书的总数量是固定不变的。若有x名同学，每人分5本缺20本，说明图书总数比5x少20，即5x-20；每人分4本余25本，说明图书总数比4x多25，即4x+25，两个式子都表示图书总数，因此可列等式。（2）解方程时严格遵循等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立，逐步消去未知数以外的项，求出x的值后代入任意一个表示图书总数的式子，即可算出图书总数。
【解析】
（1）设班上共有x名同学，根据图书总数不变可得：
$5x - 20 = 4x + 25$
（2）根据等式的基本性质1，方程两边同时加20，得：
$5x - 20 + 20 = 4x + 25 + 20$
化简得：$5x = 4x + 45$
再根据等式的基本性质1，方程两边同时减4x，得：
$5x - 4x = 4x + 45 - 4x$
解得：$x = 45$
将$x=45$代入$4x+25$，得图书总数为：$4×45 + 25 = 205$（本）
【答案】
（1）$5x - 20 = 4x + 25$
（2）班上共有45名同学，205本书
【知识点】
一元一次方程列写、等式的基本性质、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础的盈亏类方程应用题，解题关键是提取出隐含的不变量（图书总数）作为等量关系列方程，再用等式性质求解即可，主要考查学生对基础等量关系的识别能力和等式性质的运用能力。
【难度系数】
0.8
（1）列方程的核心是找到不变的等量关系，本题中图书的总数量是固定不变的。若有x名同学，每人分5本缺20本，说明图书总数比5x少20，即5x-20；每人分4本余25本，说明图书总数比4x多25，即4x+25，两个式子都表示图书总数，因此可列等式。（2）解方程时严格遵循等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立，逐步消去未知数以外的项，求出x的值后代入任意一个表示图书总数的式子，即可算出图书总数。
【解析】
（1）设班上共有x名同学，根据图书总数不变可得：
$5x - 20 = 4x + 25$
（2）根据等式的基本性质1，方程两边同时加20，得：
$5x - 20 + 20 = 4x + 25 + 20$
化简得：$5x = 4x + 45$
再根据等式的基本性质1，方程两边同时减4x，得：
$5x - 4x = 4x + 45 - 4x$
解得：$x = 45$
将$x=45$代入$4x+25$，得图书总数为：$4×45 + 25 = 205$（本）
【答案】
（1）$5x - 20 = 4x + 25$
（2）班上共有45名同学，205本书
【知识点】
一元一次方程列写、等式的基本性质、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础的盈亏类方程应用题，解题关键是提取出隐含的不变量（图书总数）作为等量关系列方程，再用等式性质求解即可，主要考查学生对基础等量关系的识别能力和等式性质的运用能力。
【难度系数】
0.8
