8 如图，PA，PB，CD分别切$\odot O$于A，B，E三点，CD分别交PA，PB于C，D两点.若$∠ P=40°$，则$∠ PAE+∠ PBE$的度数为 （）

A.$50°$
B.$62°$
C.$66°$
D.$70°$

8. D

9 如图，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，CD切$\odot O$于点E，分别交PA，PB于点C，D。若$\odot O$的半径为r，$△ PCD$的周长为3r，则$\tan∠ APB$的值为。

9. $\frac{12}{5}$ 解析:连结OA,OB,OP,延长BO交PA于点F.根据切线长定理,得$CA=CE$,$DB=DE$,$PA=PB$,所以$△ PCD$的周长为$PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=2PA=3r$.所以$PA=PB=\frac{3}{2}r$.因为PA,PB分别切$\odot O$于A,B两点,所以$∠ OAF=∠ PBF=90°$.又因为$∠ AFO=∠ BFP$,所以$△ AFO∽△ BFP$.所以$\frac{AF}{BF}=\frac{OA}{PB}=\frac{r}{\frac{3}{2}r}=\frac{2}{3}$.所以$AF=\frac{2}{3}BF$.在$\mathrm{Rt}△ BFP$中,由勾股定理,得$BF^2+PB^2=PF^2$,即$BF^2+(\frac{3}{2}r)^2=(\frac{3}{2}r+\frac{2}{3}BF)^2$.所以$BF=\frac{18}{5}r$.所以$\tan∠ APB=\frac{BF}{PB}=\frac{\frac{18}{5}r}{\frac{3}{2}r}=\frac{12}{5}$

10 [2025 衢州衢江模拟]如图,在$△ ABC$中, $∠ ACB=90°$,$O$为$AC$边上一点,以点$O$为圆心,$OC$为半径作圆与$AB$相切于点$D$,连结$CD$.
(1) 求证:$∠ BCD=∠ BDC$;
(2) 求证:$∠ ABC=2∠ ACD$;
(3) 若$AC=6\sqrt{3}$,$BC=6$,求$\overset{\frown}{CD}$的长.

10. (1) 因为在$\odot O$上,$∠ ACB=90°$,即$BC⊥ OC$,且OC是半径,所以BC切$\odot O$于点C.又因为BD切$\odot O$于点D,所以$BC=BD$.所以$∠ BCD=∠ BDC$ (2) 连结OD.由圆周角定理,得$∠ AOD=2∠ ACD$,因为AB与$\odot O$相切于点D,所以$OD⊥ AB$.因为$∠ ACB=90°$,所以$∠ COD+∠ ABC=180°$.因为$∠ COD+∠ AOD=180°$,所以$∠ AOD=∠ ABC$.所以$∠ ABC=2∠ ACD$ (3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6\sqrt{3}$,$BC=6$,则$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$∠ A=30°$.所以$∠ COD=∠ A+∠ ADO=120°$,$OD=\frac{1}{2}OA$.所以$OC=\frac{1}{2}OA$.因为$AC=6\sqrt{3}$,所以$OC=2\sqrt{3}$.所以$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}π}{3}$

11 如图①，P是$\odot O$外一点，PA，PB是$\odot O$的两条切线，切点分别是A，B，我们将线段PA，PB的长称为点P到$\odot O$的切线长。
（1）根据切线长定理，得出PA，PB的大小关系是。
（2）如图②，$PA=PB=6$，CD是$\odot O$的切线，切点是E，且分别交PA，PB于点C，D，求$△ PCD$的周长。
（3）如图③，半径为3的$\odot O$分别与$△ ABC$的边AC，BC相切于点D，E。已知$AB=17$，$AC=15$，$BC=8$，求证：AB是$\odot O$的切线。

11. (1) $PA=PB$ (2) 因为PA,PB是$\odot O$的两条切线,切点分别是A,B,CD是$\odot O$的切线,切点是E,所以$DB=DE$,$CA=CE$.因为$PA=PB=6$,所以$PD+DC+PC=PD+DE+CE+PC=PD+DB+CA+PC=PB+PA=6+6=12$.所以$△ PCD$的周长为12 (3) 如图,连结OD,OE,OA,OB,OC,过点O作$OF⊥ AB$于点F.因为$AC^2+BC^2=15^2+8^2=17^2=AB^2$,所以$△ ABC$是直角三角形,且$∠ ACB=90°$.所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×15×8=60$.因为AC与$\odot O$相切于点D,BC与$\odot O$相切于点E,所以$OD⊥ AC$,$OE⊥ BC$,$OD=OE=3$.所以$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}AC· OD=\frac{1}{2}×15×3=\frac{45}{2}$,$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· OE=\frac{1}{2}×8×3=12$.所以$S_{△ OAB}=S_{△ ABC}-S_{△ OAC}-S_{△ OBC}=60-\frac{45}{2}-12=\frac{51}{2}$.因为$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB· OF$,所以$OF=\frac{2S_{△ OAB}}{AB}=\frac{2×\frac{51}{2}}{17}=3$.所以圆心O到AB的距离等于$\odot O$的半径.所以AB与$\odot O$相切,即AB是$\odot O$的切线