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与三角形三边都
相切
的圆叫作三角形的内切圆，圆心叫作三角形的内心
，三角形叫作圆的外切
三角形。三角形的内心是三角形的三条角平分线
的交点。答案
与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆，圆心叫作三角形的内心，三角形叫作圆的外切三角形。三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。
1 [2026 金华婺城期中改编]下列说法正确的是
（
A.与三角形的一边相切的圆是三角形的内切圆
B.三角形内切圆半径是重心到一边中点的距离
C.若一个圆经过三角形的三个顶点，则这个圆是该三角形的内切圆
D.三角形的两条内角平分线的交点是三角形的内心
（
D
）A.与三角形的一边相切的圆是三角形的内切圆
B.三角形内切圆半径是重心到一边中点的距离
C.若一个圆经过三角形的三个顶点，则这个圆是该三角形的内切圆
D.三角形的两条内角平分线的交点是三角形的内心
答案
1. D
2 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与边$BC$相切于点$D$，连结$OB$，$OD$。若$∠ ABC = 40°$，则$∠ BOD$的度数为（
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
C
）A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
2. C
3 [2025杭州富阳模拟]如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，分别切$AB$，$BC$，$AC$于点$D$，$E$，$F$，$∠ B=42°$，$P$是$\overset{\frown}{EF}$上一点，则$∠ DPE$的度数是（
A.$42°$
B.$48°$
C.$58°$
D.$69°$
D
）A.$42°$
B.$48°$
C.$58°$
D.$69°$
答案
3. D
4 如图，在$△ ABC$中，点D是$△ ABC$的内心，连结DB，DC，过点D作$EF // BC$，分别交AB，AC于点E，F。若$BE+CF=8$，则EF的长为
8
。答案
4. 8
5 边长为1的正三角形的内切圆半径为
$\frac{\sqrt{3}}{6}$
.答案
5. $\frac{\sqrt{3}}{6}$
6 如图，$△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$.若$AB=9\ \mathrm{cm},BC=13\ \mathrm{cm},CA=14\ \mathrm{cm}$,求$AF,BD,CE$的长.
答案
6. 根据切线长定理,设$AE=AF=x\ \mathrm{cm}$,$BF=BD=y\ \mathrm{cm}$,$CE=CD=z\ \mathrm{cm}$.由题意,得$\begin{cases}x+y=9,\\y+z=13,\\x+z=14,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=4,\\z=9.\end{cases}$所以$AF=5\ \mathrm{cm}$,$BD=4\ \mathrm{cm}$,$CE=9\ \mathrm{cm}$
7 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,连结AC,$\odot P$和$\odot Q$分别是$△ ABC$和$△ ADC$的内切圆,则PQ的长为（
A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$2\sqrt{2}$
B
）A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
7. B 解析:因为四边形ABCD为矩形,所以易得$△ ACD≌△ CAB$.因为$\odot P$和$\odot Q$分别是$△ ABC$和$△ ADC$的内切圆,所以$\odot P$与$\odot Q$的半径相等.因为$AB=4$,$BC=3$,所以$AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$.易得$\odot P$和$\odot Q$的半径均为1.过点Q作$QE// BC$,过点P作$PE// AB$,QE和PE相交于点E,则$∠ QEP=90°$.易得在$\mathrm{Rt}△ QEP$中,$QE=3-2=1$,$PE=4-2=2$,所以$PQ=\sqrt{QE^2+PE^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
