8 [2025 西湖模拟]如图，在$△ ABC$中，$AB+AC=\frac{5}{3}BC$，$AD⊥ BC$于点$D$，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，设$\odot O$的半径为$R$，$AD$的长为$h$，则$\frac{R}{h}$的值为（）

A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{2}{7}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

8. A 解析:设$\odot O$与AB,BC,AC分别相切于点E,F,G,如图,连结OE,OF,OG,则$OE⊥ AB$,$OF⊥ BC$,$OG⊥ AC$,连结AO,OB,OC.所以$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× AB· R+\frac{1}{2}× BC· R+\frac{1}{2}× AC· R=\frac{1}{2}R(AB+AC+BC)$.因为$AB+AC=\frac{5}{3}BC$,所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}R(\frac{5}{3}BC+BC)=\frac{1}{2}R·\frac{8}{3}BC$.因为AD的长为h,所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· h$.所以$\frac{1}{2}R·\frac{8}{3}BC=\frac{1}{2}BC· h$.所以$h=\frac{8}{3}R$.所以$\frac{R}{h}=\frac{R}{\frac{8}{3}R}=\frac{3}{8}$

9 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°, AC = 6$, $BC = 8, \odot O$ 为 $△ ABC$ 的内切圆, $D$ 是斜边 $AB$ 的中点, 连结 $OD$, 则 $\tan ∠ ODA$ 的值为 ______.

9. 2 解析:设$\odot O$与AB,AC,BC分别相切于点E,F,G,连结OE,OF,OG,则$OE⊥ AB$,$OF⊥ AC$,$OG⊥ BC$.因为在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=6$,$BC=8$,所以$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$.因为$OF⊥ AC$,$OG⊥ BC$,所以$∠ OFC=∠ OGC=∠ C=90°$.所以四边形OFCG是矩形.又因为$OF=OG$,所以四边形OFCG是正方形.设$OF=x$,则$CF=CG=x$,$AF=AE=6-x$,$BE=BG=8-x$.因为$AE+BE=AB$,所以$6-x+8-x=10$,解得$x=2$.所以$OF=2$,$AE=4$.因为D是斜边AB的中点,所以$AD=BD=\frac{1}{2}AB=5$.所以$DE=AD-AE=1$.因为在$\mathrm{Rt}△ DOE$中,$OE=OF=2$,$DE=1$,所以$\tan∠ ODA=\frac{OE}{DE}=2$

10 如图, 在锐角三角形 $ ABC $ 中, $ BC = 5 $, $ \sin∠ BAC = \frac{4}{5} $, 点 $ I $ 为 $ △ ABC $ 的内心, $ AB = BC $. 求 $ AI $ 的长.

10. 如图,连结CI,BI,延长BI交AC于点F,过点I作$IG⊥ BC$于点G,$IE⊥ AB$于点E.因为$AB=BC=5$,点I为$△ ABC$的内心,所以$BF⊥ AC$,$AF=CF$.在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,因为$\sin∠ BAC=\frac{4}{5}=\frac{BF}{AB}$,所以$BF=4$.所以$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=3$.所以$AC=6$.因为点I是$△ ABC$的内心,$IE⊥ AB$,$IF⊥ AC$,$IG⊥ BC$,所以$IE=IF=IG$.所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· IF=\frac{1}{2}AC· BF$.所以$IF=\frac{AC· BF}{AB+AC+BC}=\frac{6×4}{5+6+5}=\frac{3}{2}$.在$\mathrm{Rt}△ AIF$中,$AF=3$,$IF=\frac{3}{2}$,所以$AI=\sqrt{AF^2+IF^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$

11 [2025浙江模拟]如图，点P，A，Q在同一条直线上，AB，AD分别是$∠ PAC$与$∠ QAC$的平分线，$CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若$∠ BAC=60°$，矩形ABCD的面积为$4\sqrt{3}$，求$△ ABC$内切圆的半径.

11. (1) 因为AB平分$∠ PAC$,AD平分$∠ QAC$,所以$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ PAC$,$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ QAC$.因为$∠ PAC+∠ QAC=180°$,所以$∠ BAC+∠ DAC=\frac{1}{2}(∠ PAC+∠ QAC)=90°$,即$∠ BAD=90°$.因为$CB⊥ AB$,$CD⊥ AD$,所以$∠ BAD=∠ ABC=∠ D=90°$.所以四边形ABCD是矩形 (2) 如图,设$△ ABC$的内切圆半径为x,$AB=a$,$\odot O$为$△ ABC$的内切圆,切点分别为G,E,F,连结OF,OE,OG,OA,OB,OC,则$OF⊥ AB$,$OE⊥ BC$,$OG⊥ AC$.所以$OE=OF=OG=x$.因为$∠ BAC=60°$,所以$∠ BCA=30°$.所以$AC=2AB=2a$,$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{3}a$.因为矩形ABCD的面积为$4\sqrt{3}$,所以$△ ABC$的面积为$2\sqrt{3}$.所以$\frac{1}{2}(AC· OG+BC· OE+AB· OF)=2\sqrt{3}$,$\frac{1}{2}AB· BC=2\sqrt{3}$,即$2ax+\sqrt{3}ax+ax=4\sqrt{3}$,$\sqrt{3}a^2=4\sqrt{3}$.所以$a=2$(负值舍去),$x=\sqrt{3}-1$.所以$△ ABC$内切圆的半径为$\sqrt{3}-1$

12 如图①，$△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与$AB$，$BC$，$AC$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且 $\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{DE}$。
（1）判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论；
（2）如图②，设$AE$与$DF$相交于点$M$，$AF=2CF=4$，求$AM$的长。

12. (1) $△ ABC$为等腰三角形 连结OF,OE,OD.因为$△ ABC$的内切圆$\odot O$与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,所以$∠ CFO=∠ CEO=∠ BDO=∠ BEO=90°$.又因为四边形的内角和为$360°$,所以$∠ EOF+∠ C=180°$,$∠ DOE+∠ B=180°$.又因为$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{DE}$,所以$∠ EOF=∠ DOE$.所以$∠ B=∠ C$.所以$AC=AB$.所以$△ ABC$为等腰三角形 (2) 由(1),得$AC=AB$,即$AF+CF=AD+BD$.由切线长定理可知,$AF=AD$,$CF=CE$,$BE=BD$,所以$CF=BD=CE=BE$.因为$△ ABC$为等腰三角形,所以易知A,O,E三点共线,且$AE⊥ BC$,$∠ CAE=∠ BAE$.因为$AF=AD$,所以$AM⊥ DF$.所以$DF// BC$.所以$\frac{AM}{AE}=\frac{AF}{AC}$.因为$AF=2CF=4$,所以$CF=2$.所以$AC=AF+CF=6$,$CE=CF=2$.所以在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,$AE=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.所以$\frac{AM}{4\sqrt{2}}=\frac{4}{6}$.所以$AM=\frac{8\sqrt{2}}{3}$