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1. 已知抛物线经过原点 $O,A(2,\frac{1}{2})$ 和 $B(-1,\frac{1}{8})$ 三点，求此抛物线的解析式.
答案
1. 解:设抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx+c$，则 $\begin{cases}0=c,\\\dfrac{1}{2}=4a+2b+c,\\\dfrac{1}{8}=a-b+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\dfrac{1}{8},\\b=0,\\c=0.\end{cases}$
∴此抛物线的解析式为 $y=\dfrac{1}{8}x^2$.
∴此抛物线的解析式为 $y=\dfrac{1}{8}x^2$.
2.已知某二次函数，当 $x=0$ 时，$y=1$；当 $x=-1$ 时，$y=6$；当 $x=1$ 时，$y=0$，求这个二次函数的解析式.
答案
2. 解:设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c$，依题意得 $\begin{cases}a+b+c=0,\\a-b+c=6,\\c=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\b=-3,\\c=1.\end{cases}$
∴这个二次函数的解析式为 $y=2x^2-3x+1$.
∴这个二次函数的解析式为 $y=2x^2-3x+1$.
3.已知抛物线经过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=2$，顶点的纵坐标是$-\dfrac{18}{5}$，求此抛物线的解析式。
答案
3. 解:由题意可知抛物线的顶点坐标为$(2,-\dfrac{18}{5})$，故设 $y=a(x-2)^2-\dfrac{18}{5}$，代入点$(-1,0)$，得 $a×(-1-2)^2-\dfrac{18}{5}=0$，解得 $a=\dfrac{2}{5}$.
∴此抛物线的解析式为 $y=\dfrac{2}{5}(x-2)^2-\dfrac{18}{5}$，即 $y=\dfrac{2}{5}x^2-\dfrac{8}{5}x-2$.
∴此抛物线的解析式为 $y=\dfrac{2}{5}(x-2)^2-\dfrac{18}{5}$，即 $y=\dfrac{2}{5}x^2-\dfrac{8}{5}x-2$.
4.已知y是关于x的二次函数，当$x=-1$时，y有最小值$-7$，且当$x=0$时，$y=-\dfrac{13}{2}$.求该二次函数的解析式.
答案
4. 解:设二次函数的解析式为 $y=a(x+1)^2-7$，把$(0,-\dfrac{13}{2})$代入，得 $-\dfrac{13}{2}=a(0+1)^2-7$，解得 $a=\dfrac{1}{2}$.
∴该二次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-7$，即 $y=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{13}{2}$.
∴该二次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-7$，即 $y=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{13}{2}$.
5.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$，y随x变化的部分数值规律如下表，求该抛物线的解析式.
答案
5. 解:设 $y=a(x+1)(x-3)$，代入点$(0,3)$，得 $-3a=3$，解得 $a=-1$.
∴此抛物线的解析式为 $y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$.
∴此抛物线的解析式为 $y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$.
