6.如图，二次函数的图象经过A，C，B三点，点A的坐标为$(-1,0)$，点B的坐标为$(4,0)$，点C在y轴的正半轴上，若$AB=OC$，求二次函数的解析式.

6. 解:$\because A(-1,0),B(4,0),\therefore AO=1,OB=4. \therefore AB=AO+OB=1+4=5. \because AB=OC,\therefore OC=5. \therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(0,5)$. 设二次函数的解析式为 $y=a(x+1)(x-4)$. 将点 $C(0,5)$ 的坐标代入，得 $-4a=5$，解得 $a=-\dfrac{5}{4}$.
∴二次函数的解析式为 $y=-\dfrac{5}{4}(x+1)(x-4)=-\dfrac{5}{4}x^2+\dfrac{15}{4}x+5$.

7.已知抛物线 $y=-x^2+2x+3$，求此抛物线关于 $y$ 轴对称的抛物线的解析式.

7. 解:$\because y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，
∴其顶点为$(1,4)$.
∵所求抛物线与原抛物线关于 $y$ 轴对称，
∴所求抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$，开口方向和大小不变，
∴所求抛物线的解析式为 $y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$.

8. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = ax^2 + 4x - 3 $ 图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D,点B的坐标是(1,0).
(1)求点A,C,D的坐标,并根据图象直接写出当 $ y＞0 $ 时x的取值范围;
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的解析式.

8. (1)解:把 $B(1,0)$ 的坐标代入 $y=ax^2+4x-3$，得 $0=a+4-3$，解得 $a=-1$，
∴$y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$.
∴$A(2,1)$，抛物线的对称轴为直线 $x=2$. 又 $\because B(1,0),\therefore C(3,0)$，对于 $y=-x^2+4x-3$，当 $x=0$ 时，$y=-3$，
∴$D(0,-3)$. 根据图象可知，当 $y＞0$ 时，$1＜x＜3$.
(2)由(1)知 $D(0,-3),A(2,1)$，
∴点 $D$ 平移到点 $A$，抛物线应向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为 $y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5=-x^2+8x-11$.

9.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$△ ABC$是等腰三角形,$∠ BAC=90°$,$A(1,0)$,$B(0,2)$,抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+bx-2$的图象过点$C$.求抛物线的解析式.

9. 解:过点 $C$ 作 $CD⊥ x$ 轴于点 $D$. 则 $∠ CAD+∠ DCA=90°. \because ∠ BAC=90°,\therefore ∠ OAB+∠ CAD=90°,\therefore ∠ OAB=∠ DCA. \because △ ABC$ 是等腰三角形，$\therefore AB=AC$. 又 $\because ∠ AOB=∠ CDA=90°,\therefore △ AOB≌ △ CDA$(AAS). $\because A(1,0),B(0,2),\therefore CD=OA=1,AD=OB=2,\therefore OD=OA+AD=1+2=3,\therefore C(3,1). \because$ 点 $C(3,1)$ 在抛物线 $y=\dfrac{1}{2}x^2+bx-2$ 上，$\therefore 1=\dfrac{1}{2}×9+3b-2$. 解得 $b=-\dfrac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-2$.