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9.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线交于点E，过点E作$MN // BC$交AB于点M，交AC于点N，若$AB=3$，$BC=4.5$，$AC=5$，则$△ AMN$的周长为（
A.12.5
B.7.5
C.8
D.9.5
C
）A.12.5
B.7.5
C.8
D.9.5
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先观察到题干同时出现角平分线和平行线，这是推导等腰三角形的典型特征组合：先利用角平分线得到等角，再结合平行线的内错角相等进行等量代换，即可得到等腰三角形，实现等线段转化，将△AMN的周长转化为AB与AC的长度和，避开多余的BC边长条件，直接代入计算即可。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，
∴∠MBE=∠CBE，
∵MN//BC，
∴∠MEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBE=∠MEB，
∴MB=ME（等角对等边），
同理可得：NC=NE，
△AMN的周长为：
$C_{△ AMN}=AM+MN+AN$
$=AM+ME+EN+AN$
将ME=MB、EN=NC代入得：
$C_{△ AMN}=AM+MB+AN+NC$
$=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AC$
已知AB=3，AC=5，代入得$C_{△ AMN}=3+5=8$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的常见基础题型，核心考查“角平分线+平行线得等腰三角形”的常用模型，解题关键是通过等线段代换将所求三角形周长转化为已知边长的和，题干给出的BC长度为干扰条件，做题时要注意辨别无用条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到题干同时出现角平分线和平行线，这是推导等腰三角形的典型特征组合：先利用角平分线得到等角，再结合平行线的内错角相等进行等量代换，即可得到等腰三角形，实现等线段转化，将△AMN的周长转化为AB与AC的长度和，避开多余的BC边长条件，直接代入计算即可。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，
∴∠MBE=∠CBE，
∵MN//BC，
∴∠MEB=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBE=∠MEB，
∴MB=ME（等角对等边），
同理可得：NC=NE，
△AMN的周长为：
$C_{△ AMN}=AM+MN+AN$
$=AM+ME+EN+AN$
将ME=MB、EN=NC代入得：
$C_{△ AMN}=AM+MB+AN+NC$
$=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AC$
已知AB=3，AC=5，代入得$C_{△ AMN}=3+5=8$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的常见基础题型，核心考查“角平分线+平行线得等腰三角形”的常用模型，解题关键是通过等线段代换将所求三角形周长转化为已知边长的和，题干给出的BC长度为干扰条件，做题时要注意辨别无用条件。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$M$在$CA$的延长线上,$MN⊥ BC$于点$N$,交$AB$于点$O$,若$AO=3$,$BO=4$,则$MC=$ (
A.12
B.9
C.10
D.11
C
)A.12
B.9
C.10
D.11
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先利用等腰三角形AB=AC的性质得到两底角∠B=∠C，再结合MN⊥BC得到两个直角三角形，根据直角三角形两锐角互余推出∠M和∠BON相等，再利用对顶角相等转化得到∠M=∠AOM，即可判定△AMO为等腰三角形得到AM=AO，最后计算AB即AC的长度，相加得到MC的长度即可。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，
∴$∠ B=∠ C$
∵$MN⊥ BC$，
∴$∠ MNC=∠ BNM=90°$
在$Rt△ MNC$中，$∠ M + ∠ C = 90°$
在$Rt△ BNO$中，$∠ B + ∠ BON = 90°$
又
∵$∠ B=∠ C$，
∴$∠ M=∠ BON$
∵$∠ BON$与$∠ AOM$是对顶角，
∴$∠ BON=∠ AOM$
∴$∠ M=∠ AOM$，
∴$AM=AO=3$
∵$AB=AO+BO=3+4=7$，
∴$AC=AB=7$
∴$MC=AM+AC=3+7=10$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何推理题，核心是通过角的等量关系转化得到等腰三角形，考查学生对等角对等边、等边对等角的灵活运用能力，解题的关键是找到角之间的互余和相等关系。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等腰三角形AB=AC的性质得到两底角∠B=∠C，再结合MN⊥BC得到两个直角三角形，根据直角三角形两锐角互余推出∠M和∠BON相等，再利用对顶角相等转化得到∠M=∠AOM，即可判定△AMO为等腰三角形得到AM=AO，最后计算AB即AC的长度，相加得到MC的长度即可。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，
∴$∠ B=∠ C$
∵$MN⊥ BC$，
∴$∠ MNC=∠ BNM=90°$
在$Rt△ MNC$中，$∠ M + ∠ C = 90°$
在$Rt△ BNO$中，$∠ B + ∠ BON = 90°$
又
∵$∠ B=∠ C$，
∴$∠ M=∠ BON$
∵$∠ BON$与$∠ AOM$是对顶角，
∴$∠ BON=∠ AOM$
∴$∠ M=∠ AOM$，
∴$AM=AO=3$
∵$AB=AO+BO=3+4=7$，
∴$AC=AB=7$
∴$MC=AM+AC=3+7=10$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何推理题，核心是通过角的等量关系转化得到等腰三角形，考查学生对等角对等边、等边对等角的灵活运用能力，解题的关键是找到角之间的互余和相等关系。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的中线，$E$是$AB$上一点，且$AE=DE$。若$AB=4$，则$DE$的长为
2
。答案
11.2
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形和中线条件入手，根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直BC，即△ABD为直角三角形；再结合AE=DE的条件，利用等边对等角得到角相等，通过等角的余角相等推导出∠B=∠EDB，进而得到BE=DE，即可得出DE是Rt△ABD斜边AB的中线，长度为AB的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADB=90°，
∴△ABD是直角三角形。
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA（等边对等角）。
∵在Rt△ABD中，∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠EDB=90°，
∴∠B=∠EDB（等角的余角相等），
∴BE=DE（等角对等边）。
∴DE=AE=BE，即E为AB的中点，DE是Rt△ABD斜边AB的中线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB。
∵AB=4，
∴DE=$\frac{1}{2}$×4=2。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质；等边对等角；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等腰三角形的性质与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推导出点E是AB的中点，掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形和中线条件入手，根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直BC，即△ABD为直角三角形；再结合AE=DE的条件，利用等边对等角得到角相等，通过等角的余角相等推导出∠B=∠EDB，进而得到BE=DE，即可得出DE是Rt△ABD斜边AB的中线，长度为AB的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADB=90°，
∴△ABD是直角三角形。
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA（等边对等角）。
∵在Rt△ABD中，∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠EDB=90°，
∴∠B=∠EDB（等角的余角相等），
∴BE=DE（等角对等边）。
∴DE=AE=BE，即E为AB的中点，DE是Rt△ABD斜边AB的中线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB。
∵AB=4，
∴DE=$\frac{1}{2}$×4=2。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质；等边对等角；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等腰三角形的性质与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推导出点E是AB的中点，掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$BC$，$AC$上，且$BE=CF$，$BD=CE$。
(1)求证：$△ DEF$是等腰三角形；
(2)当$∠ A=40°$时，求$∠ DEF$的度数。
(1)求证：$△ DEF$是等腰三角形；
(2)当$∠ A=40°$时，求$∠ DEF$的度数。
答案
12.(1)证明:$\because AB=AC,$
$\therefore ∠B=∠C.$
在$△BDE$和$△CEF$中,$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △BDE≌△CEF(\mathrm{SAS}). \therefore DE=EF.$
$\therefore △DEF$是等腰三角形.
(2)解:$\because AB=AC,∠A=40^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠C=70^{\circ }. \therefore ∠BED+∠BDE=110^{\circ }.$
$\because △BDE≌△CEF,\therefore ∠BDE=∠CEF.$
$\therefore ∠BED+∠CEF=110^{\circ }.$
$\therefore ∠DEF=180^{\circ }-(∠BED+∠CEF)=70^{\circ }.$
$\therefore ∠B=∠C.$
在$△BDE$和$△CEF$中,$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △BDE≌△CEF(\mathrm{SAS}). \therefore DE=EF.$
$\therefore △DEF$是等腰三角形.
(2)解:$\because AB=AC,∠A=40^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠C=70^{\circ }. \therefore ∠BED+∠BDE=110^{\circ }.$
$\because △BDE≌△CEF,\therefore ∠BDE=∠CEF.$
$\therefore ∠BED+∠CEF=110^{\circ }.$
$\therefore ∠DEF=180^{\circ }-(∠BED+∠CEF)=70^{\circ }.$
解析
【分析】
(1)要证明△DEF是等腰三角形，核心是证明它有两条边相等，观察图形可尝试证DE=EF。已知AB=AC，由等腰三角形性质可得∠B=∠C，再结合题干给出的BD=CE、BE=CF，可通过SAS判定△BDE≌△CEF，得到DE=EF即可完成证明。
(2)要求∠DEF的度数，先根据等腰△ABC的顶角∠A=40°算出底角∠B的度数，再利用三角形内角和得到△BDE中两锐角的和，结合全等三角形对应角相等完成角的转化，最后根据平角的性质计算出∠DEF的度数。
【解析】
(1)证明:$\because AB=AC,$
$\therefore ∠B=∠C$（等腰三角形等边对等角）。
在$△BDE$和$△CEF$中,$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △BDE≌△CEF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore DE=EF$（全等三角形对应边相等）,
$\therefore △DEF$是等腰三角形。
(2)解:$\because AB=AC,∠A=40^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠C=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°,$
由三角形内角和定理可得$∠BED+∠BDE=180°-∠B=110°$。
$\because △BDE≌△CEF,\therefore ∠BDE=∠CEF$（全等三角形对应角相等）,
$\therefore ∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE=110°,$
$\therefore ∠DEF=180^{\circ }-(∠BED+∠CEF)=180°-110°=70°.$
【答案】
(1)△DEF是等腰三角形，证明成立；
(2)$∠DEF=70°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础题，结合等腰三角形和全等三角形的知识点进行考察，解题核心是先证明三角形全等，再利用全等性质转化边、角关系，能够锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△DEF是等腰三角形，核心是证明它有两条边相等，观察图形可尝试证DE=EF。已知AB=AC，由等腰三角形性质可得∠B=∠C，再结合题干给出的BD=CE、BE=CF，可通过SAS判定△BDE≌△CEF，得到DE=EF即可完成证明。
(2)要求∠DEF的度数，先根据等腰△ABC的顶角∠A=40°算出底角∠B的度数，再利用三角形内角和得到△BDE中两锐角的和，结合全等三角形对应角相等完成角的转化，最后根据平角的性质计算出∠DEF的度数。
【解析】
(1)证明:$\because AB=AC,$
$\therefore ∠B=∠C$（等腰三角形等边对等角）。
在$△BDE$和$△CEF$中,$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △BDE≌△CEF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore DE=EF$（全等三角形对应边相等）,
$\therefore △DEF$是等腰三角形。
(2)解:$\because AB=AC,∠A=40^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠C=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°,$
由三角形内角和定理可得$∠BED+∠BDE=180°-∠B=110°$。
$\because △BDE≌△CEF,\therefore ∠BDE=∠CEF$（全等三角形对应角相等）,
$\therefore ∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE=110°,$
$\therefore ∠DEF=180^{\circ }-(∠BED+∠CEF)=180°-110°=70°.$
【答案】
(1)△DEF是等腰三角形，证明成立；
(2)$∠DEF=70°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础题，结合等腰三角形和全等三角形的知识点进行考察，解题核心是先证明三角形全等，再利用全等性质转化边、角关系，能够锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=36°$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，交$AC$于点$D$，$E$是$AB$的中点，连接$ED$并延长，交$BC$的延长线于点$F$，连接$AF$.求证：
(1)$EF⊥ AB$；
(2)$△ ACF$为等腰三角形.
(1)$EF⊥ AB$；
(2)$△ ACF$为等腰三角形.
答案
13. 证明:(1)$\because AB=AC,∠BAC=36^{\circ },$
$\therefore ∠ABC=\frac{1}{2}×(180^{\circ }-36^{\circ })=72^{\circ }.$
$\because BD$是$∠ABC$的平分线，
$\therefore ∠ABD=36^{\circ }. \therefore ∠BAD=∠ABD. \therefore AD=BD.$
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore DE⊥AB$,即$EF⊥AB.$
(2)$\because EF⊥AB,AE=BE,\therefore EF$垂直平分$AB.$
$\therefore AF=BF. \therefore ∠BAF=∠ABF=72^{\circ }.$
$\therefore ∠AFB=180^{\circ }-72^{\circ }×2=36^{\circ },$
$∠CAF=∠BAF-∠BAC=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }.$
$\therefore ∠CAF=∠AFC. \therefore AC=CF.$
$\therefore △ACF$为等腰三角形.
$\therefore ∠ABC=\frac{1}{2}×(180^{\circ }-36^{\circ })=72^{\circ }.$
$\because BD$是$∠ABC$的平分线，
$\therefore ∠ABD=36^{\circ }. \therefore ∠BAD=∠ABD. \therefore AD=BD.$
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore DE⊥AB$,即$EF⊥AB.$
(2)$\because EF⊥AB,AE=BE,\therefore EF$垂直平分$AB.$
$\therefore AF=BF. \therefore ∠BAF=∠ABF=72^{\circ }.$
$\therefore ∠AFB=180^{\circ }-72^{\circ }×2=36^{\circ },$
$∠CAF=∠BAF-∠BAC=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }.$
$\therefore ∠CAF=∠AFC. \therefore AC=CF.$
$\therefore △ACF$为等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 要证$EF⊥AB$，先根据等腰$△ ABC$的顶角度数求出底角$∠ ABC$的度数，结合$BD$是角平分线可推出$∠ ABD=∠ BAC$，得到$AD=BD$，即$△ ABD$为等腰三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合$E$是$AB$中点，即可证明$DE⊥AB$，也就是$EF⊥AB$。
(2) 要证$△ ACF$为等腰三角形，先由$EF$垂直平分$AB$，根据线段垂直平分线的性质得$AF=BF$，求出$∠ BAF$的度数，再通过角度计算得到$∠ CAF=∠ AFC$，根据“等角对等边”即可证明$AC=CF$，得到$△ ACF$是等腰三角形。
【解析】
(1) $\because AB=AC$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$，
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ABD$，
$\therefore AD=BD$，即$△ ABD$为等腰三角形，
又$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore DE⊥ AB$（等腰三角形三线合一），即$EF⊥ AB$。
(2) $\because EF⊥ AB$，$AE=BE$，
$\therefore EF$垂直平分$AB$，
$\therefore AF=BF$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore ∠ BAF=∠ ABF=72°$，
$\therefore ∠ AFB=180°-72°×2=36°$，
$∠ CAF=∠ BAF-∠ BAC=72°-36°=36°$，
$\therefore ∠ CAF=∠ AFC$，
$\therefore AC=CF$（等角对等边），
$\therefore △ ACF$为等腰三角形。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 证明成立。
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形相关性质的综合应用类题目，解题时需要结合已知条件逐步推导边角关系，核心是合理利用等腰三角形三线合一和线段垂直平分线的性质转化条件，理清角度之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$EF⊥AB$，先根据等腰$△ ABC$的顶角度数求出底角$∠ ABC$的度数，结合$BD$是角平分线可推出$∠ ABD=∠ BAC$，得到$AD=BD$，即$△ ABD$为等腰三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，结合$E$是$AB$中点，即可证明$DE⊥AB$，也就是$EF⊥AB$。
(2) 要证$△ ACF$为等腰三角形，先由$EF$垂直平分$AB$，根据线段垂直平分线的性质得$AF=BF$，求出$∠ BAF$的度数，再通过角度计算得到$∠ CAF=∠ AFC$，根据“等角对等边”即可证明$AC=CF$，得到$△ ACF$是等腰三角形。
【解析】
(1) $\because AB=AC$，$∠ BAC=36°$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$，
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ABD$，
$\therefore AD=BD$，即$△ ABD$为等腰三角形，
又$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore DE⊥ AB$（等腰三角形三线合一），即$EF⊥ AB$。
(2) $\because EF⊥ AB$，$AE=BE$，
$\therefore EF$垂直平分$AB$，
$\therefore AF=BF$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\therefore ∠ BAF=∠ ABF=72°$，
$\therefore ∠ AFB=180°-72°×2=36°$，
$∠ CAF=∠ BAF-∠ BAC=72°-36°=36°$，
$\therefore ∠ CAF=∠ AFC$，
$\therefore AC=CF$（等角对等边），
$\therefore △ ACF$为等腰三角形。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 证明成立。
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形相关性质的综合应用类题目，解题时需要结合已知条件逐步推导边角关系，核心是合理利用等腰三角形三线合一和线段垂直平分线的性质转化条件，理清角度之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
