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1. 一个等腰三角形的一个外角等于$100°$，则这个等腰三角形的底角为（
A.$55°$
B.$70°$
C.$55°$或$40°$
D.$80°$或$50°$
D
）A.$55°$
B.$70°$
C.$55°$或$40°$
D.$80°$或$50°$
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题需要用到分类讨论思想，因为等腰三角形的外角没有明确是顶角的外角还是底角的外角，所以要分两种情况讨论：①100°是顶角的外角；②100°是底角的外角。再结合三角形外角与相邻内角互补、等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算，最后验证结果是否合理即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若100°的外角是等腰三角形顶角的外角：
顶角的度数为 $180° - 100° = 80°$
因为等腰三角形两底角相等，所以底角的度数为 $\frac{180° - 80°}{2} = 50°$
2. 若100°的外角是等腰三角形底角的外角：
底角的度数为 $180° - 100° = 80°$
此时顶角的度数为 $180° - 80° × 2 = 20°$，符合三角形内角和要求。
综上，这个等腰三角形的底角为80°或50°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点是遗漏外角对应的内角类型，导致漏解，解题时要注意梳理所有可能的情况，计算后还要验证结果是否满足三角形的基本性质，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
解决本题需要用到分类讨论思想，因为等腰三角形的外角没有明确是顶角的外角还是底角的外角，所以要分两种情况讨论：①100°是顶角的外角；②100°是底角的外角。再结合三角形外角与相邻内角互补、等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算，最后验证结果是否合理即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若100°的外角是等腰三角形顶角的外角：
顶角的度数为 $180° - 100° = 80°$
因为等腰三角形两底角相等，所以底角的度数为 $\frac{180° - 80°}{2} = 50°$
2. 若100°的外角是等腰三角形底角的外角：
底角的度数为 $180° - 100° = 80°$
此时顶角的度数为 $180° - 80° × 2 = 20°$，符合三角形内角和要求。
综上，这个等腰三角形的底角为80°或50°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点是遗漏外角对应的内角类型，导致漏解，解题时要注意梳理所有可能的情况，计算后还要验证结果是否满足三角形的基本性质，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
2.等腰三角形的一个角比另一个角大$30°$，等腰三角形的顶角的度数是
80°或 40°
。答案
2.80°或 40°
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅说明一个角比另一个角大30°，未明确较大的角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①顶角比底角大30°；②底角比顶角大30°。分别设顶角度数为未知数，根据内角和列方程求解，最后验证结果是否符合三角形角度要求即可。
【解析】
设等腰三角形的顶角度数为$x$，分两种情况讨论：
1. 若顶角比底角大$30°$，则底角度数为$x-30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x + 2(x-30°) = 180°$
展开得：$x + 2x - 60° = 180°$
整理得：$3x = 240°$
解得：$x = 80°$，此时底角为$50°$，符合三角形内角和要求。
2. 若底角比顶角大$30°$，则底角度数为$x+30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x + 2(x+30°) = 180°$
展开得：$x + 2x + 60° = 180°$
整理得：$3x = 120°$
解得：$x = 40°$，此时底角为$70°$，符合三角形内角和要求。
综上，等腰三角形的顶角度数为$80°$或$40°$。
【答案】
$80°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键是明确角度大小关系对应角的类型不唯一，需分类讨论，求解后要验证结果是否满足三角形的角度限制，避免漏解或出现无效解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅说明一个角比另一个角大30°，未明确较大的角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①顶角比底角大30°；②底角比顶角大30°。分别设顶角度数为未知数，根据内角和列方程求解，最后验证结果是否符合三角形角度要求即可。
【解析】
设等腰三角形的顶角度数为$x$，分两种情况讨论：
1. 若顶角比底角大$30°$，则底角度数为$x-30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x + 2(x-30°) = 180°$
展开得：$x + 2x - 60° = 180°$
整理得：$3x = 240°$
解得：$x = 80°$，此时底角为$50°$，符合三角形内角和要求。
2. 若底角比顶角大$30°$，则底角度数为$x+30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x + 2(x+30°) = 180°$
展开得：$x + 2x + 60° = 180°$
整理得：$3x = 120°$
解得：$x = 40°$，此时底角为$70°$，符合三角形内角和要求。
综上，等腰三角形的顶角度数为$80°$或$40°$。
【答案】
$80°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键是明确角度大小关系对应角的类型不唯一，需分类讨论，求解后要验证结果是否满足三角形的角度限制，避免漏解或出现无效解。
【难度系数】
0.6
3.用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5 cm，等腰三角形的腰长是
6.5 cm 或 5 cm
。答案
3.6.5 cm 或 5 cm
解析
【分析】
等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出一边长为5cm，未明确该边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论求解；同时求出的三边长必须满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）才能构成有效三角形，因此每种情况都要验证是否符合三边关系。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若长为5cm的边是腰：
则底边长为 $18 - 5×2 = 8\ \mathrm{cm}$
此时三角形三边长为5cm、5cm、8cm，验证三边关系：$5+5＞8$，满足三角形三边关系，此时腰长为5cm；
② 若长为5cm的边是底边：
则腰长为 $(18 - 5)÷2 = 6.5\ \mathrm{cm}$
此时三角形三边长为6.5cm、6.5cm、5cm，验证三边关系：$6.5+5＞6.5$，满足三角形三边关系，此时腰长为6.5cm。
综上，等腰三角形的腰长为6.5cm或5cm。
【答案】
6.5 cm 或 5 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题易错点有两个：一是忽略分类讨论，只考虑其中一种情况导致漏解；二是求出边长后未验证三边关系，出现无法构成三角形的错误。解题时遇到等腰三角形边长未明确腰或底的情况，一定要先分类，再结合三边关系验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出一边长为5cm，未明确该边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论求解；同时求出的三边长必须满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）才能构成有效三角形，因此每种情况都要验证是否符合三边关系。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若长为5cm的边是腰：
则底边长为 $18 - 5×2 = 8\ \mathrm{cm}$
此时三角形三边长为5cm、5cm、8cm，验证三边关系：$5+5＞8$，满足三角形三边关系，此时腰长为5cm；
② 若长为5cm的边是底边：
则腰长为 $(18 - 5)÷2 = 6.5\ \mathrm{cm}$
此时三角形三边长为6.5cm、6.5cm、5cm，验证三边关系：$6.5+5＞6.5$，满足三角形三边关系，此时腰长为6.5cm。
综上，等腰三角形的腰长为6.5cm或5cm。
【答案】
6.5 cm 或 5 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题易错点有两个：一是忽略分类讨论，只考虑其中一种情况导致漏解；二是求出边长后未验证三边关系，出现无法构成三角形的错误。解题时遇到等腰三角形边长未明确腰或底的情况，一定要先分类，再结合三边关系验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
4.一个等腰三角形的底边长为15 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5 cm，求这个三角形的周长.
答案
4.解:如图
,在△ABC中,AB=AC,AD=CD.设AB=x cm.
当AD+AB与BC+CD的差是5 cm时,
$\frac{1}{2}x+x-(\frac{1}{2}x+15)=5$,
解得 x=20.
∵长为 15 cm,20 cm,20 cm 的三边能组成三角形,
∴这个三角形的周长为 55 cm;
当 BC+CD 与 AD+AB 的差是 5 cm 时,
$15+\frac{1}{2}x-(\frac{1}{2}x+x)=5$,
解得 x=10.
∵长为 15 cm,10 cm,10 cm 的三边能组成三角形,
∴这个三角形的周长为 35 cm.
综上所述,这个三角形的周长为 55 cm 或 35 cm.
解析
【分析】
本题为等腰三角形的周长计算问题，解题思路如下：首先，一腰上的中线会将腰分为长度相等的两段，因此中线分出的两部分周长的差，本质是腰长与底边长的差（两段半腰会相互抵消）。其次，题目未说明哪部分周长更长，因此需要分两种情况讨论：①腰长比底边长5cm；②底边长比腰长5cm。最后，求出对应腰长后，必须用三角形三边关系验证三条线段能否构成三角形，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：如图，在△ABC中，AB=AC，AD=CD。
设AB=x cm。
当AD+AB与BC+CD的差是5 cm时，
$\frac{1}{2}x+x-(\frac{1}{2}x+15)=5$，
解得 x=20。
∵长为 15 cm，20 cm，20 cm 的三边能组成三角形，
∴这个三角形的周长为$15+20+20=55$ cm；
当 BC+CD 与 AD+AB 的差是 5 cm时，
$15+\frac{1}{2}x-(\frac{1}{2}x+x)=5$，
解得 x=10。
∵长为 15 cm，10 cm，10 cm 的三边能组成三角形，
∴这个三角形的周长为$15+10+10=35$ cm。
综上所述，这个三角形的周长为 55 cm 或 35 cm。
【答案】
解:如图,在△ABC中,AB=AC,AD=CD.
设AB=x cm.
当AD+AB与BC+CD的差是5 cm时,
$\frac{1}{2}x+x-(\frac{1}{2}x+15)=5$,
解得 x=20.
∵长为 15 cm,20 cm,20 cm 的三边能组成三角形,
∴这个三角形的周长为 55 cm;
当 BC+CD 与 AD+AB 的差是 5 cm时,
$15+\frac{1}{2}x-(\frac{1}{2}x+x)=5$,
解得 x=10.
∵长为 15 cm,10 cm,10 cm 的三边能组成三角形,
∴这个三角形的周长为 35 cm.
综上所述,这个三角形的周长为 55 cm 或 35 cm.
【知识点】
等腰三角形性质，分类讨论思想，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形计算的典型易错题，解题的核心是明确两部分周长差的本质，分类时做到不重不漏，同时要养成求出边长后验证三边关系的习惯，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
本题为等腰三角形的周长计算问题，解题思路如下：首先，一腰上的中线会将腰分为长度相等的两段，因此中线分出的两部分周长的差，本质是腰长与底边长的差（两段半腰会相互抵消）。其次，题目未说明哪部分周长更长，因此需要分两种情况讨论：①腰长比底边长5cm；②底边长比腰长5cm。最后，求出对应腰长后，必须用三角形三边关系验证三条线段能否构成三角形，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：如图
，在△ABC中，AB=AC，AD=CD。设AB=x cm。
当AD+AB与BC+CD的差是5 cm时，
$\frac{1}{2}x+x-(\frac{1}{2}x+15)=5$，
解得 x=20。
∵长为 15 cm，20 cm，20 cm 的三边能组成三角形，
∴这个三角形的周长为$15+20+20=55$ cm；
当 BC+CD 与 AD+AB 的差是 5 cm时，
$15+\frac{1}{2}x-(\frac{1}{2}x+x)=5$，
解得 x=10。
∵长为 15 cm，10 cm，10 cm 的三边能组成三角形，
∴这个三角形的周长为$15+10+10=35$ cm。
综上所述，这个三角形的周长为 55 cm 或 35 cm。
【答案】
解:如图
,在△ABC中,AB=AC,AD=CD.设AB=x cm.
当AD+AB与BC+CD的差是5 cm时,
$\frac{1}{2}x+x-(\frac{1}{2}x+15)=5$,
解得 x=20.
∵长为 15 cm,20 cm,20 cm 的三边能组成三角形,
∴这个三角形的周长为 55 cm;
当 BC+CD 与 AD+AB 的差是 5 cm时,
$15+\frac{1}{2}x-(\frac{1}{2}x+x)=5$,
解得 x=10.
∵长为 15 cm,10 cm,10 cm 的三边能组成三角形,
∴这个三角形的周长为 35 cm.
综上所述,这个三角形的周长为 55 cm 或 35 cm.
【知识点】
等腰三角形性质，分类讨论思想，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形计算的典型易错题，解题的核心是明确两部分周长差的本质，分类时做到不重不漏，同时要养成求出边长后验证三边关系的习惯，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
5.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$,求这个等腰三角形底角的度数.
答案
5.解:①如图
,当∠A＜90°时,∵BD⊥AC,
∴∠A+∠ABD=90°.
∵∠ABD=36°,
∴∠A=90°-36°=54°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}×(180°-54°)=63°$.
②如图
,当∠A＞90°时,同①可得∠DAC=90°-36°=54°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}×54°=27°$.
综上所述,这个等腰三角形底角的度数为 63°或 27°.
解析
【分析】
解决本题需结合等腰三角形顶角的取值范围分类讨论：等腰三角形的顶角可能是锐角也可能是钝角，两种情况下一腰上的高位置不同，锐角顶角的高在三角形内部，钝角顶角的高在三角形外部。我们先根据高的定义和已知夹角求出对应顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角度数，避免漏解。
【解析】
①如图,当∠A＜90°时,
∵BD⊥AC,
∴∠A+∠ABD=90°.
∵∠ABD=36°,
∴∠A=90°-36°=54°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}×(180°-54°)=63°$.
②如图,当∠A＞90°时,同①可得
∠DAC=90°-36°=54°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}×54°=27°$.
综上所述,这个等腰三角形底角的度数为 63°或 27°。
【答案】
63°或27°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形高的定义
【点评】
本题易错点是忽略顶角为钝角时腰上的高落在三角形外部的情况，容易漏解。解题时要结合图形分析高的位置，运用分类讨论思想全面考虑所有可能情况。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合等腰三角形顶角的取值范围分类讨论：等腰三角形的顶角可能是锐角也可能是钝角，两种情况下一腰上的高位置不同，锐角顶角的高在三角形内部，钝角顶角的高在三角形外部。我们先根据高的定义和已知夹角求出对应顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角度数，避免漏解。
【解析】
①如图
,当∠A＜90°时,∵BD⊥AC,
∴∠A+∠ABD=90°.
∵∠ABD=36°,
∴∠A=90°-36°=54°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}×(180°-54°)=63°$.
②如图
,当∠A＞90°时,同①可得∠DAC=90°-36°=54°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}×54°=27°$.
综上所述,这个等腰三角形底角的度数为 63°或 27°。
【答案】
63°或27°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形高的定义
【点评】
本题易错点是忽略顶角为钝角时腰上的高落在三角形外部的情况，容易漏解。解题时要结合图形分析高的位置，运用分类讨论思想全面考虑所有可能情况。
【难度系数】
0.6
6. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，$∠ AEB=80°$，求$∠ EBC$的度数.
答案
6.解:如图
,当∠A＜90°时,∵DE 垂直平分 AB,
∴AE=BE.
∴∠BAC=∠ABE.
∵∠AEB=80°,
∴∠BAC=∠ABE=50°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=$\frac{180°-50°}{2}=65°$.
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=65°-50°=15°.
如图
,当∠A＞90°时,同理可得∠ABE=∠BAE=50°.∴∠BAC=∠AEB+∠ABE=80°+50°=130°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=$\frac{180°-130°}{2}=25°$.
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=50°+25°=75°.
综上所述,∠EBC 的度数为 15°或 75°.
解析
【分析】
解题时首先要注意DE交的是直线AC而非线段AC，因此需分∠BAC为锐角和钝角两种情况讨论。第一步利用线段垂直平分线的性质得到AE=BE，推出△ABE为等腰三角形，结合已知∠AEB=80°求出∠BAC和∠ABE的度数；第二步根据AB=AC得到△ABC为等腰三角形，利用三角形内角和定理求出底角∠ABC的度数；最后结合对应图形的角度关系计算∠EBC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图，当∠A＜90°时，
∵DE 垂直平分 AB，
∴AE=BE，
∴∠BAC=∠ABE。
∵∠AEB=80°，
∴∠BAC=∠ABE=$\frac{180°-80°}{2}$=50°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=$\frac{180°-50°}{2}$=65°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=65°-50°=15°。
② 如图，当∠A＞90°时，
同理可得∠ABE=∠BAE=50°，
∴∠BAC=∠AEB+∠ABE=80°+50°=130°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=$\frac{180°-130°}{2}$=25°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=50°+25°=75°。
综上所述，∠EBC的度数为15°或75°。
【答案】
∠EBC 的度数为 15°或 75°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“直线AC”的条件，仅考虑E在线段AC上的情况导致漏解，解题时需结合题意画出所有可能的图形，分类讨论求解，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意DE交的是直线AC而非线段AC，因此需分∠BAC为锐角和钝角两种情况讨论。第一步利用线段垂直平分线的性质得到AE=BE，推出△ABE为等腰三角形，结合已知∠AEB=80°求出∠BAC和∠ABE的度数；第二步根据AB=AC得到△ABC为等腰三角形，利用三角形内角和定理求出底角∠ABC的度数；最后结合对应图形的角度关系计算∠EBC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图
，当∠A＜90°时，∵DE 垂直平分 AB，
∴AE=BE，
∴∠BAC=∠ABE。
∵∠AEB=80°，
∴∠BAC=∠ABE=$\frac{180°-80°}{2}$=50°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=$\frac{180°-50°}{2}$=65°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=65°-50°=15°。
② 如图
，当∠A＞90°时，同理可得∠ABE=∠BAE=50°，
∴∠BAC=∠AEB+∠ABE=80°+50°=130°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=$\frac{180°-130°}{2}$=25°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=50°+25°=75°。
综上所述，∠EBC的度数为15°或75°。
【答案】
∠EBC 的度数为 15°或 75°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“直线AC”的条件，仅考虑E在线段AC上的情况导致漏解，解题时需结合题意画出所有可能的图形，分类讨论求解，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
