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1. 在$△ ABC$中,已知$∠ B=∠ C$,则 （
A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
B
）A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形中角与其对边的对应规则：在△ABC中，∠A的对边是BC，∠B的对边是AC，∠C的对边是AB。再结合等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即三角形中两个相等的角所对的边也相等，就能推导出对应边的关系，最后逐一判断选项正误即可。
【解析】
在△ABC中：
1. 先确定角的对边：∠B的对边为AC，∠C的对边为AB；
2. 根据等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）。已知∠B=∠C，因此它们的对边相等，即AC=AB，也就是AB=AC；
3. 逐一排查选项：
A选项：AB对∠C，BC对∠A，∠C与∠A不一定相等，故AB不一定等于BC，错误；
B选项：由上述推导可知AB=AC，正确；
C选项：BC对∠A，AC对∠B，∠A与∠B不一定相等，故BC不一定等于AC，错误；
D选项：仅由∠B=∠C只能判定△ABC是等腰三角形，无法证明是等边三角形，因此∠A不一定为60°，错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形边角对应关系
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，核心考查对“等角对等边”定理的掌握，做题的关键是准确匹配角和它对应的边，避免因边与角对应关系混淆而选错。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三角形中角与其对边的对应规则：在△ABC中，∠A的对边是BC，∠B的对边是AC，∠C的对边是AB。再结合等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即三角形中两个相等的角所对的边也相等，就能推导出对应边的关系，最后逐一判断选项正误即可。
【解析】
在△ABC中：
1. 先确定角的对边：∠B的对边为AC，∠C的对边为AB；
2. 根据等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）。已知∠B=∠C，因此它们的对边相等，即AC=AB，也就是AB=AC；
3. 逐一排查选项：
A选项：AB对∠C，BC对∠A，∠C与∠A不一定相等，故AB不一定等于BC，错误；
B选项：由上述推导可知AB=AC，正确；
C选项：BC对∠A，AC对∠B，∠A与∠B不一定相等，故BC不一定等于AC，错误；
D选项：仅由∠B=∠C只能判定△ABC是等腰三角形，无法证明是等边三角形，因此∠A不一定为60°，错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形边角对应关系
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，核心考查对“等角对等边”定理的掌握，做题的关键是准确匹配角和它对应的边，避免因边与角对应关系混淆而选错。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$∠ A=36°$，$∠ DBC=36°$，$∠ C=72°$，则图中等腰三角形有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
2.D
解析
【分析】
要判断等腰三角形的个数，需依据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，先通过三角形内角和为180°计算出图中所有三角形的内角度数，再逐个判断每个三角形是否存在两个相等的内角即可。具体步骤为：先计算△ABC的内角判断是否为等腰三角形，再计算△DBC的内角判断是否为等腰三角形，最后推导∠ABD的度数判断△ABD是否为等腰三角形。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
可得$∠ ABC=∠ C=72°$，由等角对等边得$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形；
2. 在$△ DBC$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
可得$∠ BDC=∠ C=72°$，由等角对等边得$BD=BC$，故$△ DBC$是等腰三角形；
3. 计算$∠ ABD$：
$∠ ABD=∠ ABC-∠ DBC=72°-36°=36°$，
可得$∠ ABD=∠ A=36°$，由等角对等边得$AD=BD$，故$△ ABD$是等腰三角形。
综上，图中共有3个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，解题核心是先求出未知角的度数，再结合“等角对等边”的判定定理逐一验证，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.85
要判断等腰三角形的个数，需依据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，先通过三角形内角和为180°计算出图中所有三角形的内角度数，再逐个判断每个三角形是否存在两个相等的内角即可。具体步骤为：先计算△ABC的内角判断是否为等腰三角形，再计算△DBC的内角判断是否为等腰三角形，最后推导∠ABD的度数判断△ABD是否为等腰三角形。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
可得$∠ ABC=∠ C=72°$，由等角对等边得$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形；
2. 在$△ DBC$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
可得$∠ BDC=∠ C=72°$，由等角对等边得$BD=BC$，故$△ DBC$是等腰三角形；
3. 计算$∠ ABD$：
$∠ ABD=∠ ABC-∠ DBC=72°-36°=36°$，
可得$∠ ABD=∠ A=36°$，由等角对等边得$AD=BD$，故$△ ABD$是等腰三角形。
综上，图中共有3个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，解题核心是先求出未知角的度数，再结合“等角对等边”的判定定理逐一验证，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.85
3. 如图,已知$△ ABC$,给出下列四组条件:
①$AB=AC$;
②$∠ B=56°,∠ BAC=68°$;
③$AD⊥ BC,AD$平分$∠ BAC$;
④$AD⊥ BC,AD$平分边$BC$.
其中,能判定$△ ABC$是等腰三角形的条件共有 (
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
①$AB=AC$;
②$∠ B=56°,∠ BAC=68°$;
③$AD⊥ BC,AD$平分$∠ BAC$;
④$AD⊥ BC,AD$平分边$BC$.
其中,能判定$△ ABC$是等腰三角形的条件共有 (
D
)A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
3.D
解析
【分析】
本题需要逐一验证四组条件是否能判定△ABC为等腰三角形，解题时结合等腰三角形的定义、判定定理，以及三角形内角和、全等三角形的判定等知识，逐个推导即可得出结论。
【解析】
我们对四组条件分别分析：
①已知$AB=AC$，根据“有两边相等的三角形是等腰三角形”，可直接判定$△ ABC$是等腰三角形；
②已知$∠ B=56°$，$∠ BAC=68°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ C=180°-∠ B-∠ BAC=180°-56°-68°=56°$，即$∠ B=∠ C$，根据“等角对等边”可得$AB=AC$，能判定$△ ABC$是等腰三角形；
③已知$AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，可得$∠ ADB=∠ ADC=90°$，$∠ BAD=∠ CAD$，又$AD$为公共边，可证$△ ABD≌△ ACD$（ASA），因此$AB=AC$，能判定$△ ABC$是等腰三角形；
④已知$AD⊥ BC$，$AD$平分边$BC$，可得$BD=CD$，$∠ ADB=∠ ADC=90°$，又$AD$为公共边，可证$△ ABD≌△ ACD$（SAS），因此$AB=AC$，能判定$△ ABC$是等腰三角形。
综上，4组条件都能判定$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三角形的判定
【点评】
本题考查等腰三角形的多种判定方法，解题时需要熟练掌握相关基础定理，逐一验证条件即可，侧重对基础知识点运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题需要逐一验证四组条件是否能判定△ABC为等腰三角形，解题时结合等腰三角形的定义、判定定理，以及三角形内角和、全等三角形的判定等知识，逐个推导即可得出结论。
【解析】
我们对四组条件分别分析：
①已知$AB=AC$，根据“有两边相等的三角形是等腰三角形”，可直接判定$△ ABC$是等腰三角形；
②已知$∠ B=56°$，$∠ BAC=68°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ C=180°-∠ B-∠ BAC=180°-56°-68°=56°$，即$∠ B=∠ C$，根据“等角对等边”可得$AB=AC$，能判定$△ ABC$是等腰三角形；
③已知$AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，可得$∠ ADB=∠ ADC=90°$，$∠ BAD=∠ CAD$，又$AD$为公共边，可证$△ ABD≌△ ACD$（ASA），因此$AB=AC$，能判定$△ ABC$是等腰三角形；
④已知$AD⊥ BC$，$AD$平分边$BC$，可得$BD=CD$，$∠ ADB=∠ ADC=90°$，又$AD$为公共边，可证$△ ABD≌△ ACD$（SAS），因此$AB=AC$，能判定$△ ABC$是等腰三角形。
综上，4组条件都能判定$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三角形的判定
【点评】
本题考查等腰三角形的多种判定方法，解题时需要熟练掌握相关基础定理，逐一验证条件即可，侧重对基础知识点运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
4.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE//AC.求证：△BDE是等腰三角形.
答案
4. 证明:如图
,$\because DE// AC$,$\therefore ∠1=∠3.$
$\because AD$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠2,\therefore ∠2=∠3.$
$\because AD⊥BD,$
$\therefore ∠2+∠B=90^{\circ },∠3+∠BDE=90^{\circ }.$
$\therefore ∠B=∠BDE. \therefore BE=DE.$
$\therefore △BDE$是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△BDE是等腰三角形，核心是证明该三角形有两个内角相等或者两条边相等，本题可通过角的等量代换证明∠B=∠BDE推导结论。首先利用平行线的性质得到一组相等的内错角，结合角平分线的定义再次进行角的等量代换，再根据AD⊥BD的条件可知∠ADB为直角，直角三角形的两个锐角互余，最后利用等角的余角相等即可推出∠B=∠BDE，进而得到最终结论。
【解析】
证明:如图,
$\because DE// AC$,
$\therefore ∠1=∠3$（两直线平行，内错角相等）.
$\because AD$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠2$（角平分线的定义）,
$\therefore ∠2=∠3$（等量代换）.
$\because AD⊥BD,$
$\therefore ∠ADB=90^{\circ }$，即$∠2+∠B=90^{\circ },∠3+∠BDE=90^{\circ }$（直角三角形的两个锐角互余）.
$\therefore ∠B=∠BDE$（等角的余角相等）.
$\therefore BE=DE$（等角对等边）.
$\therefore △BDE$是等腰三角形.
【答案】
证明:如图,$\because DE// AC$,
$\therefore ∠1=∠3.$
$\because AD$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠2,\therefore ∠2=∠3.$
$\because AD⊥BD,$
$\therefore ∠2+∠B=90^{\circ },∠3+∠BDE=90^{\circ }.$
$\therefore ∠B=∠BDE. \therefore BE=DE.$
$\therefore △BDE$是等腰三角形.
【知识点】
1.等腰三角形的判定
2.平行线的性质
3.角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础题型，解题的关键是灵活结合平行线、角平分线、直角三角形的性质完成角的等量代换，掌握这类基础的角转换方法是解决后续复杂几何证明题的前提。
【难度系数】
0.7
要证明△BDE是等腰三角形，核心是证明该三角形有两个内角相等或者两条边相等，本题可通过角的等量代换证明∠B=∠BDE推导结论。首先利用平行线的性质得到一组相等的内错角，结合角平分线的定义再次进行角的等量代换，再根据AD⊥BD的条件可知∠ADB为直角，直角三角形的两个锐角互余，最后利用等角的余角相等即可推出∠B=∠BDE，进而得到最终结论。
【解析】
证明:如图
,$\because DE// AC$,
$\therefore ∠1=∠3$（两直线平行，内错角相等）.
$\because AD$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠2$（角平分线的定义）,
$\therefore ∠2=∠3$（等量代换）.
$\because AD⊥BD,$
$\therefore ∠ADB=90^{\circ }$，即$∠2+∠B=90^{\circ },∠3+∠BDE=90^{\circ }$（直角三角形的两个锐角互余）.
$\therefore ∠B=∠BDE$（等角的余角相等）.
$\therefore BE=DE$（等角对等边）.
$\therefore △BDE$是等腰三角形.
【答案】
证明:如图
,$\because DE// AC$,$\therefore ∠1=∠3.$
$\because AD$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠2,\therefore ∠2=∠3.$
$\because AD⊥BD,$
$\therefore ∠2+∠B=90^{\circ },∠3+∠BDE=90^{\circ }.$
$\therefore ∠B=∠BDE. \therefore BE=DE.$
$\therefore △BDE$是等腰三角形.
【知识点】
1.等腰三角形的判定
2.平行线的性质
3.角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础题型，解题的关键是灵活结合平行线、角平分线、直角三角形的性质完成角的等量代换，掌握这类基础的角转换方法是解决后续复杂几何证明题的前提。
【难度系数】
0.7
知识点2 用尺规作等腰三角形
5.已知:线段a.
(1)求作:等腰三角形ABC,使AB=AC,BC=a,边BC上的高为2a；
(2)得到△ABC是等腰三角形的依据是:
①
②
5.已知:线段a.
(1)求作:等腰三角形ABC,使AB=AC,BC=a,边BC上的高为2a；
(2)得到△ABC是等腰三角形的依据是:
①
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
；②
有两条边相等的三角形是等腰三角形
.答案
5. 解:(1)作法:
如图
,作线段$BC=a$;作线段$BC$的垂直平分线$DE$交$BC$于点$F$;
在射线$FD$上顺次截取线段$FG=GA=a$,连接$AB,AC$. 所得$△ABC$即为所求作的等腰三角形.
(2)①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
②有两条边相等的三角形是等腰三角形
解析
【分析】
(1) 要构造符合条件的等腰三角形，可利用等腰三角形三线合一的特点解题：首先确定底边BC的长度为a，等腰三角形底边的高在底边的垂直平分线上，因此先作出BC的垂直平分线确定高所在直线，再在垂直平分线上截取长度为2a的线段得到顶点A，连接AB、AC即可得到所求三角形。
(2) 判定等腰三角形的依据可从作图步骤推导：顶点A在BC的垂直平分线上，结合垂直平分线的性质可得AB=AC，再根据等腰三角形的定义即可判定△ABC为等腰三角形。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作线段$BC=a$；
② 用尺规作线段$BC$的垂直平分线$DE$，交$BC$于点$F$，则F为BC的中点，AF所在直线即为BC边上的高所在直线；
③ 在射线$FD$上依次截取$FG=a$、$GA=a$，此时高$AF=2a$，连接$AB$、$AC$，就得到所求的等腰$△ ABC$。
(2) 依据推导：
① 点A在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得$AB=AC$；
② 根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1)作法:
如图,作线段$BC=a$;
作线段$BC$的垂直平分线$DE$交$BC$于点$F$;
在射线$FD$上顺次截取线段$FG=GA=a$,连接$AB,AC$. 所得$△ABC$即为所求作的等腰三角形.
(2)①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
②有两条边相等的三角形是等腰三角形
【知识点】
尺规作等腰三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何作图题，既考查了尺规作图的基本操作能力，也考查了对线段垂直平分线性质、等腰三角形判定定理的理解和应用，是对几何基础能力的常规考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要构造符合条件的等腰三角形，可利用等腰三角形三线合一的特点解题：首先确定底边BC的长度为a，等腰三角形底边的高在底边的垂直平分线上，因此先作出BC的垂直平分线确定高所在直线，再在垂直平分线上截取长度为2a的线段得到顶点A，连接AB、AC即可得到所求三角形。
(2) 判定等腰三角形的依据可从作图步骤推导：顶点A在BC的垂直平分线上，结合垂直平分线的性质可得AB=AC，再根据等腰三角形的定义即可判定△ABC为等腰三角形。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作线段$BC=a$；
② 用尺规作线段$BC$的垂直平分线$DE$，交$BC$于点$F$，则F为BC的中点，AF所在直线即为BC边上的高所在直线；
③ 在射线$FD$上依次截取$FG=a$、$GA=a$，此时高$AF=2a$，连接$AB$、$AC$，就得到所求的等腰$△ ABC$。
(2) 依据推导：
① 点A在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得$AB=AC$；
② 根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1)作法:
如图
,作线段$BC=a$;作线段$BC$的垂直平分线$DE$交$BC$于点$F$;
在射线$FD$上顺次截取线段$FG=GA=a$,连接$AB,AC$. 所得$△ABC$即为所求作的等腰三角形.
(2)①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
②有两条边相等的三角形是等腰三角形
【知识点】
尺规作等腰三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何作图题，既考查了尺规作图的基本操作能力，也考查了对线段垂直平分线性质、等腰三角形判定定理的理解和应用，是对几何基础能力的常规考查。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$DE⊥ AB$于点$E$，$DE$交$BC$于点$D$，连接$AD$，$AD=BD$，若$BE=3$，则$AC$的长为（
A.6
B.5
C.4
D.3
A
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先结合已知条件逐步推导：首先由AD=BD，DE⊥AB，可利用等腰三角形的性质得到AB和BE的数量关系；再根据△ABC中∠B=∠C，借助等腰三角形的判定得到AC和AB的等量关系，最终求出AC的长度。
第一步：分析△ABD，AD=BD说明它是等腰三角形，DE是AB边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得E是AB的中点，因此AB=2BE，代入BE的长度即可算出AB的长。
第二步：分析△ABC，∠B=∠C，根据等角对等边可得出AC=AB，代入AB的长度就能得到AC的长。
【解析】
解：
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴△ABD是等腰三角形，DE是AB边上的高，
根据等腰三角形三线合一的性质，E为AB的中点，
∴AB=2BE，
∵BE=3，
∴AB=2×3=6，
又
∵在△ABC中，∠B=∠C，
∴根据等角对等边，得AC=AB=6。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和判定，先求出AB的长度，再通过等角对等边实现线段的转化得到AC的长度。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件逐步推导：首先由AD=BD，DE⊥AB，可利用等腰三角形的性质得到AB和BE的数量关系；再根据△ABC中∠B=∠C，借助等腰三角形的判定得到AC和AB的等量关系，最终求出AC的长度。
第一步：分析△ABD，AD=BD说明它是等腰三角形，DE是AB边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得E是AB的中点，因此AB=2BE，代入BE的长度即可算出AB的长。
第二步：分析△ABC，∠B=∠C，根据等角对等边可得出AC=AB，代入AB的长度就能得到AC的长。
【解析】
解：
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴△ABD是等腰三角形，DE是AB边上的高，
根据等腰三角形三线合一的性质，E为AB的中点，
∴AB=2BE，
∵BE=3，
∴AB=2×3=6，
又
∵在△ABC中，∠B=∠C，
∴根据等角对等边，得AC=AB=6。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和判定，先求出AB的长度，再通过等角对等边实现线段的转化得到AC的长度。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$AD⊥ BC$于点$D$，若$AB=6$，$CD=4$，则$△ ABC$的周长是
20
。答案
7.20
解析
【分析】
解题时首先根据已知∠B=∠C，利用等腰三角形“等角对等边”的判定规则，可判断△ABC为等腰三角形，得到AB=AC；再结合AD⊥BC的条件，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是底边BC的中线，即BD=CD，由此可求出BC的长度，最后将三边长度相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），△ABC为等腰三角形，
又
∵AD⊥BC，
∴BD=CD（等腰三角形三线合一，底边上的高与底边上的中线重合），
已知AB=6，CD=4，
∴AC=AB=6，BC=BD+CD=2×CD=2×4=8，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=6+6+8=20。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用题，核心是利用等角对等边判断三角形为等腰三角形，再结合三线合一求出底边长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知∠B=∠C，利用等腰三角形“等角对等边”的判定规则，可判断△ABC为等腰三角形，得到AB=AC；再结合AD⊥BC的条件，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是底边BC的中线，即BD=CD，由此可求出BC的长度，最后将三边长度相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边），△ABC为等腰三角形，
又
∵AD⊥BC，
∴BD=CD（等腰三角形三线合一，底边上的高与底边上的中线重合），
已知AB=6，CD=4，
∴AC=AB=6，BC=BD+CD=2×CD=2×4=8，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=6+6+8=20。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用题，核心是利用等角对等边判断三角形为等腰三角形，再结合三线合一求出底边长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$中，BE平分$∠ ABC$，$DE// BC$。
(1)求证:$BD=DE$；
(2)若$BD=AE$，$∠ DBE=20°$，求$∠ C$的度数。
(1)求证:$BD=DE$；
(2)若$BD=AE$，$∠ DBE=20°$，求$∠ C$的度数。
答案
8.(1)证明:$\because BE$平分$∠ABC,$
$\therefore ∠DBE=∠EBC.$
$\because DE// BC,\therefore ∠DEB=∠EBC.$
$\therefore ∠DBE=∠DEB.$
$\therefore BD=DE.$
(2)解:$\because ∠DBE=20^{\circ },\therefore ∠DEB=20^{\circ }.$
$\therefore ∠ADE=∠DBE+∠DEB=40^{\circ }.$
$\because BD=AE,BD=DE,$
$\therefore AE=DE. \therefore ∠A=∠ADE=40^{\circ }.$
$\therefore ∠AED=180^{\circ }-∠ADE-∠A=100^{\circ }.$
$\because DE// BC,\therefore ∠C=∠AED=100^{\circ }.$
$\therefore ∠DBE=∠EBC.$
$\because DE// BC,\therefore ∠DEB=∠EBC.$
$\therefore ∠DBE=∠DEB.$
$\therefore BD=DE.$
(2)解:$\because ∠DBE=20^{\circ },\therefore ∠DEB=20^{\circ }.$
$\therefore ∠ADE=∠DBE+∠DEB=40^{\circ }.$
$\because BD=AE,BD=DE,$
$\therefore AE=DE. \therefore ∠A=∠ADE=40^{\circ }.$
$\therefore ∠AED=180^{\circ }-∠ADE-∠A=100^{\circ }.$
$\because DE// BC,\therefore ∠C=∠AED=100^{\circ }.$
解析
【分析】
(1) 要证BD=DE，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定推导：首先利用角平分线的定义得到∠DBE=∠EBC，再结合DE平行BC的性质，由内错角相等得∠DEB=∠EBC，等量代换后得到∠DBE=∠DEB，即可证得结论。
(2) 先结合(1)的结论和已知∠DBE的度数，利用三角形外角性质求出∠ADE的度数；再通过BD=AE、BD=DE的等量关系得到AE=DE，推出△ADE为等腰三角形，求出∠A的度数，结合三角形内角和算出∠AED，最后利用平行线同位角相等的性质求出∠C的度数。
【解析】
(1) 证明:
$\because BE$平分$∠ABC,$
$\therefore ∠DBE=∠EBC.$
$\because DE// BC,\therefore ∠DEB=∠EBC.$
$\therefore ∠DBE=∠DEB.$
$\therefore BD=DE.$
(2) 解:
$\because ∠DBE=20^{\circ },\therefore ∠DEB=20^{\circ }.$
$\therefore ∠ADE=∠DBE+∠DEB=40^{\circ }.$
$\because BD=AE,BD=DE,$
$\therefore AE=DE. \therefore ∠A=∠ADE=40^{\circ }.$
$\therefore ∠AED=180^{\circ }-∠ADE-∠A=100^{\circ }.$
$\because DE// BC,\therefore ∠C=∠AED=100^{\circ }.$
【答案】
(1) 证明见解析，$BD=DE$成立；(2) $∠C=100^{\circ }$
【知识点】
等腰三角形判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查几何中角与边的等量转化能力，解题时需熟练运用角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质，逐步推导即可得到结论，是锻炼几何逻辑推理能力的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证BD=DE，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定推导：首先利用角平分线的定义得到∠DBE=∠EBC，再结合DE平行BC的性质，由内错角相等得∠DEB=∠EBC，等量代换后得到∠DBE=∠DEB，即可证得结论。
(2) 先结合(1)的结论和已知∠DBE的度数，利用三角形外角性质求出∠ADE的度数；再通过BD=AE、BD=DE的等量关系得到AE=DE，推出△ADE为等腰三角形，求出∠A的度数，结合三角形内角和算出∠AED，最后利用平行线同位角相等的性质求出∠C的度数。
【解析】
(1) 证明:
$\because BE$平分$∠ABC,$
$\therefore ∠DBE=∠EBC.$
$\because DE// BC,\therefore ∠DEB=∠EBC.$
$\therefore ∠DBE=∠DEB.$
$\therefore BD=DE.$
(2) 解:
$\because ∠DBE=20^{\circ },\therefore ∠DEB=20^{\circ }.$
$\therefore ∠ADE=∠DBE+∠DEB=40^{\circ }.$
$\because BD=AE,BD=DE,$
$\therefore AE=DE. \therefore ∠A=∠ADE=40^{\circ }.$
$\therefore ∠AED=180^{\circ }-∠ADE-∠A=100^{\circ }.$
$\because DE// BC,\therefore ∠C=∠AED=100^{\circ }.$
【答案】
(1) 证明见解析，$BD=DE$成立；(2) $∠C=100^{\circ }$
【知识点】
等腰三角形判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查几何中角与边的等量转化能力，解题时需熟练运用角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质，逐步推导即可得到结论，是锻炼几何逻辑推理能力的典型基础题。
【难度系数】
0.7
