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1. 若抛物线$y=x^2+bx+3$经过点$(-2,3)$，则$b$的值是（
A.$-1$；
B.$3$；
C.$-2$；
D.$2$.
D
）A.$-1$；
B.$3$；
C.$-2$；
D.$2$.
答案
1. D.
解析
【分析】
解题的核心依据是：若点在函数图象上，则点的坐标满足该函数的解析式。本题已知抛物线的表达式以及抛物线上一点的坐标，我们只需将点的横、纵坐标代入抛物线解析式，即可得到关于b的一元一次方程，求解方程就能得出b的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+bx+3$经过点$(-2,3)$
∴将$x=-2$，$y=3$代入解析式得：
$3 = (-2)^2 + b×(-2) + 3$
化简得：$3 = 4 - 2b + 3$
整理得：$3 = 7 - 2b$
移项计算：$2b = 7 - 3$，即$2b=4$
解得：$b=2$
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象点的特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象上点的坐标性质，掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是：若点在函数图象上，则点的坐标满足该函数的解析式。本题已知抛物线的表达式以及抛物线上一点的坐标，我们只需将点的横、纵坐标代入抛物线解析式，即可得到关于b的一元一次方程，求解方程就能得出b的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+bx+3$经过点$(-2,3)$
∴将$x=-2$，$y=3$代入解析式得：
$3 = (-2)^2 + b×(-2) + 3$
化简得：$3 = 4 - 2b + 3$
整理得：$3 = 7 - 2b$
移项计算：$2b = 7 - 3$，即$2b=4$
解得：$b=2$
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象点的特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象上点的坐标性质，掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图，抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(-3,0)$和点$B(1,0)$，与$y$轴交于点$C$，下列说法正确的是 （
A.$c=-3$；
B.对称轴是直线$x=-1$；
C.顶点坐标为$(-1,3)$；
D.当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小。
B
）A.$c=-3$；
B.对称轴是直线$x=-1$；
C.顶点坐标为$(-1,3)$；
D.当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案
2. B.
解析
【分析】
解题思路：首先已知抛物线与x轴的两个交点坐标，我们可以将两个点的坐标代入二次函数解析式，求出未知系数b、c的值，得到完整的函数解析式；再结合二次函数的对称轴公式、顶点坐标求法、增减性规律，依次判断四个选项的正误即可。
【解析】
将点$A(-3,0)$、$B(1,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-(-3)^2 -3b + c = 0 \\-1^2 + b + c = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}-9 -3b + c = 0 \quad ① \\-1 + b + c = 0 \quad ②\end{cases}$
用②-①消去$c$，得：$8 +4b = 0$，解得$b=-2$。
将$b=-2$代入②，得：$-1 -2 + c = 0$，解得$c=3$。
因此抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$，逐项判断选项：
A. 由计算得$c=3$，故A错误；
B. 二次函数对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=-2$，得$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，故B正确；
C. 将$x=-1$代入解析式，得$y=-(-1)^2 -2×(-1)+3=4$，即顶点坐标为$(-1,4)$，故C错误；
D. 抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数的图像
【点评】
本题围绕二次函数的基础知识点展开考查，解题的关键是先通过已知点求出函数解析式，再结合二次函数的相关性质逐一判断选项，整体解题思路清晰，没有复杂计算。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先已知抛物线与x轴的两个交点坐标，我们可以将两个点的坐标代入二次函数解析式，求出未知系数b、c的值，得到完整的函数解析式；再结合二次函数的对称轴公式、顶点坐标求法、增减性规律，依次判断四个选项的正误即可。
【解析】
将点$A(-3,0)$、$B(1,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-(-3)^2 -3b + c = 0 \\-1^2 + b + c = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}-9 -3b + c = 0 \quad ① \\-1 + b + c = 0 \quad ②\end{cases}$
用②-①消去$c$，得：$8 +4b = 0$，解得$b=-2$。
将$b=-2$代入②，得：$-1 -2 + c = 0$，解得$c=3$。
因此抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$，逐项判断选项：
A. 由计算得$c=3$，故A错误；
B. 二次函数对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=-2$，得$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，故B正确；
C. 将$x=-1$代入解析式，得$y=-(-1)^2 -2×(-1)+3=4$，即顶点坐标为$(-1,4)$，故C错误；
D. 抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数的图像
【点评】
本题围绕二次函数的基础知识点展开考查，解题的关键是先通过已知点求出函数解析式，再结合二次函数的相关性质逐一判断选项，整体解题思路清晰，没有复杂计算。
【难度系数】
0.7
3. 下表列出了二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数）的自变量$x$与$y$的几组对应值，下列说法正确的是（
A.该二次函数图像开口向下；
B.若点$A(-2,y_1)$、$B(4,y_2)$都在该二次函数图像上，则$y_1＞y_2$；
C.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
D.该二次函数有最小值，最小值是$-2$。
B
）A.该二次函数图像开口向下；
B.若点$A(-2,y_1)$、$B(4,y_2)$都在该二次函数图像上，则$y_1＞y_2$；
C.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
D.该二次函数有最小值，最小值是$-2$。
答案
3. B.
解析
【分析】
首先观察表格中函数值相等的两个点：x=0和x=3时y都为-1，根据二次函数的对称性可先求出对称轴，再代入点求出二次函数的解析式，结合二次函数的开口方向、增减性、最值等性质逐一判断各选项即可。也可利用对称轴和点到对称轴的距离直接比较函数值大小，简化计算。
【解析】
1. 求对称轴：
∵x=0和x=3时，y的值都是-1，
∴二次函数图像的对称轴为直线$x=\frac{0+3}{2}=1.5$。
2. 求二次函数解析式：
将(0,-1)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-1$。
再将(1,-2)、(-3,8)代入解析式，得：
$\begin{cases}a+b-1=-2\\9a-3b-1=8\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a+b=-1①\\3a-b=3②\end{cases}$
①+②得$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
将$a=\frac{1}{2}$代入①得$b=-\frac{3}{2}$，
∴二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-1$。
3. 逐一判断选项：
A选项：
∵$a=\frac{1}{2}＞0$，
∴二次函数图像开口向上，A错误；
B选项：点A(-2,y₁)到对称轴x=1.5的距离为$1.5-(-2)=3.5$，点B(4,y₂)到对称轴的距离为$4-1.5=2.5$，开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大，故$y_1＞y_2$，B正确；
C选项：二次函数开口向上，对称轴为x=1.5，故当$x＞1.5$时y随x的增大而增大，$1＜x＜1.5$时y随x增大而减小，C错误；
D选项：二次函数最小值在x=1.5处取得，代入得$y=\frac{1}{2}×(1.5)^2-\frac{3}{2}×1.5-1=-\frac{17}{8}=-2.125≠-2$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；二次函数的对称性
【点评】
本题解题的核心是先利用二次函数的对称性确定对称轴，既可以通过求出解析式判断选项，也可以结合对称轴、开口方向和增减性直接分析，能够很好地考查对二次函数性质的掌握情况。
【难度系数】
0.6
首先观察表格中函数值相等的两个点：x=0和x=3时y都为-1，根据二次函数的对称性可先求出对称轴，再代入点求出二次函数的解析式，结合二次函数的开口方向、增减性、最值等性质逐一判断各选项即可。也可利用对称轴和点到对称轴的距离直接比较函数值大小，简化计算。
【解析】
1. 求对称轴：
∵x=0和x=3时，y的值都是-1，
∴二次函数图像的对称轴为直线$x=\frac{0+3}{2}=1.5$。
2. 求二次函数解析式：
将(0,-1)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-1$。
再将(1,-2)、(-3,8)代入解析式，得：
$\begin{cases}a+b-1=-2\\9a-3b-1=8\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a+b=-1①\\3a-b=3②\end{cases}$
①+②得$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
将$a=\frac{1}{2}$代入①得$b=-\frac{3}{2}$，
∴二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-1$。
3. 逐一判断选项：
A选项：
∵$a=\frac{1}{2}＞0$，
∴二次函数图像开口向上，A错误；
B选项：点A(-2,y₁)到对称轴x=1.5的距离为$1.5-(-2)=3.5$，点B(4,y₂)到对称轴的距离为$4-1.5=2.5$，开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大，故$y_1＞y_2$，B正确；
C选项：二次函数开口向上，对称轴为x=1.5，故当$x＞1.5$时y随x的增大而增大，$1＜x＜1.5$时y随x增大而减小，C错误；
D选项：二次函数最小值在x=1.5处取得，代入得$y=\frac{1}{2}×(1.5)^2-\frac{3}{2}×1.5-1=-\frac{17}{8}=-2.125≠-2$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；二次函数的对称性
【点评】
本题解题的核心是先利用二次函数的对称性确定对称轴，既可以通过求出解析式判断选项，也可以结合对称轴、开口方向和增减性直接分析，能够很好地考查对二次函数性质的掌握情况。
【难度系数】
0.6
4. 如果二次函数 $ y = -3x^2 + x - m - 2 $ 的图像经过原点，那么 $ m $ 的值为
-2
。答案
4. $-2$.
解析
【分析】
解题思路：若函数图像经过某点，说明该点的坐标符合对应的函数解析式。原点的坐标为(0,0)，我们只需将x=0、y=0代入给定的二次函数解析式，即可得到关于m的一元一次方程，解该方程就能求出m的值。
【解析】
∵ 二次函数$y = -3x^2 + x - m - 2$的图像经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入函数解析式，可得：
$\quad 0 = -3×0^2 + 0 - m - 2$
化简后得到：$0 = -m -2$
移项解得：$m = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 二次函数图像上点的特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图像与点的对应关系，只要掌握“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，代入计算即可快速得出结果，计算时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.9
解题思路：若函数图像经过某点，说明该点的坐标符合对应的函数解析式。原点的坐标为(0,0)，我们只需将x=0、y=0代入给定的二次函数解析式，即可得到关于m的一元一次方程，解该方程就能求出m的值。
【解析】
∵ 二次函数$y = -3x^2 + x - m - 2$的图像经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入函数解析式，可得：
$\quad 0 = -3×0^2 + 0 - m - 2$
化简后得到：$0 = -m -2$
移项解得：$m = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 二次函数图像上点的特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图像与点的对应关系，只要掌握“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，代入计算即可快速得出结果，计算时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.9
5. 如果二次函数$y=ax^2+bx$的图像经过点$A(2,6)$和$B(4,4)$，那么其表达式为
$y=-x^2+5x$
。答案
5. $y=-x^2+5x$.
解析
【分析】
本题是求二次函数的表达式，首先观察所给二次函数$y=ax^2+bx$，仅含有a、b两个未知系数，要确定表达式只需求出a、b的取值即可。因为二次函数图像经过点A和B，说明这两个点的坐标满足函数解析式，因此可以将两点坐标分别代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值后代回原式，即可得到所求的二次函数表达式。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+bx$的图像经过点$A(2,6)$和$B(4,4)$，
∴将两点坐标分别代入函数解析式，可得：
$\begin{cases}a×2^2 + b×2 = 6 \\a×4^2 + b×4 = 4\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}4a + 2b = 6 \quad \mathrm{(1)} \\16a + 4b = 4 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
将(1)式两边同时除以2，得$2a + b = 3$ (3)
将(2)式两边同时除以4，得$4a + b = 1$ (4)
用(4)式减去(3)式，得：$2a = -2$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入(3)式，得：$2×(-1) + b = 3$，解得$b=5$
将$a=-1$，$b=5$代入$y=ax^2+bx$，得函数表达式为$y=-x^2+5x$。
【答案】
$y=-x^2+5x$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图像的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，核心考查用待定系数法确定二次函数表达式的方法，掌握函数图像上的点的坐标满足函数解析式这一特点，即可通过列解方程求出未知系数，是二次函数解析式求解类的常规基础题。
【难度系数】
0.9
本题是求二次函数的表达式，首先观察所给二次函数$y=ax^2+bx$，仅含有a、b两个未知系数，要确定表达式只需求出a、b的取值即可。因为二次函数图像经过点A和B，说明这两个点的坐标满足函数解析式，因此可以将两点坐标分别代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值后代回原式，即可得到所求的二次函数表达式。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+bx$的图像经过点$A(2,6)$和$B(4,4)$，
∴将两点坐标分别代入函数解析式，可得：
$\begin{cases}a×2^2 + b×2 = 6 \\a×4^2 + b×4 = 4\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}4a + 2b = 6 \quad \mathrm{(1)} \\16a + 4b = 4 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
将(1)式两边同时除以2，得$2a + b = 3$ (3)
将(2)式两边同时除以4，得$4a + b = 1$ (4)
用(4)式减去(3)式，得：$2a = -2$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入(3)式，得：$2×(-1) + b = 3$，解得$b=5$
将$a=-1$，$b=5$代入$y=ax^2+bx$，得函数表达式为$y=-x^2+5x$。
【答案】
$y=-x^2+5x$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图像的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，核心考查用待定系数法确定二次函数表达式的方法，掌握函数图像上的点的坐标满足函数解析式这一特点，即可通过列解方程求出未知系数，是二次函数解析式求解类的常规基础题。
【难度系数】
0.9
6. 如果抛物线经过$A(-2,0)$、$B(2,0)$、$C(0,-4)$三点，那么该抛物线表达式是
$y=x^2-4$
。答案
6. $y=x^2-4$.
解析
【分析】
已知抛物线与x轴交于A(-2,0)、B(2,0)两个交点，还已知与y轴交点C(0,-4)，解题时可优先选择交点式设解析式，减少计算量；也可设一般式代入三个点坐标，解三元一次方程组求出系数。两种方法均适用，选择交点式计算更简便。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵抛物线与x轴交于A(-2,0)、B(2,0)
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+2)(x-2)$（$a\ne0$）
将点$C(0,-4)$代入解析式，得：
$-4=a(0+2)(0-2)$
化简得：$-4=-4a$，解得$a=1$
将$a=1$代入所设解析式并展开，得：
$y=(x+2)(x-2)=x^2-4$
方法二（一般式法）：
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）
将A(-2,0)、B(2,0)、C(0,-4)分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}4a-2b+c=0 \\4a+2b+c=0 \\c=-4 \end{cases}$
将$c=-4$代入前两个方程，相加得$8a=8$，解得$a=1$
将$a=1$、$c=-4$代入$4a-2b+c=0$，解得$b=0$
∴抛物线解析式为$y=x^2-4$
【答案】
$y=x^2-4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
3. 二次函数与坐标轴交点特征
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题时可根据已知点的特征灵活选择二次函数的解析式形式，已知抛物线与x轴的两个交点时，选用交点式可有效简化计算过程，平时练习时要熟练掌握不同形式解析式的适用场景。
【难度系数】
0.85
已知抛物线与x轴交于A(-2,0)、B(2,0)两个交点，还已知与y轴交点C(0,-4)，解题时可优先选择交点式设解析式，减少计算量；也可设一般式代入三个点坐标，解三元一次方程组求出系数。两种方法均适用，选择交点式计算更简便。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵抛物线与x轴交于A(-2,0)、B(2,0)
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+2)(x-2)$（$a\ne0$）
将点$C(0,-4)$代入解析式，得：
$-4=a(0+2)(0-2)$
化简得：$-4=-4a$，解得$a=1$
将$a=1$代入所设解析式并展开，得：
$y=(x+2)(x-2)=x^2-4$
方法二（一般式法）：
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）
将A(-2,0)、B(2,0)、C(0,-4)分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}4a-2b+c=0 \\4a+2b+c=0 \\c=-4 \end{cases}$
将$c=-4$代入前两个方程，相加得$8a=8$，解得$a=1$
将$a=1$、$c=-4$代入$4a-2b+c=0$，解得$b=0$
∴抛物线解析式为$y=x^2-4$
【答案】
$y=x^2-4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
3. 二次函数与坐标轴交点特征
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题时可根据已知点的特征灵活选择二次函数的解析式形式，已知抛物线与x轴的两个交点时，选用交点式可有效简化计算过程，平时练习时要熟练掌握不同形式解析式的适用场景。
【难度系数】
0.85
