12.「★☆」已知直角三角形两边的长分别为3 cm,4 cm,则以第三边为边的正方形的面积为.

12.答案 7 cm²或25 cm²
解析 若4 cm为直角三角形的斜边长,则以第三边为边的正方形的面积为4²-3²=16-9=7(cm²);若3 cm,4 cm为直角三角形的两直角边长,则以第三边为边的正方形的面积为3²+4²=9+16=25(cm²).综上,以第三边为边的正方形的面积为7 cm²或25 cm².

13.「2026江苏南通期末，★★☆」“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两直角边长分别为m，n(m＞n)，若小正方形的面积为1，$(m+n)^2=9$，则大正方形的面积为.

13.答案 5
解析 由题图可得中间小正方形的边长为m-n,所以(m-n)²=1,即m²-2mn+n²=1①,因为(m+n)²=9,所以m²+2mn+n²=9②,①+②得2(m²+n²)=10,所以m²+n²=5,即大正方形的面积为5.

14.「2026山东青岛月考，★★☆」有一棵树，树根下有一个兔子洞，树高15米，树顶有一只鹰，它看见一只兔子迅速向洞口跑去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向兔子扑过去.如果鹰与兔子的速度相等且鹰与兔子的路线都是直线段，则鹰应向距离树根米处扑击才能恰好抓到兔子.

14.答案 20
解析 根据题意画出示意图如图,点A处为鹰看见兔子时兔子的位置,点C处为树根,点D处为树顶,鹰向点B处扑去才能正好抓住兔子,连接BD,设CB的长为x米,则BD=AB=15×3-x=(45-x)米,在Rt△BCD中,由勾股定理可得BD²=BC²+CD²,所以(45-x)²=x²+15²,解得x=20,所以BC=20米,所以鹰应向距离树根20米处扑击才能恰好抓到兔子.

15.「★★☆」如图，点E,F分别在AB,CD上，AF⊥CE，垂足为O，∠BFD=∠C。若AF=4，BF=3，则点F到直线AB的距离为。

15.答案 12/5
解析
∵∠BFD=∠C,
∴BF//CE,
∵AF⊥CE,即∠COF=90°,
∴∠AFB=∠COF=90°,
∵AF=4,BF=3,
∴AB²=AF²+BF²=4²+3²=5²,
∴AB=5,
设点F到直线AB的距离为h,
∴S△AFB=1/2 AF·FB=1/2 AB·h,
∴1/2×4×3=1/2×5×h,
∴h=12/5,
∴点F到直线AB的距离为12/5.

16.「2026河南郑州期末，★★」如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，点$D$为边$AC$上一动点，$DE ⊥ AB$于点$E$，将$∠ A$沿直线$DE$折叠，点$A$的对应点为$F$，连接$CF$，当$△ DFC$是直角三角形时，$AD$的长为。

16.答案 7/8或25/8
解析 分情况讨论：
①当∠DFC=90°时,由折叠的性质可知∠A=∠AFD,AD=DF,
∴∠AFD+∠BFC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠BFC=∠B,过点C作∠BCF的平分线CH,交AB边于点H(图略),
∴∠BCH=∠FCH,又CH=CH,
∴△BCH≌△FCH.
∴FC=BC=3,
在Rt△DFC中,CD²=DF²+CF²,
∴(4-AD)²=AD²+9,
∴AD=7/8.
②当∠DCF=90°时,点F与点B重合,此时BC=FC,
由折叠的性质可知AD=DF,
在Rt△DFC中,DF²=CD²+FC²,
∴AD²=(4-AD)²+9,
∴AD=25/8.
综上,当△DFC是直角三角形时,AD的长为7/8或25/8.
故答案为7/8或25/8.

三、解答题(共56分)
17.「★☆」(8分)如图所示的是由边长都为1的小正方形组成的网格,四边形ABCD的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)求证:∠BCD=90°.

17.解析 (1)四边形ABCD的面积为5×5 - 1/2×2×1 - 1/2×4×2 - 1/2×5×1 - 1/2×4×1 -1×1=14.5.
(2)证明:如图,连接BD.

∵BD²=3²+4²=25,BC²+CD²=(4²+2²)+(2²+1²)=20+5=25,
∴BC²+CD²=BD²,
∴△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°.