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7.「★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC$的垂直平分线交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，连接$CD$。若$△ ABC$的周长为12，$BC=3$，则$△ BCD$的周长为（
A.12
B.10
C.8
D.6
C
）A.12
B.10
C.8
D.6
答案
7.C 设AB=x,
∵△ABC的周长为12,
∴AB+AC+BC=12,
∵BC=3,
∴AB+AC=9,
∴AC=9-x,由勾股定理得AB²=AC²+BC²,即x²=(9-x)²+3²,解得x=5,即AB=5,
∵DE垂直平分AC,
∴DA=DC,
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=3+5=8,故选C.
∵△ABC的周长为12,
∴AB+AC+BC=12,
∵BC=3,
∴AB+AC=9,
∴AC=9-x,由勾股定理得AB²=AC²+BC²,即x²=(9-x)²+3²,解得x=5,即AB=5,
∵DE垂直平分AC,
∴DA=DC,
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=3+5=8,故选C.
8.「2026浙江台州期末，★★☆」如图，$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形.若阴影部分的面积满足$4(S_1+S_2)=S_3$，则下列说法正确的是（
A.$AB=AC$
B.$2AB=AC$
C.$2AB=BC$
D.$2AC=BC$
A
）A.$AB=AC$
B.$2AB=AC$
C.$2AB=BC$
D.$2AC=BC$
答案
8.A 由勾股定理可得AB²+AC²=BC²,所以S₁+S₂=
1/2 π(1/2 AB)² + 1/2 π(1/2 AC)² + S△ABC - 1/2 π(1/2 BC)² = 1/8 π·(AB²+AC²-BC²) + 1/2 AB·AC = 1/2 AB·AC.因为4(S₁+S₂)=S₃,所以4×1/2 AB·AC=BC²=AB²+AC²,即2AB·AC=AB²+AC²,所以(AB-AC)²=0,所以AB=AC.故选A.
1/2 π(1/2 AB)² + 1/2 π(1/2 AC)² + S△ABC - 1/2 π(1/2 BC)² = 1/8 π·(AB²+AC²-BC²) + 1/2 AB·AC = 1/2 AB·AC.因为4(S₁+S₂)=S₃,所以4×1/2 AB·AC=BC²=AB²+AC²,即2AB·AC=AB²+AC²,所以(AB-AC)²=0,所以AB=AC.故选A.
9.「★★☆」已知直角三角形纸片的两直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形。若这两个三角形都是等腰三角形，则（
A.$m^2 + 2mn + n^2 = 0$
B.$m^2 - 2mn + n^2 = 0$
C.$m^2 + 2mn - n^2 = 0$
D.$m^2 - 2mn - n^2 = 0$
C
）A.$m^2 + 2mn + n^2 = 0$
B.$m^2 - 2mn + n^2 = 0$
C.$m^2 + 2mn - n^2 = 0$
D.$m^2 - 2mn - n^2 = 0$
答案
9.C 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=m,BC=n,过点A的射线AD交BC于点D,且将△ABC分成两个等腰三角形:△ACD和△ADB,则AC=CD=m,AD=DB=n-m.在Rt△ACD中,由勾股定理,得m²+m²=(n-m)²,所以2m²=m²-2mn+n²,所以m²+2mn-n²=0.故选C.
10. 核心素养 空间观念「★★★」如图，将一个棱长为3 cm的正方体所有的面均分成3×3个小正方形.假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm,则它从底面A处沿表面爬行至侧面的B处,最少要用时 (
A.3.5 s
B.2.2 s
C.2 s
D.2.5 s
D
)A.3.5 s
B.2.2 s
C.2 s
D.2.5 s
答案
10.D 易知各个小正方形的边长均为1 cm.分情况讨论：
①展开左面与上底面,示意图如图1,连接AB,
由勾股定理得AB²=(3+3)²+1²=37.
②展开前面与上底面,示意图如图2,连接AB,
由勾股定理得AB²=(1+3)²+3²=25=5².
③易知展开前面与右面后,连接AB,AB的长与情况②相同.
因为37＞25,所以最短路径长为5 cm,所以最少要用时5÷2=2.5(s),故选D.
11.「2026河南省实验中学期中，★☆」如图，小红家的木门左下角有一点儿受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2.4 m和1 m，又测得点A与点C间的距离为2.6 m，则小红家的木门
没有变形
（填“已变形”或“没有变形”）。答案
11.答案 没有变形
解析 因为AB²+BC²=2.4²+1²=6.76=2.6²=AC²,所以∠ABC=90°,所以小红家的木门没有变形.
解析 因为AB²+BC²=2.4²+1²=6.76=2.6²=AC²,所以∠ABC=90°,所以小红家的木门没有变形.
