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1.「2026河南新乡期末，★☆」我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是 (
A.2,3,5
B.7,8,9
C.6,8,10
D.5,12,11
C
)A.2,3,5
B.7,8,9
C.6,8,10
D.5,12,11
答案
1.C
∵2²+3²≠5²,7²+8²≠9²,5²+11²≠12²,
∴2,3,5不是勾股数,7,8,9不是勾股数,5,12,11不是勾股数.
∵6²+8²=10²,且6,8,10都是正整数,
∴6,8,10是勾股数.
故选C.
∵2²+3²≠5²,7²+8²≠9²,5²+11²≠12²,
∴2,3,5不是勾股数,7,8,9不是勾股数,5,12,11不是勾股数.
∵6²+8²=10²,且6,8,10都是正整数,
∴6,8,10是勾股数.
故选C.
2.「2026河南驻马店期末，★☆」在$△ ABC$中，$∠ A, ∠ B, ∠ C$的对边分别为$a,b,c$，下列条件不能判定$△ ABC$为直角三角形的是（
A.$∠ A + ∠ B = 90°$
B.$a^2 = 5, b^2 = 12, c^2 = 13$
C.$a:b:c = 3:4:5$
D.$a^2 = c^2 - b^2$
B
）A.$∠ A + ∠ B = 90°$
B.$a^2 = 5, b^2 = 12, c^2 = 13$
C.$a:b:c = 3:4:5$
D.$a^2 = c^2 - b^2$
答案
2.B
∵∠A+∠B=90°,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,故选项A不符合题意；
∵a²+b²=5+12=17,c²=13,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形,故选项B符合题意；
∵a:b:c=3:4:5,
∴设a=3k(k≠0),b=4k,c=5k,
∵(3k)²+(4k)²=(5k)²,
∴a²+b²=c²,
∴△ABC是直角三角形,故选项C不符合题意；
∵a²=c²-b²,
∴a²+b²=c²,
∴△ABC是直角三角形,故选项D不符合题意.
故选B.
∵∠A+∠B=90°,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,故选项A不符合题意；
∵a²+b²=5+12=17,c²=13,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形,故选项B符合题意；
∵a:b:c=3:4:5,
∴设a=3k(k≠0),b=4k,c=5k,
∵(3k)²+(4k)²=(5k)²,
∴a²+b²=c²,
∴△ABC是直角三角形,故选项C不符合题意；
∵a²=c²-b²,
∴a²+b²=c²,
∴△ABC是直角三角形,故选项D不符合题意.
故选B.
3.「★☆」在锐角$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=13$，高$AD=12$，则$BC$的长度为（
A.16
B.15
C.14
D.13
C
）A.16
B.15
C.14
D.13
答案
3.C 如图,
∵AD为△ABC的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵AB=15,AC=13,AD=12,
∴BD²=AB²-AD²=15²-12²=81=9²,CD²=AC²-AD²=13²-12²=25=5²,
∴BD=9,CD=5,
∴BC=BD+CD=9+5=14,故选C.
4.「2026 浙江衢州期中，★★☆」如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠CDA=90°,分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形,若$S_2 + S_3 = 14, S_1 = 2$,则$S_4$的值为 (
A.16
B.12
C.9
D.5
B
)A.16
B.12
C.9
D.5
答案
4.B 如图,连接AC,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴AB²+BC²=AC²,AD²+CD²=AC²,
∴AB²+BC²=AD²+CD²,
∵分别以四边形ABCD的四条边为斜边向外作等腰直角三角形,
∴S₂=1/4 AB²,S₃=1/4 BC²,S₁=1/4 AD²,S₄=1/4 CD²,
∴S₂+S₃=S₁+S₄,
∴S₄=14-2=12,故选B.
技巧归纳 以直角三角形的三边为边向外作正方形、等边三角形、等腰直角三角形等(如图),总有S₁+S₂=S₃.
5.「2026山西临汾期末，★★☆」如图所示的是一块光学直角棱镜的截面示意图，记为$\mathrm{Rt} △ ABC$，$AB$所在的面为不透光的磨砂面，$∠ ACB=90°$，$BC=10\ \mathrm{cm}$，现将一束单色光从$AC$边上的点$O$射入，折射后到达$AB$边上的点$D$处，恰有$CD ⊥ AB$，再经过反射后，从点$E$射出，$DE ⊥ BC$，垂足为点$E$，已知$BD=6\ \mathrm{cm}$，则$DE$的长为（
A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$3.6\ \mathrm{cm}$
C.$4.8\ \mathrm{cm}$
D.$6.4\ \mathrm{cm}$
C
）A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$3.6\ \mathrm{cm}$
C.$4.8\ \mathrm{cm}$
D.$6.4\ \mathrm{cm}$
答案
5.C
∵BC=10 cm,BD=6 cm,CD⊥AB,
∴CD²=BC²-BD²=10²-6²=64=8²,
∴CD=8 cm,
∵DE⊥BC,
∴S△BCD=1/2 BD·CD=1/2 BC·DE,
∴DE=(BD·CD)/BC=(6×8)/10=4.8(cm),故选C.
∵BC=10 cm,BD=6 cm,CD⊥AB,
∴CD²=BC²-BD²=10²-6²=64=8²,
∴CD=8 cm,
∵DE⊥BC,
∴S△BCD=1/2 BD·CD=1/2 BC·DE,
∴DE=(BD·CD)/BC=(6×8)/10=4.8(cm),故选C.
6.「2026山东聊城期末，★★☆」某古籍中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”大意：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前
推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板和人一样高，这个人的身高为5尺.如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为 (
A.12尺
B.12.5尺
C.14.5尺
D.15尺
推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板和人一样高，这个人的身高为5尺.如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为 (C
)A.12尺
B.12.5尺
C.14.5尺
D.15尺
答案
6.C 设绳索的长为x尺,则AB=AD=x尺,
由题意可得BC=1尺,DF=CE=5尺,DE=10尺,
则AE=(x+1-5)尺,根据勾股定理得DE²+AE²=AD²,即10²+(x+1-5)²=x²,解得x=14.5,故绳索长为14.5尺.故选C.
由题意可得BC=1尺,DF=CE=5尺,DE=10尺,
则AE=(x+1-5)尺,根据勾股定理得DE²+AE²=AD²,即10²+(x+1-5)²=x²,解得x=14.5,故绳索长为14.5尺.故选C.
