登录
21.「2026江苏宿迁期中，★★」（10分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图1所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c。
（1）把赵爽弦图里的四个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图2所示的图形，请利用这个图形验证勾股定理。
（2）图1的赵爽弦图中，若b=6，a=5，将四个直角三角形中长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为
（1）把赵爽弦图里的四个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图2所示的图形，请利用这个图形验证勾股定理。
（2）图1的赵爽弦图中，若b=6，a=5，将四个直角三角形中长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为
76
.(直接写出结果)答案
21.解析 (1)题图2的总面积可以表示为$c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$,
还可以表示为$a^2+b^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$,
$\therefore c^2+ab=a^2+b^2+ab$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)如图,由题意知,外延的4部分全等,且$AD=AC=6$,
$\therefore CD=12$,$\therefore BD^2=CD^2+BC^2=12^2+5^2=169=13^2$,$\therefore BD=13$,$\therefore$ 这个风车的外围(实线)周长是$4×(BD+AD)=4×(13+6)=76$.
22.「2026 浙江温州期中，★★★」(12分)定义:已知$△ ABC$是直角三角形,若存在一条线段将其分割成两个三角形,且这两个三角形中一个是等腰三角形,另一个是直角三角形,则称$△ ABC$为“等直关联三角形”,这条线段称为“等直分割线”.如图,在等直关联$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=8$,点$D$在$BC$边上(不与顶点重合),连接$AD$,$AD$为“等直分割线”.
(1)求$AB$的长.
(2)求$△ ABD$的面积.
(1)求$AB$的长.
(2)求$△ ABD$的面积.
答案
22.解析 (1)$\because ∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=8$,$\therefore$ 由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100=10^2$,$\therefore AB=10$.
(2)根据题意可知,$△ ABD$为等腰三角形,即$AD=BD$,设$BD=AD=x$,则$CD=BC-BD=8-x$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理得$AD^2=CD^2+AC^2$,即$x^2=6^2+(8-x)^2$,解得$x=\frac{25}{4}$,$\therefore BD=\frac{25}{4}$,$\therefore △ ABD$的面积$=\frac{1}{2}BD· AC=\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×6=\frac{75}{4}$.
(2)根据题意可知,$△ ABD$为等腰三角形,即$AD=BD$,设$BD=AD=x$,则$CD=BC-BD=8-x$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理得$AD^2=CD^2+AC^2$,即$x^2=6^2+(8-x)^2$,解得$x=\frac{25}{4}$,$\therefore BD=\frac{25}{4}$,$\therefore △ ABD$的面积$=\frac{1}{2}BD· AC=\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×6=\frac{75}{4}$.
