二、拓展性作业
8.【概念学习】定义:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如$2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等。类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$记作$2_3$,读作“2的下3次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$记作$(-3)_4$,读作“-3的下4次方”。一般地,把$(a≠0)$记作$a_n$,读作“$a$的下$n$次方”。
直接写出计算结果:$3_3=$, $(-\dfrac{1}{3})_3=$。
【深入探究】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?

(1)仿照上面的算式,将下列运算写成幂的形式:
$4_6=$, $(-\dfrac{1}{4})_7=$;
(2)将一个非零有理数$a$的下$n$次方写成幂的形式:$a_n=$。
【结论应用】计算:$2^{2023} - (-\dfrac{1}{2})_{2024}=$。

8.【概念学习】$\frac{1}{3}\ \ \ -3$ 解析:$3_3=3÷3÷3=3×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$，
$(-\frac{1}{3})_3=(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})×(-3)×(-3)=-3$。
【深入探究】(1)$(\frac{1}{4})^4$ $(-4)^5$ 解析:$4_6=4÷4÷4÷4÷4÷4$
$=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$
$=(\frac{1}{4})^4$，
$(-\frac{1}{4})_7=(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})$
$=(-\frac{1}{4})×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)$
$=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)$
$=(-4)^5$。
(2)$(\frac{1}{a})^{n-2}$ 解析:$a_n=\underbrace{a÷a÷\dots÷a}_{n个a}$
$=a×\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\dots×\frac{1}{a}}_{(n-1)个}$
$=\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\dots×\frac{1}{a}}_{(n-2)个}$
$=(\frac{1}{a})^{n-2}$。
【结论应用】$2^{2022}$ 解析:$2^{2\ 023}-(-\frac{1}{2})_{2\ 024}=2^{2\ 023}-(-2)^{2\ 022}=2^{2\ 023}-2^{2\ 022}=2^{2\ 022}(2-1)=2^{2\ 022}$。

【分析】
本题是新定义类运算题，核心是先准确理解“a的下n次方”的定义：n个相同非零有理数a连续相除记作$a_n$。解题思路如下：第一步，按照新定义直接把概念学习中的除方展开为连续除法，计算出结果；第二步，在深入探究部分，将除法转化为乘法，通过约分找到除方转化为乘方的规律，再推导得出通用公式；第三步，结论应用部分代入通用公式，将除方转化为熟悉的乘方，再利用幂的运算性质计算即可。
【解析】
概念学习
根据除方的定义展开计算：
1. $3_3$表示3个3连续相除：
$3_3=3÷3÷3=3×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
2. $(-\frac{1}{3})_3$表示3个$-\frac{1}{3}$连续相除：
$(-\frac{1}{3})_3=(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})×(-3)×(-3)=-3$
深入探究
(1) 先将除方展开为连续除法，再转化为乘法约分化为幂的形式：
① $4_6$表示6个4连续相除：
$4_6=4÷4÷4÷4÷4÷4=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^4$
② $(-\frac{1}{4})_7$表示7个$-\frac{1}{4}$连续相除：
$(-\frac{1}{4})_7=\underbrace{(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷\dots÷(-\frac{1}{4})}_{7个}=(-\frac{1}{4})×\underbrace{(-4)×(-4)×\dots×(-4)}_{6个}=(-4)^5$
(2) 推导非零有理数a的下n次方的幂形式：
$a_n=\underbrace{a÷a÷a÷\dots÷a}_{n个a}=a×\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\dots×\frac{1}{a}}_{n-1个}=\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\dots×\frac{1}{a}}_{n-2个}=(\frac{1}{a})^{n-2} \ (a≠0)$
结论应用
先根据上述公式计算$(-\frac{1}{2})_{2024}$：
$(-\frac{1}{2})_{2024}=(\frac{1}{-\frac{1}{2}})^{2024-2}=(-2)^{2022}=2^{2022}$
代入原式计算：
$2^{2023} - (-\frac{1}{2})_{2024}=2^{2023}-2^{2022}=2^{2022}×(2-1)=2^{2022}$
【答案】
【概念学习】$\frac{1}{3}$；$-3$
【深入探究】(1) $(\frac{1}{4})^4$；$(-4)^5$ (2) $(\frac{1}{a})^{n-2}$
【结论应用】$2^{2022}$
【知识点】
新定义运算、有理数乘除运算、乘方运算
【点评】
本题以新定义“除方”为载体，考查对新运算的理解能力和知识迁移能力，解题的关键是将陌生的除方运算转化为已学的乘除、乘方运算，体现了转化的数学思想，能够有效锻炼规律归纳和运算求解能力。
【难度系数】
0.7

9. 某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：$15^2 = 15×15 = 225 = (1×2)×100 + 25$；
第2个等式：$25^2 = 25×25 = 625 = (2×3)×100 + 25$；
第3个等式：$35^2 = 35×35 = 1225 = (3×4)×100 + 25$；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)填空：$65^2 = 65×65 =$ $=$ ；
(2)已知$1≤n≤9$且$n$为整数，猜想第$n$个等式(用含$n$的等式表示)。

9. 解:(1)4 225 $(6×7)×100+25$
(2)猜想第$n$个等式为$(10n+5)^2=n(n+1)×100+25$（$1≤n≤9$,且$n$为整数）。

【分析】
本题属于数字规律探究题，解题思路如下：首先观察给出的前3个等式，总结共性规律：个位为5的两位数，若十位数字为a，则它的平方结果等于「a×(a+1)×100 + 25」。(1)问中65的十位数字是6，直接套用规律即可写出表达式并计算结果；(2)问中第n个等式对应的十位数字就是n，先将十位为n、个位为5的两位数用含n的代数式表示，再代入总结的规律即可得到通用等式，注意标注n的取值范围。
【解析】
(1) 根据已知等式的规律，个位为5的两位数平方的结果为“十位数字×(十位数字+1)×100 + 25”，65的十位数字是6，因此：
$65^2 = (6×7)×100 + 25 = 42×100 +25 = 4225$
(2) 当十位数字为n（$1≤n≤9$且n为整数）时，这个个位为5的两位数可表示为$10n+5$，结合规律可得第n个等式为：
$(10n+5)^2 = n(n+1)×100 + 25$（$1≤n≤9$，且n为整数）
【答案】
(1) $\boxed{4225}$；$\boxed{(6×7)×100+25}$
(2) $\boxed{(10n+5)^2=n(n+1)×100+25}$（$1≤n≤9$，且$n$为整数）
【知识点】
数字规律探究；列代数式；有理数乘方运算
【点评】
本题核心考查从特殊实例中归纳通用规律的能力，解题的关键是区分等式中固定不变的部分和随序数变化的部分，找到变化部分与序数的对应关系，得到规律后可代入已知的特殊值验证正确性，是规律探究类题型的典型考法。
【难度系数】
0.8