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1. 三角形有3个顶点,如果在它的内部再画n个点,并以这$(n+3)$个点为顶点剪三角形,那么最多可以剪出多少个小三角形?
【问题探究】我们可以从$n=1,n=2,n=3$等具体的、简单的情形入手,探索最多可以剪出的小三角形个数的变化规律(如表3-3-2)。
表3-3-2
| 三角形内部点的个数 | 图形 | 最多可以剪出的小三角形个数 |
| --- | --- | --- |
| 1 |
| 3 |
| 2 | | 5 |
| 3 | | 7 |
| … | … | … |
【问题解决】
(1)当三角形内部有4个点时,最多可以剪出的小三角形个数为
(2)你发现的变化规律是:三角形内部的点每增加1个,最多可以剪出的小三角形增加
(3)猜想:当三角形内部点的个数为n时,最多可以剪出
【问题探究】我们可以从$n=1,n=2,n=3$等具体的、简单的情形入手,探索最多可以剪出的小三角形个数的变化规律(如表3-3-2)。
表3-3-2
| 三角形内部点的个数 | 图形 | 最多可以剪出的小三角形个数 |
| --- | --- | --- |
| 1 |
| 3 || 2 | | 5 |
| 3 | | 7 |
| … | … | … |
【问题解决】
(1)当三角形内部有4个点时,最多可以剪出的小三角形个数为
9
;(2)你发现的变化规律是:三角形内部的点每增加1个,最多可以剪出的小三角形增加
2
个;(3)猜想:当三角形内部点的个数为n时,最多可以剪出
(2n+1)
个小三角形。答案
(1)9 解析:根据题意得,当三角形内部有4个点时,最多可以剪出的小三角形个数为9。
(2)2 解析:因为当三角形内部点的个数为1时,最多可以剪出3个小三角形；
当三角形内部点的个数为2时,最多可以剪出5个小三角形；
当三角形内部点的个数为3时,最多可以剪出7个小三角形；
当三角形内部点的个数为4时,最多可以剪出9个小三角形，
所以变化规律是:三角形内部的点每增加1个,最多可以剪出的小三角形增加2个。
(3)(2n+1) 解析:因为1×2+1=3,2×2+1=5,3×2+1=7,…,
所以当三角形内部点的个数为n时,最多可以剪出(2n+1)个小三角形。
(2)2 解析:因为当三角形内部点的个数为1时,最多可以剪出3个小三角形；
当三角形内部点的个数为2时,最多可以剪出5个小三角形；
当三角形内部点的个数为3时,最多可以剪出7个小三角形；
当三角形内部点的个数为4时,最多可以剪出9个小三角形，
所以变化规律是:三角形内部的点每增加1个,最多可以剪出的小三角形增加2个。
(3)(2n+1) 解析:因为1×2+1=3,2×2+1=5,3×2+1=7,…,
所以当三角形内部点的个数为n时,最多可以剪出(2n+1)个小三角形。
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，我们可以从表格给出的已知数据入手分析：首先观察三角形内部点的个数与对应小三角形个数的关系，先对比相邻两组数据的差值，找到数量变化的规律，再利用规律求解n=4的情况，最后推广到n为任意正整数的一般情形。
【解析】
(1) 观察表格数据：内部有1个点时，小三角形个数为3；内部有2个点时为5；内部有3个点时为7，可见每增加1个内部点，小三角形个数增加2，因此内部有4个点时，小三角形个数为$7+2=9$。
(2) 计算相邻数量的差值：$5-3=2$，$7-5=2$，$9-7=2$，因此三角形内部的点每增加1个，最多可以剪出的小三角形增加2个。
(3) 观察点的个数与小三角形个数的对应关系：
当$n=1$时，$3=2×1+1$；
当$n=2$时，$5=2×2+1$；
当$n=3$时，$7=2×3+1$；
以此类推，当三角形内部点的个数为$n$时，最多可以剪出$(2n+1)$个小三角形。
【答案】
(1)9；(2)2；(3)$(2n+1)$
【知识点】
1. 规律探究 2. 列代数式 3. 归纳推理
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，重点考查观察能力与归纳总结能力，解题的核心是找到已知数据的变化共性，再将规律推广到一般情况。
【难度系数】
0.8
这是一道图形规律探究题，我们可以从表格给出的已知数据入手分析：首先观察三角形内部点的个数与对应小三角形个数的关系，先对比相邻两组数据的差值，找到数量变化的规律，再利用规律求解n=4的情况，最后推广到n为任意正整数的一般情形。
【解析】
(1) 观察表格数据：内部有1个点时，小三角形个数为3；内部有2个点时为5；内部有3个点时为7，可见每增加1个内部点，小三角形个数增加2，因此内部有4个点时，小三角形个数为$7+2=9$。
(2) 计算相邻数量的差值：$5-3=2$，$7-5=2$，$9-7=2$，因此三角形内部的点每增加1个，最多可以剪出的小三角形增加2个。
(3) 观察点的个数与小三角形个数的对应关系：
当$n=1$时，$3=2×1+1$；
当$n=2$时，$5=2×2+1$；
当$n=3$时，$7=2×3+1$；
以此类推，当三角形内部点的个数为$n$时，最多可以剪出$(2n+1)$个小三角形。
【答案】
(1)9；(2)2；(3)$(2n+1)$
【知识点】
1. 规律探究 2. 列代数式 3. 归纳推理
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，重点考查观察能力与归纳总结能力，解题的核心是找到已知数据的变化共性，再将规律推广到一般情况。
【难度系数】
0.8
2. 鱼骨分析法，指的是一种发现问题“根本原因”的分析方法，现代工商管理教育将其划分为问题型、原因型及对策型鱼骨分析等几类。如图3-3-13所示的“鱼骨图”有1条主骨、若干条大骨，每条大骨带有2条中骨。把主骨、大骨、中骨统称“骨头”。
(1)如果这张“鱼骨图”只有1条大骨，那么共有
(2)如果这张“鱼骨图”有m条大骨，求“骨头”总数(用含m的代数式表示)。
(3)这张“鱼骨图”的“骨头”总数是否可能为2024？说明理由。
(4)如果这张“鱼骨图”有n条中骨，求“骨头”总数(用含n的代数式表示)。
(1)如果这张“鱼骨图”只有1条大骨，那么共有
4
条“骨头”；如果有2条大骨，那么共有7
条“骨头”；如果有3条大骨，那么共有10
条“骨头”。(2)如果这张“鱼骨图”有m条大骨，求“骨头”总数(用含m的代数式表示)。
(3)这张“鱼骨图”的“骨头”总数是否可能为2024？说明理由。
(4)如果这张“鱼骨图”有n条中骨，求“骨头”总数(用含n的代数式表示)。
答案
解:(1)4 7 10
(2)由题知，
当“鱼骨图”有1条大骨时，“骨头”总数为4=1×3+1；
当“鱼骨图”有2条大骨时，“骨头”总数为7=2×3+1；
当“鱼骨图”有3条大骨时，“骨头”总数为10=3×3+1；
……
所以当“鱼骨图”有m条大骨时，“骨头”总数为(3m+1)条。
(3)这张“鱼骨图”的“骨头”总数不能为2 024。
理由:因为(2 024-1)÷3=674……1，
所以这张“鱼骨图”的“骨头”总数不能为2 024。
(4)当“鱼骨图”有2条中骨时，“骨头”总数为4=2×$\frac{3}{2}$+1；
当“鱼骨图”有4条中骨时，“骨头”总数为7=4×$\frac{3}{2}$+1；
当“鱼骨图”有6条中骨时，“骨头”总数为10=6×$\frac{3}{2}$+1；
……
所以当“鱼骨图”有n条中骨时，“骨头”总数为$(\frac{3}{2}n+1)$条。
(2)由题知，
当“鱼骨图”有1条大骨时，“骨头”总数为4=1×3+1；
当“鱼骨图”有2条大骨时，“骨头”总数为7=2×3+1；
当“鱼骨图”有3条大骨时，“骨头”总数为10=3×3+1；
……
所以当“鱼骨图”有m条大骨时，“骨头”总数为(3m+1)条。
(3)这张“鱼骨图”的“骨头”总数不能为2 024。
理由:因为(2 024-1)÷3=674……1，
所以这张“鱼骨图”的“骨头”总数不能为2 024。
(4)当“鱼骨图”有2条中骨时，“骨头”总数为4=2×$\frac{3}{2}$+1；
当“鱼骨图”有4条中骨时，“骨头”总数为7=4×$\frac{3}{2}$+1；
当“鱼骨图”有6条中骨时，“骨头”总数为10=6×$\frac{3}{2}$+1；
……
所以当“鱼骨图”有n条中骨时，“骨头”总数为$(\frac{3}{2}n+1)$条。
解析
【分析】
首先明确“骨头”包含主骨、大骨、中骨三类，其中主骨固定为1条，每条大骨对应2条中骨。解题时先从1、2、3条大骨的特殊情况入手计算总骨头数，再归纳出大骨数量为m时的通用代数式；接下来根据得到的代数式判断总骨头数为2024是否成立，只需判断2024减去1后能否被3整除即可；最后转换变量，根据中骨数量n推导对应大骨的数量，再归纳总骨头数的代数式即可。
【解析】
(1) 当有1条大骨时：主骨1条，大骨1条，中骨有$1×2=2$条，总骨头数为$1+1+2=4$条；
当有2条大骨时：主骨1条，大骨2条，中骨有$2×2=4$条，总骨头数为$1+2+4=7$条；
当有3条大骨时：主骨1条，大骨3条，中骨有$3×2=6$条，总骨头数为$1+3+6=10$条。
(2) 当有m条大骨时，主骨1条，大骨m条，中骨有$2m$条，总骨头数为$1+m+2m=3m+1$条。
(3) 总骨头数不可能为2024，理由如下：
若总骨头数为2024，则$3m+1=2024$，计算得$(2024-1)÷3=674······1$，得到的m不是正整数，不符合实际，因此总骨头数不可能为2024。
(4) 当有n条中骨时，每条大骨对应2条中骨，因此大骨数量为$\frac{n}{2}$条，加上1条主骨，总骨头数为$1+\frac{n}{2}+n=\frac{3}{2}n+1$条。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{7}$，$\boxed{10}$
(2) $\boxed{(3m+1)}$条
(3) 不可能，理由：$(2024-1)÷3$有余数，m不是正整数，不符合实际
(4) $\boxed{(\dfrac{3}{2}n+1)}$条
【知识点】
规律探究，列代数式，整除应用
【点评】
本题结合实用的鱼骨分析法设置问题，考查从特殊到一般的归纳思维，需要先理清三类骨头的数量关系，再逐步推导通用代数式，最后利用代数式验证数值合理性，有助于提升逻辑推导和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确“骨头”包含主骨、大骨、中骨三类，其中主骨固定为1条，每条大骨对应2条中骨。解题时先从1、2、3条大骨的特殊情况入手计算总骨头数，再归纳出大骨数量为m时的通用代数式；接下来根据得到的代数式判断总骨头数为2024是否成立，只需判断2024减去1后能否被3整除即可；最后转换变量，根据中骨数量n推导对应大骨的数量，再归纳总骨头数的代数式即可。
【解析】
(1) 当有1条大骨时：主骨1条，大骨1条，中骨有$1×2=2$条，总骨头数为$1+1+2=4$条；
当有2条大骨时：主骨1条，大骨2条，中骨有$2×2=4$条，总骨头数为$1+2+4=7$条；
当有3条大骨时：主骨1条，大骨3条，中骨有$3×2=6$条，总骨头数为$1+3+6=10$条。
(2) 当有m条大骨时，主骨1条，大骨m条，中骨有$2m$条，总骨头数为$1+m+2m=3m+1$条。
(3) 总骨头数不可能为2024，理由如下：
若总骨头数为2024，则$3m+1=2024$，计算得$(2024-1)÷3=674······1$，得到的m不是正整数，不符合实际，因此总骨头数不可能为2024。
(4) 当有n条中骨时，每条大骨对应2条中骨，因此大骨数量为$\frac{n}{2}$条，加上1条主骨，总骨头数为$1+\frac{n}{2}+n=\frac{3}{2}n+1$条。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{7}$，$\boxed{10}$
(2) $\boxed{(3m+1)}$条
(3) 不可能，理由：$(2024-1)÷3$有余数，m不是正整数，不符合实际
(4) $\boxed{(\dfrac{3}{2}n+1)}$条
【知识点】
规律探究，列代数式，整除应用
【点评】
本题结合实用的鱼骨分析法设置问题，考查从特殊到一般的归纳思维，需要先理清三类骨头的数量关系，再逐步推导通用代数式，最后利用代数式验证数值合理性，有助于提升逻辑推导和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图3-3-14，某影厅共有16排座位，第1排有m个座位，第2排比第1排多6个座位，第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多n个座位。
(1)该影厅第3排有
(2)图中的阴影区域为居中区域，第1排的两侧各去掉1个座位后得到第1排的居中区域，第2排的居中区域比第1排的居中区域在两侧各多1个座位，第3排及后面每排的居中区域座位数相等，都比第2排的居中区域在两侧各多2个座位。居中区域的第7,8,9排为最佳观影位置。
①若该影厅的第1排有12个座位，则居中区域的第2排有
②若该影厅的最佳观影位置共有39个座位，请你用含n的代数式表示该影厅的座位数。
(1)该影厅第3排有
(m+n+6)
个座位(用含m,n的式子表示)。(2)图中的阴影区域为居中区域，第1排的两侧各去掉1个座位后得到第1排的居中区域，第2排的居中区域比第1排的居中区域在两侧各多1个座位，第3排及后面每排的居中区域座位数相等，都比第2排的居中区域在两侧各多2个座位。居中区域的第7,8,9排为最佳观影位置。
①若该影厅的第1排有12个座位，则居中区域的第2排有
12
个座位，居中区域的第3排有16
个座位；②若该影厅的最佳观影位置共有39个座位，请你用含n的代数式表示该影厅的座位数。
答案
解:(1)(m+n+6)
解析:由题知，
第2排的座位数为(m+6)个，
第3排的座位数为(m+n+6)个。
(2)①12 16 解析:由该影厅的第1排有12个座位得，
第1排居中区域的座位数为12-2=10(个)，
第2排居中区域的座位数为10+2=12(个)，
第3排居中区域的座位数为12+4=16(个)。
②由题知，
第1排居中区域的座位数为(m-2)个，
第2排居中区域的座位数为m-2+2=m(个)，
第3排居中区域的座位数为(m+4)个，
又因为第3排及后面每排的居中区域座位数相等，
所以第7,8,9排的居中区域的座位数都是(m+4)个。
又因为居中区域的第7,8,9排为最佳观影位置，
且该影厅的最佳观影位置共有39个座位，
所以3(m+4)=39，
解得m=9，
所以第1排的座位数为9个，
第2排的座位数为15个，
第3排的座位数为(15+n)个，
故该影厅的座位总数为9+15+(16-2)(15+n)=14n+234(个)。
解析:由题知，
第2排的座位数为(m+6)个，
第3排的座位数为(m+n+6)个。
(2)①12 16 解析:由该影厅的第1排有12个座位得，
第1排居中区域的座位数为12-2=10(个)，
第2排居中区域的座位数为10+2=12(个)，
第3排居中区域的座位数为12+4=16(个)。
②由题知，
第1排居中区域的座位数为(m-2)个，
第2排居中区域的座位数为m-2+2=m(个)，
第3排居中区域的座位数为(m+4)个，
又因为第3排及后面每排的居中区域座位数相等，
所以第7,8,9排的居中区域的座位数都是(m+4)个。
又因为居中区域的第7,8,9排为最佳观影位置，
且该影厅的最佳观影位置共有39个座位，
所以3(m+4)=39，
解得m=9，
所以第1排的座位数为9个，
第2排的座位数为15个，
第3排的座位数为(15+n)个，
故该影厅的座位总数为9+15+(16-2)(15+n)=14n+234(个)。
解析
【分析】
(1) 先根据题干描述的座位数变化规律推导：第2排比第1排多6个座位，先求出第2排座位数，第3排比第2排多n个，在第2排座位数的基础上加n即可得到第3排的座位数。
(2) ①已知第1排座位数为12，先计算第1排居中区域座位数：两侧各去掉1个即总共减2；第2排居中区域比第1排两侧各多1个，即总共多2个，相加即可得第2排居中座位数；第3排居中区域比第2排两侧各多2个，即总共多4个，相加即可得第3排居中座位数。
②先推导各排居中区域座位数的表达式，第3排及之后每排居中区域座位数相等，最佳观影位置共3排，总座位数为39，据此列方程求出m的值，再分别计算16排的座位总和即可。
【解析】
(1) 由题意得，第2排座位数为$m+6$，第3排比第2排多n个座位，因此第3排座位数为$m+6+n=m+n+6$。
(2) ①当第1排有12个座位时：
第1排居中区域座位数为$12-2=10$（个）
第2排居中区域座位数为$10+2=12$（个）
第3排居中区域座位数为$12+4=16$（个）
②推导居中区域座位数：
第1排居中区域座位数为$m-2$个，第2排居中区域座位数为$m-2+2=m$个，第3排及之后每排居中区域座位数均为$m+4$个。
最佳观影位置为第7、8、9排共3排，总座位数39，可列方程：
$3(m+4)=39$
解得$m=9$。
再计算影厅总座位数：
第1排座位数为9个，第2排座位数为$9+6=15$个，第3到16排共$16-2=14$排，每排座位数为$15+n$个。
总座位数$=9+15+14×(15+n)=14n+234$（个）
【答案】
(1) $\boldsymbol{m+n+6}$
(2) ① $\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{16}$
② $\boldsymbol{14n+234}$个
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值
【点评】
本题结合影院座位的实际场景，考查对数量变化规律的梳理能力，解题时需要明确普通座位数和居中区域座位数的不同变化规则，找准等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据题干描述的座位数变化规律推导：第2排比第1排多6个座位，先求出第2排座位数，第3排比第2排多n个，在第2排座位数的基础上加n即可得到第3排的座位数。
(2) ①已知第1排座位数为12，先计算第1排居中区域座位数：两侧各去掉1个即总共减2；第2排居中区域比第1排两侧各多1个，即总共多2个，相加即可得第2排居中座位数；第3排居中区域比第2排两侧各多2个，即总共多4个，相加即可得第3排居中座位数。
②先推导各排居中区域座位数的表达式，第3排及之后每排居中区域座位数相等，最佳观影位置共3排，总座位数为39，据此列方程求出m的值，再分别计算16排的座位总和即可。
【解析】
(1) 由题意得，第2排座位数为$m+6$，第3排比第2排多n个座位，因此第3排座位数为$m+6+n=m+n+6$。
(2) ①当第1排有12个座位时：
第1排居中区域座位数为$12-2=10$（个）
第2排居中区域座位数为$10+2=12$（个）
第3排居中区域座位数为$12+4=16$（个）
②推导居中区域座位数：
第1排居中区域座位数为$m-2$个，第2排居中区域座位数为$m-2+2=m$个，第3排及之后每排居中区域座位数均为$m+4$个。
最佳观影位置为第7、8、9排共3排，总座位数39，可列方程：
$3(m+4)=39$
解得$m=9$。
再计算影厅总座位数：
第1排座位数为9个，第2排座位数为$9+6=15$个，第3到16排共$16-2=14$排，每排座位数为$15+n$个。
总座位数$=9+15+14×(15+n)=14n+234$（个）
【答案】
(1) $\boldsymbol{m+n+6}$
(2) ① $\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{16}$
② $\boldsymbol{14n+234}$个
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值
【点评】
本题结合影院座位的实际场景，考查对数量变化规律的梳理能力，解题时需要明确普通座位数和居中区域座位数的不同变化规则，找准等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
