登录
二、拓展性作业
4.【再现】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细的面条，如图3-3-15。
这样捏合到第六次后，拉面师傅将面（捏断两头）放入锅中煮好后盛入碗中，此时碗中有
【应用】若一张纸片厚0.1毫米，我们的住宅楼每层的高度约为2.8米，那么对折纸片20次后约有多少层住宅楼高？（结果取整数，参考数据：$2^{20}=1048576$）
【探究】将一张长方形的纸对折，如图3-3-16所示可得到一条折痕。继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行。连续对折n次后，用剪刀在中间将所有纸片剪断，总共有
4.【再现】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细的面条，如图3-3-15。
这样捏合到第六次后，拉面师傅将面（捏断两头）放入锅中煮好后盛入碗中，此时碗中有
64
根面条。【应用】若一张纸片厚0.1毫米，我们的住宅楼每层的高度约为2.8米，那么对折纸片20次后约有多少层住宅楼高？（结果取整数，参考数据：$2^{20}=1048576$）
【探究】将一张长方形的纸对折，如图3-3-16所示可得到一条折痕。继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行。连续对折n次后，用剪刀在中间将所有纸片剪断，总共有
$(2^n+1)$
张纸片。答案
解:【再现】64
解析:$2^6=64$(根)。
【应用】对折20次后纸片的厚度为$2^{20}×0.1=104 857.6$(毫米)=104.857 6(米)，
因为104.857 6÷2.8≈37，
所以对折20次后约有37层住宅楼高。
【探究】$(2^n+1)$ 解析:因为折叠1次有2层纸片，当用剪刀在中间将所有纸片剪断时，会有3张纸片，即$(2+1)$张纸片；
折叠2次有4层纸片，当用剪刀在中间将所有纸片剪断时，会有5张纸片，即$(2^2+1)$张纸片；
折叠3次有8层纸片，当用剪刀在中间将所有纸片剪断时，会有9张纸片，即$(2^3+1)$张纸片；
……
所以折叠n次总共有$2^n$层纸片，当用剪刀在中间将所有纸片剪断时，会有$(2^n+1)$张纸片。
解析:$2^6=64$(根)。
【应用】对折20次后纸片的厚度为$2^{20}×0.1=104 857.6$(毫米)=104.857 6(米)，
因为104.857 6÷2.8≈37，
所以对折20次后约有37层住宅楼高。
【探究】$(2^n+1)$ 解析:因为折叠1次有2层纸片，当用剪刀在中间将所有纸片剪断时，会有3张纸片，即$(2+1)$张纸片；
折叠2次有4层纸片，当用剪刀在中间将所有纸片剪断时，会有5张纸片，即$(2^2+1)$张纸片；
折叠3次有8层纸片，当用剪刀在中间将所有纸片剪断时，会有9张纸片，即$(2^3+1)$张纸片；
……
所以折叠n次总共有$2^n$层纸片，当用剪刀在中间将所有纸片剪断时，会有$(2^n+1)$张纸片。
解析
【分析】
本题三个模块均围绕乘方的应用展开：1.【再现】模块：捏合拉面时每拉伸1次面条数量翻倍，属于典型的乘方应用场景，第n次捏合后的面条数为$2^n$，代入n=6即可求解。2.【应用】模块：纸片每对折1次厚度翻倍，对折20次后的厚度为初始厚度乘$2^{20}$，先统一长度单位，再用总厚度除以每层楼高度，结果取整数即可。3.【探究】模块：采用从特殊到一般的归纳思路，先计算对折1次、2次、3次剪断后的纸片数量，寻找结果和对折次数的共性规律，再推广到对折n次的通用表达式。
【解析】
【再现】
每次捏合后面条数量变为原来的2倍，因此第6次捏合后的面条数量为：
$2^6=64$（根）
【应用】
对折20次后纸片的总厚度：
$2^{20} × 0.1 = 1048576 × 0.1 = 104857.6$（毫米）
换算单位：$104857.6$毫米$=104.8576$米
对应楼层数：
$104.8576 ÷ 2.8 \approx 37$（层）
【探究】
通过少量次数验证规律：
对折1次：共$2^1=2$层，剪断后得$3=2^1+1$张纸片；
对折2次：共$2^2=4$层，剪断后得$5=2^2+1$张纸片；
对折3次：共$2^3=8$层，剪断后得$9=2^3+1$张纸片；
归纳可得：对折n次共有$2^n$层，剪断后总共有$(2^n+1)$张纸片。
【答案】
【再现】$\boldsymbol{64}$；【应用】$\boldsymbol{37}$层；【探究】$\boldsymbol{2^n+1}$
【知识点】
1. 乘方的实际应用 2. 归纳推理 3. 长度单位换算
【点评】
本题结合拉面、折纸等生活化场景设计问题，既体现了数学和生活的紧密联系，又通过规律探究锻炼了学生从特殊到一般的逻辑思维能力，能够有效提升学生运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
本题三个模块均围绕乘方的应用展开：1.【再现】模块：捏合拉面时每拉伸1次面条数量翻倍，属于典型的乘方应用场景，第n次捏合后的面条数为$2^n$，代入n=6即可求解。2.【应用】模块：纸片每对折1次厚度翻倍，对折20次后的厚度为初始厚度乘$2^{20}$，先统一长度单位，再用总厚度除以每层楼高度，结果取整数即可。3.【探究】模块：采用从特殊到一般的归纳思路，先计算对折1次、2次、3次剪断后的纸片数量，寻找结果和对折次数的共性规律，再推广到对折n次的通用表达式。
【解析】
【再现】
每次捏合后面条数量变为原来的2倍，因此第6次捏合后的面条数量为：
$2^6=64$（根）
【应用】
对折20次后纸片的总厚度：
$2^{20} × 0.1 = 1048576 × 0.1 = 104857.6$（毫米）
换算单位：$104857.6$毫米$=104.8576$米
对应楼层数：
$104.8576 ÷ 2.8 \approx 37$（层）
【探究】
通过少量次数验证规律：
对折1次：共$2^1=2$层，剪断后得$3=2^1+1$张纸片；
对折2次：共$2^2=4$层，剪断后得$5=2^2+1$张纸片；
对折3次：共$2^3=8$层，剪断后得$9=2^3+1$张纸片；
归纳可得：对折n次共有$2^n$层，剪断后总共有$(2^n+1)$张纸片。
【答案】
【再现】$\boldsymbol{64}$；【应用】$\boldsymbol{37}$层；【探究】$\boldsymbol{2^n+1}$
【知识点】
1. 乘方的实际应用 2. 归纳推理 3. 长度单位换算
【点评】
本题结合拉面、折纸等生活化场景设计问题，既体现了数学和生活的紧密联系，又通过规律探究锻炼了学生从特殊到一般的逻辑思维能力，能够有效提升学生运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
5. 观察下列各式：
$2^2 - 2^1 = 2 = 2^1$，
$2^3 - 2^2 = 4 = 2^2$，
$2^4 - 2^3 = 8 = 2^3$，
……
(1)仔细观察：$2^{2024} - 2^{2023} =$
(2)探究规律：
根据以上观察、计算，你能发现什么规律？
试写出第$n$个等式，并说明第$n$个等式成立的理由。
(3)实践应用：
计算：$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$。
(4)深度思考：
计算：$3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024}$。
$2^2 - 2^1 = 2 = 2^1$，
$2^3 - 2^2 = 4 = 2^2$，
$2^4 - 2^3 = 8 = 2^3$，
……
(1)仔细观察：$2^{2024} - 2^{2023} =$
$2^{2023}$
。(2)探究规律：
根据以上观察、计算，你能发现什么规律？
试写出第$n$个等式，并说明第$n$个等式成立的理由。
(3)实践应用：
计算：$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$。
(4)深度思考：
计算：$3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024}$。
答案
解:(1)$2^{2023}$
解析:根据观察前3个等式，可知$2^{2024}-2^{2023}=2^{2023}$。
(2)观察上述等式，可得规律：
第n个等式为$2^{n+1}-2^n=2^n$。
理由:等式左边=$2^n·2-2^n=(2-1)2^n=2^n$，
所以等式左边=等式右边=$2^n$，
所以$2^{n+1}-2^n=2^n$成立。
(3)因为$2^2-2=2,2^3-2^2=2^2,2^4-2^3=2^3,…,2^{101}-2^{100}=2^{100}$，
所以$2+2^2+2^3+…+2^{100}$
$=(2^2-2)+(2^3-2^2)+(2^4-2^3)+…+(2^{101}-2^{100})=2^{101}-2$。
(4)因为$\frac{3^2-3}{2}=3,\frac{3^3-3^2}{2}=3^2,\frac{3^4-3^3}{2}=3^3,…,\frac{3^{2025}-3^{2024}}{2}=3^{2024}$，
所以$3+3^2+3^3+…+3^{2024}$
$=\frac{3^2-3}{2}+\frac{3^3-3^2}{2}+\frac{3^4-3^3}{2}+…+\frac{3^{2025}-3^{2024}}{2}$
$=\frac{3^{2025}-3}{2}$。
解析:根据观察前3个等式，可知$2^{2024}-2^{2023}=2^{2023}$。
(2)观察上述等式，可得规律：
第n个等式为$2^{n+1}-2^n=2^n$。
理由:等式左边=$2^n·2-2^n=(2-1)2^n=2^n$，
所以等式左边=等式右边=$2^n$，
所以$2^{n+1}-2^n=2^n$成立。
(3)因为$2^2-2=2,2^3-2^2=2^2,2^4-2^3=2^3,…,2^{101}-2^{100}=2^{100}$，
所以$2+2^2+2^3+…+2^{100}$
$=(2^2-2)+(2^3-2^2)+(2^4-2^3)+…+(2^{101}-2^{100})=2^{101}-2$。
(4)因为$\frac{3^2-3}{2}=3,\frac{3^3-3^2}{2}=3^2,\frac{3^4-3^3}{2}=3^3,…,\frac{3^{2025}-3^{2024}}{2}=3^{2024}$，
所以$3+3^2+3^3+…+3^{2024}$
$=\frac{3^2-3}{2}+\frac{3^3-3^2}{2}+\frac{3^4-3^3}{2}+…+\frac{3^{2025}-3^{2024}}{2}$
$=\frac{3^{2025}-3}{2}$。
解析
【分析】
(1)观察给出的前3个等式，可发现规律：相邻两个正整数次幂的2相减（指数大的减小的），结果等于指数较小的那个2的幂，直接套用规律即可求出结果。
(2)根据前几个等式的指数变化规律，归纳出第n个等式，再对左边提取公因式$2^n$，化简后即可验证等式成立。
(3)利用前面得到的规律，把每一项$2^k$改写成$2^{k+1}-2^k$的形式，代入原式后中间的项会相互抵消，只剩首尾两项，即可快速求出和。
(4)类比第(3)问的方法，先推导3的幂的拆分规律：$3^n=\frac{3^{n+1}-3^n}{2}$，再把每一项按这个规律拆分，代入后中间项抵消，整理即可得到结果。
【解析】
(1)根据给出的等式规律：$2^{k+1}-2^k=2^k$，令$k=2023$，可得$2^{2024}-2^{2023}=2^{2023}$。
(2)第$n$个等式为：$2^{n+1}-2^n=2^n$（$n$为正整数）。
理由：等式左边提取公因式$2^n$，得$2^n×2 - 2^n=2^n×(2-1)=2^n$，和等式右边相等，因此等式成立。
(3)根据上述规律可得：$2=2^2-2$，$2^2=2^3-2^2$，$2^3=2^4-2^3$，……，$2^{100}=2^{101}-2^{100}$。
将上述式子代入原式：
$2+2^2+2^3+\dots+2^{100}$
$=(2^2-2)+(2^3-2^2)+(2^4-2^3)+\dots+(2^{101}-2^{100})$
去括号后中间项两两抵消，剩下$-2+2^{101}$，即结果为$2^{101}-2$。
(4)先推导3的幂的拆分规律：$3^{n+1}-3^n=3×3^n - 3^n=2×3^n$，因此$3^n=\frac{3^{n+1}-3^n}{2}$。
则$3=\frac{3^2-3}{2}$，$3^2=\frac{3^3-3^2}{2}$，$3^3=\frac{3^4-3^3}{2}$，……，$3^{2024}=\frac{3^{2025}-3^{2024}}{2}$。
代入原式：
$3+3^2+3^3+\dots+3^{2024}$
$=\frac{3^2-3}{2}+\frac{3^3-3^2}{2}+\frac{3^4-3^3}{2}+\dots+\frac{3^{2025}-3^{2024}}{2}$
提取公因式$\frac{1}{2}$后，括号内中间项两两抵消，剩下$3^{2025}-3$，因此结果为$\frac{3^{2025}-3}{2}$。
【答案】
(1)$2^{2023}$
(2)第$n$个等式为$2^{n+1}-2^n=2^n$（$n$为正整数），理由见解析；
(3)$2^{101}-2$；
(4)$\frac{3^{2025}-3}{2}$
【知识点】
乘方运算性质，规律归纳探究，裂项相消求和
【点评】
本题以乘方运算为载体，引导学生从特殊实例出发归纳普遍规律，再迁移规律解决同类求和问题，侧重考察观察归纳能力和知识迁移应用能力，掌握提公因式化简、裂项抵消的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1)观察给出的前3个等式，可发现规律：相邻两个正整数次幂的2相减（指数大的减小的），结果等于指数较小的那个2的幂，直接套用规律即可求出结果。
(2)根据前几个等式的指数变化规律，归纳出第n个等式，再对左边提取公因式$2^n$，化简后即可验证等式成立。
(3)利用前面得到的规律，把每一项$2^k$改写成$2^{k+1}-2^k$的形式，代入原式后中间的项会相互抵消，只剩首尾两项，即可快速求出和。
(4)类比第(3)问的方法，先推导3的幂的拆分规律：$3^n=\frac{3^{n+1}-3^n}{2}$，再把每一项按这个规律拆分，代入后中间项抵消，整理即可得到结果。
【解析】
(1)根据给出的等式规律：$2^{k+1}-2^k=2^k$，令$k=2023$，可得$2^{2024}-2^{2023}=2^{2023}$。
(2)第$n$个等式为：$2^{n+1}-2^n=2^n$（$n$为正整数）。
理由：等式左边提取公因式$2^n$，得$2^n×2 - 2^n=2^n×(2-1)=2^n$，和等式右边相等，因此等式成立。
(3)根据上述规律可得：$2=2^2-2$，$2^2=2^3-2^2$，$2^3=2^4-2^3$，……，$2^{100}=2^{101}-2^{100}$。
将上述式子代入原式：
$2+2^2+2^3+\dots+2^{100}$
$=(2^2-2)+(2^3-2^2)+(2^4-2^3)+\dots+(2^{101}-2^{100})$
去括号后中间项两两抵消，剩下$-2+2^{101}$，即结果为$2^{101}-2$。
(4)先推导3的幂的拆分规律：$3^{n+1}-3^n=3×3^n - 3^n=2×3^n$，因此$3^n=\frac{3^{n+1}-3^n}{2}$。
则$3=\frac{3^2-3}{2}$，$3^2=\frac{3^3-3^2}{2}$，$3^3=\frac{3^4-3^3}{2}$，……，$3^{2024}=\frac{3^{2025}-3^{2024}}{2}$。
代入原式：
$3+3^2+3^3+\dots+3^{2024}$
$=\frac{3^2-3}{2}+\frac{3^3-3^2}{2}+\frac{3^4-3^3}{2}+\dots+\frac{3^{2025}-3^{2024}}{2}$
提取公因式$\frac{1}{2}$后，括号内中间项两两抵消，剩下$3^{2025}-3$，因此结果为$\frac{3^{2025}-3}{2}$。
【答案】
(1)$2^{2023}$
(2)第$n$个等式为$2^{n+1}-2^n=2^n$（$n$为正整数），理由见解析；
(3)$2^{101}-2$；
(4)$\frac{3^{2025}-3}{2}$
【知识点】
乘方运算性质，规律归纳探究，裂项相消求和
【点评】
本题以乘方运算为载体，引导学生从特殊实例出发归纳普遍规律，再迁移规律解决同类求和问题，侧重考察观察归纳能力和知识迁移应用能力，掌握提公因式化简、裂项抵消的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
