1. 已知$2=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32$，$2^6=64,2^7=128,2^8=256$，则$2^{2024}$的末位数字是（）。

A.2
B.4
C.8
D.6

1.D

【分析】
要确定$2^{2024}$的末位数字，首先观察给出的$2^n$的末位数字规律：可以发现末位数字按照2、4、8、6的顺序重复出现，也就是每4个为一个循环周期。接下来只需要计算2024里包含多少个完整的周期，根据余数就能判断对应的末位数字：如果余数是1，对应末位2；余数2对应4；余数3对应8；没有余数（整除）对应6。
【解析】
观察已知条件可得，$2^n$的末位数字按2、4、8、6的顺序循环，循环周期为4。
计算$2024÷4=506$，结果没有余数，说明$2^{2024}$的末位数字是循环组的最后一个数字。
循环组2、4、8、6的最后一个数字是6，因此$2^{2024}$的末位数字是6。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方；规律探究；周期问题
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是通过已知条件找到末位数字的循环周期，再结合除法运算的余数判断结果，这类题型的解题思路通用性较强，掌握后可解决同类型的幂次末位判断问题。
【难度系数】
0.8

2. $\frac{\overbrace{2 × 2 × \dots × 2}^{m个2}}{\underbrace{3 + 3 + \dots + 3}_{n个3}} = (\quad)$。

A.$\frac{2^m}{3n}$
B.$\frac{2^m}{3^n}$
C.$\frac{2m}{3^n}$
D.$\frac{2m}{3n}$

2.A

【分析】
解题时分别化简分子、分母再组合即可。首先回忆乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算叫乘方，据此化简分子部分；再回忆乘法的意义：求几个相同加数和的简便运算叫乘法，据此化简分母部分，最后将化简后的分子分母组合成分式，匹配对应选项即可。
【解析】
1. 化简分子：m个2相乘，根据乘方的定义，可表示为$2^m$；
2. 化简分母：n个3相加，根据乘法的意义，可表示为$3× n=3n$；
3. 组合得原式为$\frac{2^m}{3n}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘方的意义；乘法的意义
【点评】
本题是基础概念题，核心考查“几个相同数相乘”和“几个相同数相加”的表达区别，做题时注意不要混淆加法运算和乘方运算即可。
【难度系数】
0.8

3. 测得一种树苗的高度与树苗生长的年数有关的数据如表3-3-1所示(树苗原高100 cm)：
表3-3-1

假设以后每年树苗的高度的变化规律与表中相同,请用含n(n为正整数)的代数式表示生长了n年的树苗的高度： cm。

3.(100+5n)

【分析】
要推导生长n年的树苗高度，先观察表格中数据的对应规律：树苗初始高度为100cm，生长1年高度增加5×1 cm，生长2年高度增加5×2 cm，生长3年高度增加5×3 cm，可见每年固定长高5cm，因此生长n年时累计长高5n cm，叠加初始高度即可得到总高度。
【解析】
观察表格中的对应关系：
当生长年数n=1时，树苗高度=100+5×1；
当生长年数n=2时，树苗高度=100+5×2；
当生长年数n=3时，树苗高度=100+5×3；
当生长年数n=4时，树苗高度=100+5×4；
以此类推，生长n年时，树苗累计增长的高度为5n cm，结合初始高度100cm，可得生长n年的树苗高度为(100+5n) cm。
【答案】
(100+5n)
【知识点】
用字母表示数，规律探究，列代数式
【点评】
本题是代数式应用的基础题型，核心是通过观察已有数据找到固定变化规律，明确初始值和单位时间的增长量，就能快速列出对应代数式。
【难度系数】
0.9

4. 对于正数$x$规定$f(x)=\frac{1}{1+x}$，例如：$f(3)=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$，$f(\frac{1}{5})=\frac{1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{5}{6}$，则$f(2023)+f(2022)+\dots +f(2)+f(1)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\dots +f(\frac{1}{2022})+f(\frac{1}{2023})=\_\_\_\_\_\_$

4.$2022\frac{1}{2}$

【分析】
首先观察新定义运算的特点，先推导$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和的规律：将$f(x)$和$f(\frac{1}{x})$代入定义式相加，可发现二者之和为定值1；再观察所求式子的结构，除$f(1)$外，其余项均为$f(n)$与$f(\frac{1}{n})$成对出现，利用规律分组求和即可简化计算。
【解析】
首先计算$f(x)+f(\frac{1}{x})$：
$f(x)=\frac{1}{1+x}$，$f(\frac{1}{x})=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{x}{x+1}$
则$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{1+x}=\frac{1+x}{1+x}=1$
观察所求式子，可分组为：
$\underbrace{[f(2023)+f(\frac{1}{2023})]+[f(2022)+f(\frac{1}{2022})]+\dots+[f(2)+f(\frac{1}{2})]}_{共2022组} + f(1)$
每组和为1，共2022组，这部分和为$2022×1=2022$
再计算$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
因此总和为$2022+\frac{1}{2}=2022\frac{1}{2}$
【答案】
$2022\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算、分式加法、规律探究
【点评】
本题核心是通过计算发现$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和为定值1的规律，利用分组法将复杂的逐项求和转化为简单的定值相加，大幅降低运算量，解题时要注意不要漏掉单独的$f(1)$项。
【难度系数】
0.7

5. 乐乐设计了一个有趣的运算程序:任意写出一个三位数(三位数字相同的除外),重新排列各位数字,使其组成一个最大的数和一个最小的数,然后用最大的数减去最小的数,得到差,然后把差重复这个过程。以579开始,
按照此程序运算2024次后得到的数是。

5.495

【分析】
我们可以先按照给定的运算程序，从579开始依次计算前几次的运算结果，观察结果的变化规律：当运算到某一步得到固定不变的数时，后续所有运算的结果都会是这个固定数，无需计算到第2024次，直接利用规律就能得到答案。
【解析】
按照运算程序逐步计算：
第1次运算：数字5、7、9组成的最大数是975，最小数是579，差为 $975 - 579 = 396$；
第2次运算：数字3、9、6组成的最大数是963，最小数是369，差为 $963 - 369 = 594$；
第3次运算：数字5、9、4组成的最大数是954，最小数是459，差为 $954 - 459 = 495$；
第4次运算：数字4、9、5组成的最大数是954，最小数是459，差为 $954 - 459 = 495$；
可知从第3次运算开始，结果就固定为495，后续无论运算多少次，结果都保持495不变，因此运算2024次后得到的数是495。
【答案】
495
【知识点】
有理数减法运算；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过计算前几次的结果找到固定不变的“数字黑洞”，避免了重复计算大量次数，考察了学生的归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7

6. 嘉淇上小学时得知“一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。”她后来做了如图3-3-12所示的分析：

图3-3-12
(1)通过计算验证258能被3整除；
(2)用嘉淇的方法说明4 374能被3整除；
(3)设$\overline{abcd}$是一个四位数，$a,b,c,d$分别为对应数位上的数字，请说明若$a+b+c+d$能被3整除，则这个数也可以被3整除。

6. 解:(1)因为 $258÷3=86,86$ 为整数，所以258能被3整除。
(2)$4\ 374=4×1\ 000+3×100+7×10+4$
$=4×(999+1)+3×(99+1)+7×(9+1)+4$
$=4×999+4+3×99+3+7×9+7+4$
$=(4×999+3×99+7×9)+(4+3+7+4)$
$=3(4×333+3×33+7×3)+3×6$，
因为 $4×333+3×33+7×3$ 为整数，6 为整数，所以4 374能被3整除。
(3)$\overline{abcd}=1\ 000a+100b+10c+d=a\ (999+1)+b(99+1)+c(9+1)+d$
$=999a+a+99b+b+9c+c+d$
$=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$
$=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)$，
因为 $a,b,c,d$ 均为整数，所以 $333a+33b+3c$ 是整数，所以 $3(333a+33b+3c)$ 能被3整除，所以若 $a+b+c+d$ 能被3整除，则 $\overline{abcd}$ 也可以被3整除。

【分析】
(1) 第一问验证整除可直接用除法运算，若被除数除以除数的商为整数且无余数，即可证明被除数能被除数整除。
(2) 第二问模仿嘉淇的拆分思路，先将4374按数位拆为整千、整百、整十加个位的形式，再把整千、整百、整十分别写成999+1、99+1、9+1，利用乘法分配律展开后，将含9、99、999的项合并提取3作为公因数，剩余部分就是各数位数字之和，两部分都能被3整除即可证明原数能被3整除。
(3) 第三问是一般规律推导，对任意四位数采用和第二问相同的拆分变形方法，将四位数拆为3的倍数加数位数字和两部分，含9的倍数的项天然是3的倍数，因此只要数位和能被3整除，整个四位数就能被3整除。
【解析】
(1) 计算258除以3的结果：$258÷3=86$，86是整数，无余数，因此258能被3整除。
(2) 对4374按数位拆分变形：
$\begin{aligned}4374&=4×1000+3×100+7×10+4\\&=4×(999+1)+3×(99+1)+7×(9+1)+4\\&=4×999+4+3×99+3+7×9+7+4\\&=(4×999+3×99+7×9)+(4+3+7+4)\\&=3(4×333+3×33+7×3)+3×6\end{aligned}$
因为$4×333+3×33+7×3$为整数，6也为整数，所以$3(4×333+3×33+7×3)$和$3×6$都能被3整除，因此4374能被3整除。
(3) 对四位数$\overline{abcd}$变形：
$\begin{aligned}\overline{abcd}&=1000a+100b+10c+d\\&=a(999+1)+b(99+1)+c(9+1)+d\\&=999a+a+99b+b+9c+c+d\\&=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)\\&=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)\end{aligned}$
因为a、b、c、d均为整数，所以$333a+33b+3c$是整数，因此$3(333a+33b+3c)$能被3整除，若$a+b+c+d$能被3整除，则两部分的和$\overline{abcd}$也能被3整除。
【答案】
(1)因为 $258÷3=86,86$ 为整数，所以258能被3整除。
(2)$4\ 374=4×1\ 000+3×100+7×10+4$
$=4×(999+1)+3×(99+1)+7×(9+1)+4$
$=4×999+4+3×99+3+7×9+7+4$
$=(4×999+3×99+7×9)+(4+3+7+4)$
$=3(4×333+3×33+7×3)+3×6$，
因为 $4×333+3×33+7×3$ 为整数，6 为整数，所以4 374能被3整除。
(3)$\overline{abcd}=1\ 000a+100b+10c+d=a\ (999+1)+b(99+1)+c(9+1)+d$
$=999a+a+99b+b+9c+c+d$
$=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$
$=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)$，
因为 $a,b,c,d$ 均为整数，所以 $333a+33b+3c$ 是整数，所以 $3(333a+33b+3c)$ 能被3整除，所以若 $a+b+c+d$ 能被3整除，则 $\overline{abcd}$ 也可以被3整除。
【知识点】
整除的定义，乘法分配律，能被3整除的数的特征
【点评】
本题遵循从特殊到一般的推导逻辑，既帮助学生理解能被3整除的数的特征的本质原理，又锻炼了学生的类比迁移能力和代数推理能力，加深了对整式变形应用的理解。
【难度系数】
0.7

7. 观察下列等式：
$-1×\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2},$
$-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3},$
$-\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{4},$
……
(1)第4个等式是；
(2)请根据上面的规律计算：$(-1×\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})+\dots+(-\frac{1}{2023}×\frac{1}{2024})$。

7. 解:(1)$-\frac{1}{4}×\frac{1}{5}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$
(2)原式$=(-1+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\dots+(-\frac{1}{2\ 023}+\frac{1}{2\ 024})$
$=-1+\frac{1}{2\ 024}$
$=-\frac{2\ 023}{2\ 024}$。

【分析】
（1）先观察给出的3个等式，可发现规律：第n个等式左边为$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}$，右边为$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$（n为正整数），将n=4代入规律即可得到第4个等式。
（2）根据已发现的规律，把原式中每一个乘积项都拆成两个分数相加的形式，去括号后中间互为相反数的项会相互抵消，仅剩首项和末项，再计算最终结果即可。
【解析】
（1）观察等式规律：第1个等式对应n=1：$-1×\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}$；第2个等式对应n=2：$-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$；第3个等式对应n=3：$-\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，则第4个等式对应n=4，为$-\frac{1}{4}×\frac{1}{5}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$。
（2）根据规律将原式每一项拆分：
原式$=(-1+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\dots+(-\frac{1}{2023}+\frac{1}{2024})$
去括号后，中间的$\frac{1}{2}$与$-\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$与$-\frac{1}{3}$……$\frac{1}{2023}$与$-\frac{1}{2023}$两两抵消，仅剩：
$=-1+\frac{1}{2024}$
$=-\frac{2024}{2024}+\frac{1}{2024}$
$=-\frac{2023}{2024}$
【答案】
(1)$-\frac{1}{4}×\frac{1}{5}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$；(2)$-\frac{2023}{2024}$
【知识点】
数字规律探究；有理数混合运算；裂项相消法
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，需要从已知等式中提炼通用规律，再运用规律简化复杂运算，掌握抵消类运算的技巧能快速降低解题难度。
【难度系数】
0.7