教材母题:(教材第22页复习题第8题)如图,
在△ABC中,BE,CF是角平分线,且BE,CF
相交于点G.求证:
(1)∠BGC=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB);
(2)∠BGC=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

(1)
∵BE,CF分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠GBC+∠GCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB).
∴∠BGC=180°−(∠GBC+∠GCB).
∴∠BGC=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB).
(2)由(1)知∠BGC=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB),∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠BGC=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A).
∴∠BGC=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

1.如图,在$△ ABC$中,$P$是$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线的交点.
(1)若$∠ A=80°$,求$∠ BPC$的度数;
(2)有位同学在解答(1)后得出$∠ BPC=90°+\frac{1}{2}∠ A$的规律,你认为正确吗?请说明理由.

(1)解:
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC + ∠PCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−80°)=50°.
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−50°=130°.
(2)正确.理由如下:
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC + ∠PCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−$(90°-\frac{1}{2}∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$.

2.【一题多设问】如图，在$△ ABC$中，$BE$是$∠ ABC$的平分线，$CE$是外角$∠ ACM$的平分线，$BE$与$CE$相交于点$E$。
(1)若$∠ ABC=50°$，$∠ ACB=60°$，求$∠ E$的度数；
(2)若$∠ A=60°$，求$∠ E$的度数；
(3)根据(1)(2)的结论，请直接写出$∠ E$与$∠ A$之间的数量关系。

(1)解:
∵∠ACB=60°,
∴∠ACM=180°−∠ACB=120°.
∵BE是∠ABC的平分线,CE是外角∠ACM的平分线,
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=25°, ∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACM=60°.
∵∠ECM=∠EBC+∠E,
∴∠E=∠ECM−∠EBC=60°−25°=35°.
(2)
∵∠ACM=∠ABC+∠A,CE是外角∠ACM的平分线,
∴∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACM=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠A).又
∵∠ECM=∠EBC+∠E,BE是∠ABC的平分线,
∴∠E = ∠ECM − ∠EBC = $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠A) − $\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A=30°.
(3)∠E=$\frac{1}{2}$∠A.