25.「2026山东济宁任城模拟，★★☆」(10分)如图，直线$y=2x+3$与y轴交于点A，与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点B，过点B作$BC⊥x$轴于点C，且点C的坐标为(1,0)。
(1)求反比例函数的解析式。
(2)当$x＞0$时，若$\frac{k}{x}＞2x+3$，求x的取值范围。
(3)点$D(a,1)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得$PB+PD$的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

(1)对于 $y=2x+3$,当 $x=1$ 时,$y=2+3=5$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(1,5)$.$\because$ 点 $B(1,5)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,
$\therefore k=1×5=5$,$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{5}{x}$. … (3 分)
(2)由图象知,当 $x＞0$,$\dfrac{k}{x}＞2x+3$ 时,$x$ 的取值范围为 $0＜x＜1$.
…………………… (5 分)
(3)存在点 $P$,使得 $PB+PD$ 的值最小. ……………… (6 分)
如图,作点 $D$ 关于 $x$ 轴的对称点 $D'$,连接 $BD'$ 交 $x$ 轴于点 $P$,连接 $PD$,

$\therefore PD'=PD$,$\therefore PB+PD=PB+PD'=BD'$,
$\therefore PB+PD$ 的最小值为 $BD'$ 的长.
将 $(a,1)$ 代入 $y=\dfrac{5}{x}$,得 $a=5$,$\therefore D(5,1)$,
$\therefore D'(5,-1)$. ……………… (7 分)
设直线 $BD'$ 的解析式为 $y=ax+b(a≠0)$,
$\therefore \begin{cases}a+b=5,\\5a+b=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\dfrac{3}{2},\\b=\dfrac{13}{2},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $BD'$ 的解析式为 $y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}$, ……………… (9 分)
令 $y=0$,则 $-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}=0$,解得 $x=\dfrac{13}{3}$,
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(\dfrac{13}{3},0)$. ……………… (10 分)