26.「2026重庆铜梁期中，★★★」(12分)如图,已知直线$y=\frac{4}{3}x+4$与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线经过A,C两点,且与x轴的另一个公共点为B,对称轴为直线$x=-1$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点D是第二象限内抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值及此时点D的坐标.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使以点B,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)当 $x=0$ 时,$y=\dfrac{4}{3}x+4=4$,$\therefore C(0,4)$,
当 $y=0$ 时,$\dfrac{4}{3}x+4=0$,解得 $x=-3$,$\therefore A(-3,0)$.
$\because$ 抛物线对称轴为直线 $x=-1$,$\therefore B(1,0)$,
$\therefore$ 设抛物线的解析式为 $y=a(x-1)(x+3)(a≠0)$,$\therefore 4=-3a$,
$\therefore a=-\dfrac{4}{3}$,$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\dfrac{4}{3}(x-1)(x+3)=-\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{8}{3}x+4$. …………………… (3 分)
(2)$\because A(-3,0)$,$B(1,0)$,$C(0,4)$,
$\therefore OA=3$,$OB=1$,$OC=4$,$AB=4$.
如图,过 $D$ 点作 $DF⊥ AB$ 于点 $F$,交 $AC$ 于点 $E$,

设 $D(m,-\dfrac{4}{3}m^2-\dfrac{8}{3}m+4)$,则 $E(m,\dfrac{4}{3}m+4)$,
$\therefore DE=-\dfrac{4}{3}m^2-\dfrac{8}{3}m+4-(\dfrac{4}{3}m+4)=-\dfrac{4}{3}m^2-4m$,
$\therefore S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}DE· OA=\dfrac{3}{2}(-\dfrac{4}{3}m^2-4m)=-2m^2-6m$,
$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· OC=\dfrac{1}{2}×4×4=8$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=-2m^2-6m+8=-2(m+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{25}{2}$, …… (5 分)
$\therefore$ 当 $m=-\dfrac{3}{2}$ 时,$S_{\mathrm{四边形}ABCD}$ 取最大值 $\dfrac{25}{2}$,
此时 $-\dfrac{4}{3}m^2-\dfrac{8}{3}m+4=5$,$\therefore D(-\dfrac{3}{2},5)$. ……………… (7 分)
(3)存在点 $P$,使以点 $B$,$C$,$P$ 为顶点的三角形是等腰三角形,点 $P$ 的坐标为 $(-1,0)$ 或 $(-1,\sqrt{13})$ 或 $(-1,-\sqrt{13})$ 或 $(-1,\dfrac{13}{8})$. ……………… (12 分)
提示:①如图 1,当点 $P$ 在抛物线对称轴与 $x$ 轴的交点处时,连接 $CP$,此时 $P(-1,0)$,点 $P$ 与点 $B$ 关于 $y$ 轴对称,
$\therefore PC=BC$,$\therefore △ PBC$ 是等腰三角形.

②如图 1,延长 $BC$ 交直线 $x=-1$ 于点 $P'$,$\because ∠ P'PB=90°$,
$\therefore ∠ CP'P+∠ CBP=90°$,$∠ CPP'+∠ CPB=90°$,$\because PC=BC$,
$\therefore ∠ CBP=∠ CPB$,$\therefore ∠ CP'P=∠ CPP'$,$\therefore CP'=CP=CB$,
$\because B$,$C$,$P'$ 三点在同一条直线上,$\therefore$ 不存在以 $B$,$C$,$P'$ 三点为顶点的等腰三角形.
设点 $P$ 的坐标为 $(-1,r)$,③如图 2,当 $BP=BC$ 时,$BP^2=BC^2$,$\therefore (1+1)^2+r^2=1^2+4^2$,解得 $r_1=\sqrt{13}$,$r_2=-\sqrt{13}$,
$\therefore P_1(-1,\sqrt{13})$,$P_2(-1,-\sqrt{13})$.

④如图 2,当 $BP=PC$ 时,$BP^2=PC^2$,
$\therefore (1+1)^2+r^2=1^2+(4-r)^2$,解得 $r=\dfrac{13}{8}$,$\therefore P_3(-1,\dfrac{13}{8})$.
综上所述,点 $P$ 的坐标为 $(-1,0)$ 或 $(-1,\sqrt{13})$ 或 $(-1,-\sqrt{13})$ 或 $(-1,\dfrac{13}{8})$.