3. 如图，长方形纸板的长为 10 cm，宽为 6 cm，四角割去边长为 x cm 的小正方形后折叠形成一个无盖长方体.该长方体的体积是多少？（用含 x 的代数式表示）

解：
由题意可知，折叠后无盖长方体的高为$x\ \mathrm{cm}$，
底面长方形的长为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$，底面长方形的宽为$(6-2x)\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式，可得该长方体的体积为$x(10-2x)(6-2x)\ \mathrm{cm}^3$。
答：该长方体的体积是$x(10-2x)(6-2x)$立方厘米。

4. 如图是由若干圆圈组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个端点)有$n(n＞1)$个圆圈,每个图案圆圈的总数是$S$,按此规律,推断$S$与$n$之间的表达式.
分析甲、乙、丙三名学生的思考过程和结果是否正确.
甲: 考虑到三角形3条边上的圆圈个数都是$n$个,所以共有圆圈总数为$S=3n$(个).
乙: 考虑三角形3条边上的圆圈个数,第1条边有$n$个,第2条、第3条边都有$(n-1)$个,所以共有圆圈总数为$S=n+n-1+n-1=3n-2$(个).
丙: 当$n=2$时,$S=3×(2−1)$;当$n=3$时,$S=3×(3−1)$;当$n=4$时,$S=3×(4−1)$.由此推断第$n$个图案圆圈总数为$S=3(n−1)$(个).

解：
分别代入已知数值验证三名学生的结论：
1. 验证甲的结果：
当$n=2$时，按甲的表达式得$S=3n=6$，与实际$S=3$不符。甲没有扣除三角形三个顶点处被重复计算的3个圆圈，因此甲的思考过程和结果均错误。
2. 验证乙的结果：
当$n=2$时，按乙的表达式得$S=3n-2=4$，与实际$S=3$不符。乙计算第三条边的圆圈数时，未扣除它与第一条边共有的端点圆圈，多统计了1个圆圈，因此乙的思考过程和结果均错误。
3. 验证丙的结果：
当$n=2$时，$S=3×(2-1)=3$；当$n=3$时，$S=3×(3-1)=6$；当$n=4$时，$S=3×(4-1)=9$，均与图中实际圆圈总数一致，符合规律。因此丙的思考过程和结果均正确。
最终$S$与$n$之间的表达式为：$\boldsymbol{S=3(n-1)}$（或$S=3n-3$，$n＞1$且$n$为整数）。

5. 观察下列式子：
① $1=1^2$，
② $1+3=2^2$，
③ $1+3+5=3^2$，
…
探索以上式子的规律，解决下列问题：
（1）$1+3+5+\dots+17=(\_\_\_\_\_\_)^2$；
（2）写出第$n$个等式；
（3）利用（2）中的等式，计算$19+21+23+\dots+99$。

解：
（1）从1开始的连续奇数的和等于相加的奇数个数的平方，
17是第$\frac{17+1}{2}=9$个奇数，
所以$1+3+5+\dots+17=9^2$，答案为$\boldsymbol{9}$。
（2）第$n$个等式为：
$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$
（3）$19+21+23+\dots+99$
$=(1+3+5+\dots+99)-(1+3+5+\dots+17)$
$=50^2 - 9^2$
$=2500 - 81$
$=2419$

6. 在数学活动课上，老师拿出如图所示的两个单位长度不同的数轴 A 和数轴 B 模型，当两个数轴的原点对齐时，数轴 A 上表示 2 的点与数轴 B 上表示 3 的点恰好对齐.数轴 A 上表示数 x 的点与数轴 B 上表示哪个数的点对齐？

（第 6 题）

解：
两个数轴原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点到原点的距离相等，
说明数轴A上的2个单位长度对应数轴B上的3个单位长度，
因此数轴A上的1个单位长度对应数轴B上的$\frac{3}{2}$个单位长度，
则数轴A上表示数$x$的点，对应数轴B上的数为$\frac{3}{2}x$。
答：数轴A上表示数$x$的点与数轴B上表示$\frac{3}{2}x$的点对齐。