1. 新定义 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作“偏等积三角形”.
【初步尝试】
(1)如图①,$△ ABD$与$△ ACD$是偏等积三角形,$AB=2,AC=6$,且线段$AD$的长度为正整数,则$AD$的长度为;
【理解探究】
(2)如图②,已知$△ ABC$为直角三角形,$∠ ACB=90°$,分别以$AB,AC$为边向外作正方形$ABDE$,正方形$ACFG$,连结$EG$.求证:$△ ABC$与$△ AEG$为偏等积三角形;
(3)如图③,将$△ ABC$分别以$AB,BC,AC$为边向外作正方形$ABDE$,正方形$BCFG$,正方形$ACMN$,连结$DG,FM,NE$,则图中有组偏等积三角形;
【综合运用】
(4)如图④,四边形$ABED$是一片绿色花园,$△ ACB$、$△ DCE$是等腰直角三角形,$∠ ACB=∠ DCE=90°(0°＜∠ BCE＜90°)$,已知$BE=60\ \mathrm{m}$,$△ ACD$的面积为$2\ 100\ \mathrm{m}^2$.计划修建一条经过点$C$的笔直的小路$CF$,点$F$在$BE$边上,$FC$的延长线经过$AD$的中点$G$.若小路每米造价$600$元,请计算修建小路的总造价.

1.(1)3 解析:
∵ △ABD 与△ACD 是偏等积三角形,且△ABD与△ACD 在 BC 边上的高相等,
∴ BD=CD.过点 C 作CE//AB交AD的延长线于点E,,
∴ ∠E=∠BAD.在△ECD和△ABD中,$\begin{cases} ∠E=∠BAD, \\ ∠EDC=∠ADB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ECD≌△ABD(AAS),
∴ ED=AD,EC=AB=2.
∵ AC-EC＜AE＜AC+EC,且 AC=6,AE=2AD,
∴ 6-2＜2AD＜6+2,
∴ 4＜2AD＜8,
∴ 2＜AD＜4.
∵ 线段 AD 的长度为正整数,
∴ AD=3.
(2)作 EH ⊥ AG,交 GA 的延长线于点 H,.
∵ 四边形ABDE 是正方形,
∴ AB=AE,∠BAE=90°.
∵ 四边形 ACFG 是正方形,
∴ AC=AG,∠CAG=90°,
∴ ∠CAH=90°,
∴ ∠BAC = ∠EAH=90°-∠BAH.在△ABC 和△AEH 中,$\begin{cases} ∠ACB=∠H, \\ ∠CAB=∠HAE, \\ AB=AE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△AEH(AAS),
∴ HE=BC.
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC · BC$,$S_{△AGE}=\frac{1}{2}EH · AG$,
∴ $S_{△ABC}=S_{△AGE}$,
∴ △ABC与△AEG为偏等积三角形.
(3)6 解析:延长 NA 到点 H,使得 AH=AN,连结 EH,,
∴ $S_{△AEN}=S_{△AEH}$.
∵ 四边形ABDE,四边形 ACMN 是正方形,
∴ AB = AE,AN=AC,∠BAE=∠CAN=90°,
∴ AN=AC=AH,∠CAH = 90°.
∵ ∠EAH + ∠HAB = ∠BAC + ∠HAB=90°,
∴ ∠EAH=∠BAC. 在△AEH 和△ABC 中,$\begin{cases} AE=AB, \\ ∠EAH=∠BAC, \\ AH=AC, \end{cases}$
∴ △AEH≌△ABC(SAS),
∴ $S_{△AEH}=S_{△ABC}$,
∴ $S_{△AEN}=S_{△AEH}=S_{△ABC}$,
∴ △AEN与△ABC是偏等积三角形.同理可得$S_{△CMF}=S_{△AEN}=S_{△ABC}=S_{△BDG}$,
∴ 偏等积三角形有△ABC与△CMF,△AEN与△ABC,△BDG与△ABC,△AEN与△CMF,△BDG与△CMF,△BDG与△AEN,
∴ 共有6组.
(4)由(3)同理得$S_{△ACD}=S_{△BCE}$,,过点 A作 AM//CD,交 CG 的延长线于点 M,
∴ ∠M=∠DCG.
∵ 点 G 为 AD 的中点,
∴ DG=AG. 在△AGM 和△DGC 中,$\begin{cases} ∠M=∠DCG, \\ ∠AGM=∠DGC, \\ AG=DG, \end{cases}$
∴ △AGM≌△DGC(AAS),
∴ AM = CD = CE.
∵ AM//CD,
∴ ∠MAC+∠DCA=180°.
∵ ∠ACD+∠BCE=180°,
∴ ∠MAC = ∠BCE. 在△MAC 和△ECB 中,$\begin{cases} MA=EC, \\ ∠MAC=∠ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$
∴ △MAC≌△ECB(SAS),
∴ ∠ACM=∠CBF.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACM+∠BCF=90°,
∴ ∠BCF+∠CBE = 90°,
∴ ∠CFB = 90°,即 CF⊥BE.
∵ $S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BE×CF=2100\ \mathrm{m}^2$,$BE=60\ \mathrm{m}$,
∴ $CF=\frac{2×2100}{60}=70(\mathrm{m})$,
∴ 70×600=42000(元).
答:修建小路的总造价为42 000元.