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15.已知抛物线$y=(x-1)^2+2$.
(1)写出该抛物线的顶点C的坐标；
(2)求把抛物线$y=(x-1)^2+2$绕原点旋转$180°$后的抛物线的解析式；
(3)若抛物线$y=(x-1)^2+2$的图象与y轴交于点A，(2)中旋转后的新图象的顶点为D，与y轴的交点为B，求四边形ACBD的面积.
(1)写出该抛物线的顶点C的坐标；
(2)求把抛物线$y=(x-1)^2+2$绕原点旋转$180°$后的抛物线的解析式；
(3)若抛物线$y=(x-1)^2+2$的图象与y轴交于点A，(2)中旋转后的新图象的顶点为D，与y轴的交点为B，求四边形ACBD的面积.
答案
解：
(1) 抛物线$y=(x-1)^2+2$为顶点式，可得顶点$C$的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$。
(2) 点$C(1,2)$绕原点旋转$180°$后，对应顶点$D$的坐标为$(-1,-2)$，
旋转$180°$后抛物线开口方向相反，二次项系数为$-1$，
因此旋转后的抛物线解析式为$y=-(x+1)^2-2$。
(3) 令$x=0$，代入原抛物线解析式$y=(x-1)^2+2$，得$y=3$，即$A(0,3)$。
令$x=0$，代入旋转后的抛物线解析式$y=-(x+1)^2-2$，得$y=-3$，即$B(0,-3)$。
由(2)得顶点$D(-1,-2)$，线段$AB$在$y$轴上，$AB=|3-(-3)|=6$。
将四边形$ACBD$拆分为$△ ABC$和$△ ABD$，两三角形公共底为$AB$，点$C$、$D$到$y$轴的距离分别为$|x_C|=1$、$|x_D|=1$：
$\begin{aligned}S_{ACBD}&=S_{△ ABC}+S_{△ ABD}\\&=\frac{1}{2}· AB· |x_C| + \frac{1}{2}· AB· |x_D|\\&=\frac{1}{2}×6×1 + \frac{1}{2}×6×1\\&=6\end{aligned}$
综上，(1) $C(1,2)$；(2) 旋转后解析式为$y=-(x+1)^2-2$；(3) 四边形$ACBD$的面积为$6$。
(1) 抛物线$y=(x-1)^2+2$为顶点式，可得顶点$C$的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$。
(2) 点$C(1,2)$绕原点旋转$180°$后，对应顶点$D$的坐标为$(-1,-2)$，
旋转$180°$后抛物线开口方向相反，二次项系数为$-1$，
因此旋转后的抛物线解析式为$y=-(x+1)^2-2$。
(3) 令$x=0$，代入原抛物线解析式$y=(x-1)^2+2$，得$y=3$，即$A(0,3)$。
令$x=0$，代入旋转后的抛物线解析式$y=-(x+1)^2-2$，得$y=-3$，即$B(0,-3)$。
由(2)得顶点$D(-1,-2)$，线段$AB$在$y$轴上，$AB=|3-(-3)|=6$。
将四边形$ACBD$拆分为$△ ABC$和$△ ABD$，两三角形公共底为$AB$，点$C$、$D$到$y$轴的距离分别为$|x_C|=1$、$|x_D|=1$：
$\begin{aligned}S_{ACBD}&=S_{△ ABC}+S_{△ ABD}\\&=\frac{1}{2}· AB· |x_C| + \frac{1}{2}· AB· |x_D|\\&=\frac{1}{2}×6×1 + \frac{1}{2}×6×1\\&=6\end{aligned}$
综上，(1) $C(1,2)$；(2) 旋转后解析式为$y=-(x+1)^2-2$；(3) 四边形$ACBD$的面积为$6$。
解析
【分析】
(1) 第一问已知抛物线为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，根据顶点式的性质，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应系数即可得到顶点C的坐标。
(2) 第二问抛物线绕原点旋转180°，首先顶点会绕原点做中心对称变换，中心对称的点横、纵坐标均变为原来的相反数；其次旋转后抛物线开口方向与原抛物线相反，二次项系数变为原来的相反数，结合变换后的顶点即可写出新抛物线解析式。
(3) 第三问先求两条抛物线与y轴的交点A、B：令x=0分别代入两个解析式即可得到A、B坐标，得到AB的长度；观察四边形ACBD的结构，可沿y轴拆分为$△ ABC$和$△ ABD$，两个三角形的公共底为AB，高分别为点C、D到y轴的距离（即横坐标的绝对值），分别计算两个三角形面积相加即可得到四边形面积。
【解析】
(1) 抛物线$y=(x-1)^2+2$是顶点式，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$h=1$，$k=2$，因此顶点C的坐标为$(1,2)$。
(2) 点$C(1,2)$绕原点旋转180°后，横纵坐标均变为原数的相反数，得到新顶点D的坐标为$(-1,-2)$；旋转180°后抛物线开口方向相反，二次项系数为$-1$，因此旋转后的抛物线解析式为$y=-(x+1)^2-2$。
(3) 求原抛物线与y轴交点A：令$x=0$，代入$y=(x-1)^2+2$，得$y=(0-1)^2+2=3$，即$A(0,3)$；
求旋转后抛物线与y轴交点B：令$x=0$，代入$y=-(x+1)^2-2$，得$y=-(0+1)^2-2=-3$，即$B(0,-3)$；
线段AB在y轴上，长度$AB=|3-(-3)|=6$，点C到y轴的距离为$|x_C|=1$，点D到y轴的距离为$|x_D|=1$；
将四边形ACBD拆分为$△ ABC$和$△ ABD$，则：
$\begin{aligned}S_{ACBD}&=S_{△ ABC}+S_{△ ABD}\\&=\frac{1}{2}×AB×|x_C| + \frac{1}{2}×AB×|x_D|\\&=\frac{1}{2}×6×1 + \frac{1}{2}×6×1\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) $C(1,2)$；(2) $y=-(x+1)^2-2$；(3) $6$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 中心对称的坐标特征
3. 割补法求面积
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，重点考查顶点式的应用、图形旋转后的解析式变换以及不规则四边形的面积计算，解题关键是掌握旋转后二次项系数的变化规律，以及合理使用割补法简化面积计算。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知抛物线为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，根据顶点式的性质，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应系数即可得到顶点C的坐标。
(2) 第二问抛物线绕原点旋转180°，首先顶点会绕原点做中心对称变换，中心对称的点横、纵坐标均变为原来的相反数；其次旋转后抛物线开口方向与原抛物线相反，二次项系数变为原来的相反数，结合变换后的顶点即可写出新抛物线解析式。
(3) 第三问先求两条抛物线与y轴的交点A、B：令x=0分别代入两个解析式即可得到A、B坐标，得到AB的长度；观察四边形ACBD的结构，可沿y轴拆分为$△ ABC$和$△ ABD$，两个三角形的公共底为AB，高分别为点C、D到y轴的距离（即横坐标的绝对值），分别计算两个三角形面积相加即可得到四边形面积。
【解析】
(1) 抛物线$y=(x-1)^2+2$是顶点式，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$h=1$，$k=2$，因此顶点C的坐标为$(1,2)$。
(2) 点$C(1,2)$绕原点旋转180°后，横纵坐标均变为原数的相反数，得到新顶点D的坐标为$(-1,-2)$；旋转180°后抛物线开口方向相反，二次项系数为$-1$，因此旋转后的抛物线解析式为$y=-(x+1)^2-2$。
(3) 求原抛物线与y轴交点A：令$x=0$，代入$y=(x-1)^2+2$，得$y=(0-1)^2+2=3$，即$A(0,3)$；
求旋转后抛物线与y轴交点B：令$x=0$，代入$y=-(x+1)^2-2$，得$y=-(0+1)^2-2=-3$，即$B(0,-3)$；
线段AB在y轴上，长度$AB=|3-(-3)|=6$，点C到y轴的距离为$|x_C|=1$，点D到y轴的距离为$|x_D|=1$；
将四边形ACBD拆分为$△ ABC$和$△ ABD$，则：
$\begin{aligned}S_{ACBD}&=S_{△ ABC}+S_{△ ABD}\\&=\frac{1}{2}×AB×|x_C| + \frac{1}{2}×AB×|x_D|\\&=\frac{1}{2}×6×1 + \frac{1}{2}×6×1\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) $C(1,2)$；(2) $y=-(x+1)^2-2$；(3) $6$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 中心对称的坐标特征
3. 割补法求面积
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，重点考查顶点式的应用、图形旋转后的解析式变换以及不规则四边形的面积计算，解题关键是掌握旋转后二次项系数的变化规律，以及合理使用割补法简化面积计算。
【难度系数】
0.7
16. 在平面直角坐标系中,设二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2+3-m$($m$ 是实数).
(1)当 $m=2$ 时,若点 $A(8,n)$ 在该函数图象上,求 $n$ 的值;
(2)小明说此二次函数图象的顶点在直线 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$ 上,你认为他的说法对吗?为什么?
(3)已知点 $P(a+1,c)$,$Q(4m-5+a,c)$ 都在此二次函数的图象上,求证:$c≤\dfrac{13}{8}$.
(1)当 $m=2$ 时,若点 $A(8,n)$ 在该函数图象上,求 $n$ 的值;
(2)小明说此二次函数图象的顶点在直线 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$ 上,你认为他的说法对吗?为什么?
(3)已知点 $P(a+1,c)$,$Q(4m-5+a,c)$ 都在此二次函数的图象上,求证:$c≤\dfrac{13}{8}$.
答案
解：
(1) 当$m=2$时，二次函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+1$
将点$A(8,n)$代入解析式：
$n=-\dfrac{1}{2}×(8-4)^2+1=-8+1=-7$
即$n=-7$。
(2) 小明的说法正确，理由如下：
二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2+3-m$的顶点坐标为$(2m,3-m)$。
将$x=2m$代入直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$：
右边$=-\dfrac{1}{2}×2m +3=-m+3$，与顶点纵坐标相等。
因此该二次函数图象的顶点坐标满足直线解析式，顶点在直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$上，小明的说法正确。
(3) 证明：
$\because$ 点$P(a+1,c)$，$Q(4m-5+a,c)$纵坐标相同，
$\therefore$ 两点关于抛物线对称轴对称。
抛物线对称轴为直线$x=2m$，因此：
$2m=\dfrac{(a+1)+(4m-5+a)}{2}$
整理得：$4m=2a+4m-4$，解得$a=2$。
$\therefore$ 点$P$的横坐标为$a+1=3$，将$x=3$代入二次函数解析式：
$c=-\dfrac{1}{2}(3-2m)^2+3-m$
展开整理得：
$c=-2m^2+5m-\dfrac{3}{2}$
该式是关于$m$的二次函数，二次项系数$-2＜0$，函数开口向下，其最大值为：
当$m=-\dfrac{5}{2×(-2)}=\dfrac{5}{4}$时，$c_{\mathrm{max}}=-2×(\dfrac{5}{4})^2+5×\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{13}{8}$
$\therefore c≤\dfrac{13}{8}$，得证。
(1) 当$m=2$时，二次函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+1$
将点$A(8,n)$代入解析式：
$n=-\dfrac{1}{2}×(8-4)^2+1=-8+1=-7$
即$n=-7$。
(2) 小明的说法正确，理由如下：
二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2+3-m$的顶点坐标为$(2m,3-m)$。
将$x=2m$代入直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$：
右边$=-\dfrac{1}{2}×2m +3=-m+3$，与顶点纵坐标相等。
因此该二次函数图象的顶点坐标满足直线解析式，顶点在直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$上，小明的说法正确。
(3) 证明：
$\because$ 点$P(a+1,c)$，$Q(4m-5+a,c)$纵坐标相同，
$\therefore$ 两点关于抛物线对称轴对称。
抛物线对称轴为直线$x=2m$，因此：
$2m=\dfrac{(a+1)+(4m-5+a)}{2}$
整理得：$4m=2a+4m-4$，解得$a=2$。
$\therefore$ 点$P$的横坐标为$a+1=3$，将$x=3$代入二次函数解析式：
$c=-\dfrac{1}{2}(3-2m)^2+3-m$
展开整理得：
$c=-2m^2+5m-\dfrac{3}{2}$
该式是关于$m$的二次函数，二次项系数$-2＜0$，函数开口向下，其最大值为：
当$m=-\dfrac{5}{2×(-2)}=\dfrac{5}{4}$时，$c_{\mathrm{max}}=-2×(\dfrac{5}{4})^2+5×\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{13}{8}$
$\therefore c≤\dfrac{13}{8}$，得证。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先将m=2代入二次函数解析式得到确定的函数表达式，再将点A的横坐标代入解析式，即可计算出n的值。
(2) 求解第二问时，先根据二次函数顶点式的结构写出顶点坐标，再将顶点的横坐标代入直线解析式，验证所得纵坐标是否与顶点纵坐标相等，即可判断小明的说法是否正确。
(3) 求解第三问时，首先根据纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称，结合抛物线对称轴的表达式列等式求出a的值，再将点P的横坐标代入原二次函数解析式，得到c关于m的二次函数，根据二次函数开口方向求其最大值，即可完成证明。
【解析】
(1) 当$m=2$时，二次函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+1$
将点$A(8,n)$代入解析式：
$n=-\dfrac{1}{2}×(8-4)^2+1=-8+1=-7$
即$n=-7$。
(2) 小明的说法正确，理由如下：
二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2+3-m$的顶点坐标为$(2m,3-m)$。
将$x=2m$代入直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$：
右边$=-\dfrac{1}{2}×2m +3=-m+3$，与顶点纵坐标相等。
因此该二次函数图象的顶点坐标满足直线解析式，顶点在直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$上，小明的说法正确。
(3) 证明：
$\because$ 点$P(a+1,c)$，$Q(4m-5+a,c)$纵坐标相同，
$\therefore$ 两点关于抛物线对称轴对称。
抛物线对称轴为直线$x=2m$，因此：
$2m=\dfrac{(a+1)+(4m-5+a)}{2}$
整理得：$4m=2a+4m-4$，解得$a=2$。
$\therefore$ 点$P$的横坐标为$a+1=3$，将$x=3$代入二次函数解析式：
$c=-\dfrac{1}{2}(3-2m)^2+3-m$
展开整理得：
$c=-2m^2+5m-\dfrac{3}{2}$
该式是关于$m$的二次函数，二次项系数$-2＜0$，函数开口向下，其最大值为：
当$m=-\dfrac{5}{2×(-2)}=\dfrac{5}{4}$时，$c_{\mathrm{max}}=-2×(\dfrac{5}{4})^2+5×\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{13}{8}$
$\therefore c≤\dfrac{13}{8}$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{n=-7}$；
(2) 小明的说法正确；
(3) 证明成立，$\boldsymbol{c≤\dfrac{13}{8}}$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数对称性，二次函数最值
【点评】
本题综合考查二次函数顶点式的相关应用，考点覆盖基础代入求值、顶点坐标判断、对称性运用及最值求解，解题逻辑清晰，符合二次函数的核心考查方向，能有效检验学生对顶点式相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先将m=2代入二次函数解析式得到确定的函数表达式，再将点A的横坐标代入解析式，即可计算出n的值。
(2) 求解第二问时，先根据二次函数顶点式的结构写出顶点坐标，再将顶点的横坐标代入直线解析式，验证所得纵坐标是否与顶点纵坐标相等，即可判断小明的说法是否正确。
(3) 求解第三问时，首先根据纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称，结合抛物线对称轴的表达式列等式求出a的值，再将点P的横坐标代入原二次函数解析式，得到c关于m的二次函数，根据二次函数开口方向求其最大值，即可完成证明。
【解析】
(1) 当$m=2$时，二次函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2+1$
将点$A(8,n)$代入解析式：
$n=-\dfrac{1}{2}×(8-4)^2+1=-8+1=-7$
即$n=-7$。
(2) 小明的说法正确，理由如下：
二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2+3-m$的顶点坐标为$(2m,3-m)$。
将$x=2m$代入直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$：
右边$=-\dfrac{1}{2}×2m +3=-m+3$，与顶点纵坐标相等。
因此该二次函数图象的顶点坐标满足直线解析式，顶点在直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$上，小明的说法正确。
(3) 证明：
$\because$ 点$P(a+1,c)$，$Q(4m-5+a,c)$纵坐标相同，
$\therefore$ 两点关于抛物线对称轴对称。
抛物线对称轴为直线$x=2m$，因此：
$2m=\dfrac{(a+1)+(4m-5+a)}{2}$
整理得：$4m=2a+4m-4$，解得$a=2$。
$\therefore$ 点$P$的横坐标为$a+1=3$，将$x=3$代入二次函数解析式：
$c=-\dfrac{1}{2}(3-2m)^2+3-m$
展开整理得：
$c=-2m^2+5m-\dfrac{3}{2}$
该式是关于$m$的二次函数，二次项系数$-2＜0$，函数开口向下，其最大值为：
当$m=-\dfrac{5}{2×(-2)}=\dfrac{5}{4}$时，$c_{\mathrm{max}}=-2×(\dfrac{5}{4})^2+5×\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{13}{8}$
$\therefore c≤\dfrac{13}{8}$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{n=-7}$；
(2) 小明的说法正确；
(3) 证明成立，$\boldsymbol{c≤\dfrac{13}{8}}$。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数对称性，二次函数最值
【点评】
本题综合考查二次函数顶点式的相关应用，考点覆盖基础代入求值、顶点坐标判断、对称性运用及最值求解，解题逻辑清晰，符合二次函数的核心考查方向，能有效检验学生对顶点式相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
