1.如图，线段$AB=22\mathrm{cm}$，点C是AB上一点，且$AC=14\mathrm{cm}$，点O是AB的中点，求线段OC的长度.

因为点O是线段AB的中点，AB=22cm，所以$AO=\frac{1}{2}AB=11\mathrm{cm}$，所以$OC=AC-AO=14-11=3(\mathrm{cm})$。

【分析】
要计算线段OC的长度，首先观察图形中各线段的数量关系，可得$OC=AC-AO$，已知AC的长度，因此只需先求出AO的长度即可。已知点O是AB的中点，根据线段中点的性质，中点会将对应线段分为长度相等的两段，因此AO为AB长度的一半，结合已知的AB长度即可算出AO，最后代入和差关系计算就能得到OC的长度。
【解析】
因为点O是线段AB的中点，$AB=22\mathrm{cm}$，所以$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×22=11\mathrm{cm}$。
又因为$AC=14\mathrm{cm}$，所以$OC=AC-AO=14-11=3(\mathrm{cm})$。
【答案】
$3\mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是熟练掌握线段中点的性质，结合图形理清各线段之间的和差关系，代入对应数值计算即可。
【难度系数】
0.8

2.如图，点C为线段AB上一点，且AC:BC=2:3，N是BC的中点.若AN=35，求AB的长.

设$AC=2x,BC=3x$，则$AB=AC+BC=5x$。因为N是BC的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}· 3x=\frac{3}{2}x$。因为$AN=AC+CN$，所以$2x+\frac{3}{2}x=35$，解得$x=10$，所以$AB=5x=5× 10=50$。

【分析】
遇到给出线段长度比例的计算问题，可先设比例参数表示各段线段长度：本题中AC:BC=2:3，设每份长度为x，即可将AC、BC分别表示为2x、3x；再结合N是BC中点的条件，可推出CN的长度表达式；最后根据AN=AC+CN=35的等量关系列方程求解参数，代入即可算出AB的总长度。
【解析】
解：设$AC=2x$，$BC=3x$，则$AB=AC+BC=2x+3x=5x$。
∵N是BC的中点，
∴$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×3x=\frac{3}{2}x$。
∵$AN=AC+CN$，且$AN=35$，
∴$2x+\frac{3}{2}x=35$，
合并同类项得$\frac{7}{2}x=35$，
解得$x=10$，
∴$AB=5x=5×10=50$。
【答案】
50
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；方程法求线段长度
【点评】
本题是线段计算的常见基础题型，核心解题方法是利用线段比例关系设参数，结合线段中点性质、和差关系建立方程求解，该方法是解决线段、角度比例类计算问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

3.如图,已知线段AB,CD的公共部分BD=$\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$,线段AB,CD的中点E,F之间的距离是10cm,求AB,CD的长.

设$BD=x\mathrm{cm}$,则$AB=3x\mathrm{cm},CD=4x\mathrm{cm},AC=6x\mathrm{cm}$。因为点E,F分别为AB,CD的中点,所以$AE=\frac{1}{2}AB=1.5x\mathrm{cm},CF=\frac{1}{2}CD=2x\mathrm{cm}$。所以$EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x(\mathrm{cm})$。因为$EF=10\mathrm{cm}$,所以$2.5x=10$,解得$x=4$,所以$AB=12\mathrm{cm},CD=16\mathrm{cm}$。

【分析】
本题给出了公共线段BD与AB、CD的比例关系，以及两条线段中点的距离，我们可以用方程思想解题：第一步先设公共部分BD的长度为未知数x，根据比例关系用x表示出AB、CD的长度；第二步结合线段和差求出总线段AC的长度；第三步利用线段中点的性质，分别表示出AB中点E到A的距离、CD中点F到C的距离；第四步找到EF的长度与x的等量关系，列方程求解x，最后代入求出AB、CD的长度即可。
【解析】
解：设$BD=x\mathrm{cm}$，
由$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$可得，$AB=3x\mathrm{cm}$，$CD=4x\mathrm{cm}$。
总长度$AC=AB+CD-BD=3x+4x-x=6x\mathrm{cm}$。
∵点E是AB的中点，点F是CD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3x=1.5x\mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4x=2x\mathrm{cm}$。
观察线段可知$EF=AC-AE-CF$，代入得：
$EF=6x-1.5x-2x=2.5x\mathrm{cm}$。
已知$EF=10\mathrm{cm}$，列方程得：
$2.5x=10$
解得$x=4$。
∴$AB=3x=3×4=12\mathrm{cm}$，$CD=4x=4×4=16\mathrm{cm}$。
【答案】
AB的长为12cm，CD的长为16cm
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题核心是通过设公共线段为未知数，将零散的线段长度关系统一，再结合中点性质和线段和差关系建立已知量与未知量的等式，即可顺利求解，掌握这种设元的思路能大幅提升线段计算类题目的解题效率。
【难度系数】
0.7

4.已知线段$AB=8\mathrm{cm}$，在直线$AB$上有一点$C$，且$BC=4\mathrm{cm}$，$M$是线段$AC$的中点，求线段$BM$的长（请先画出符合题意的图形，再解答该问题）。

①当点C在线段AB上时，，$AC=AB-BC=8-4=4(\mathrm{cm})$。因为M是AC的中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 4=2(\mathrm{cm})$，所以$BM=CM+BC=2+4=6(\mathrm{cm})$；②当点C在线段AB的延长线上时，，$AC=AB+BC=8+4=12(\mathrm{cm})$。因为M是AC的中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 12=6(\mathrm{cm})$，所以$BM=CM-BC=6-4=2(\mathrm{cm})$。综上可得，线段BM的长是2cm或6cm。

【分析】
题目中点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C的位置有两种可能：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上，解题时需分情况讨论，避免漏解。每种情况的解题步骤为：首先根据线段的和差关系计算AC的长度，再利用线段中点的性质求出CM的长度，最后结合线段的和差关系算出BM的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当点C在线段AB上时，，
$AC=AB-BC=8-4=4(\mathrm{cm})$，
因为M是线段AC的中点，根据线段中点的定义，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 4=2(\mathrm{cm})$，
所以$BM=CM+BC=2+4=6(\mathrm{cm})$；
②当点C在线段AB的延长线上时，，
$AC=AB+BC=8+4=12(\mathrm{cm})$，
因为M是线段AC的中点，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 12=6(\mathrm{cm})$，
所以$BM=CM-BC=6-4=2(\mathrm{cm})$。
【答案】
线段BM的长是2cm或6cm。
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直线上点的位置的不确定性，仅考虑点C在线段AB上的情况导致漏解，解题时需先画出所有符合条件的图形，再结合线段的相关性质进行计算。
【难度系数】
0.6