5.已知线段$AB=14$，在$AB$上有$C,D,M,N$四点，且$AC:CD:DB=1:2:4$，$AM=\frac{1}{2}AC$，$DN=\frac{1}{6}DB$，求线段$MN$的长。

根据已知$AB=14$，C,D,M,N四点在线段AB上，且$AC:CD:DB=1:2:4$，所以$AC=\frac{1}{1+2+4}× 14=2$，$CD=2AC=4$，$DB=4AC=8$，$AM=MC=\frac{1}{2}AC=1$，$DN=\frac{1}{6}DB=\frac{4}{3}$。①如图(1)所示，当点N在线段DB的反向延长线上时，，$MN=MC+CD-DN=1+4-\frac{4}{3}=3\frac{2}{3}$；②如图(2)所示，当点N在线段DB上时，，$MN=MC+CD+DN=1+4+\frac{4}{3}=6\frac{1}{3}$。综上所述，MN的长为$3\frac{2}{3}$或$6\frac{1}{3}$。

【分析】
解决本题首先从线段比例关系入手，先结合AB的总长度求出AC、CD、DB三段的长度，再根据已知条件算出MC、DN的长度；由于题目没有明确点N相对于D点的位置，存在两种情况：点N在D点左侧的CD段上、点N在D点右侧的DB段上，需要分类讨论，分别利用线段的和差关系计算MN的长度即可。
【解析】
解：已知$AB=14$，$AC:CD:DB=1:2:4$，三段总份数为$1+2+4=7$，
因此每份长度为$14÷7=2$，则：
$AC=1×2=2$，$CD=2×2=4$，$DB=4×2=8$。
由$AM=\frac{1}{2}AC$，可得$MC=\frac{1}{2}AC=1$；
由$DN=\frac{1}{6}DB$，可得$DN=\frac{1}{6}×8=\frac{4}{3}$。
分两种情况计算：
① 如图(1)所示，当点N在线段DB的反向延长线上（即线段CD上）时，
$MN=MC+CD-DN=1+4-\frac{4}{3}=3\frac{2}{3}$；
② 如图(2)所示，当点N在线段DB上时，
$MN=MC+CD+DN=1+4+\frac{4}{3}=6\frac{1}{3}$。
【答案】
线段MN的长为$3\frac{2}{3}$或$6\frac{1}{3}$：
①对应时，$MN=3\frac{2}{3}$；
②对应时，$MN=6\frac{1}{3}$。
【知识点】
线段和差计算，比例线段求值，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查线段的比例计算与和差运算，易错点是容易忽略点N的位置有两种可能，导致漏解，解题时要注意结合图形分析点的所有可能位置。
【难度系数】
0.6

6.如图，线段AB=4，点O是线段AB上一点，点C,D分别是线段OA,OB的中点.
(1)求线段CD的长；
(2)若题中的“点O是线段AB上一点”改为“点O是线段AB延长线上一点”，其他条件不变，请你画出图形，并求CD的长.

(1)解:因为点C,D分别是线段OA,OB的中点，所以$OC=\frac{1}{2}OA,OD=\frac{1}{2}OB$,所以$CD=OC+OD=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}(OA+OB)=\frac{1}{2}AB=2$。
(2)画出的图形如图，因为点C,D分别是线段OA,OB的中点，所以$OC=\frac{1}{2}OA,OD=\frac{1}{2}OB$,所以$CD=OC-OD=\frac{1}{2}OA-\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}(OA-OB)=\frac{1}{2}AB=2$。

【分析】
(1) 解题先回忆线段中点的性质：中点将线段分为两条等长的线段，长度为原线段的一半。已知C、D分别是OA、OB的中点，可先写出OC与OA、OD与OB的数量关系；观察O在AB上时CD的组成，CD=OC+OD，将OC、OD的表达式代入后提取公因式，可转化为AB长度的一半，代入AB=4即可求出结果。
(2) 当O在AB延长线上时，先按题意画出图形，此时CD的组成变为OC-OD，同样代入中点的数量关系，提取公因式后仍可转化为AB长度的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 因为点C,D分别是线段OA,OB的中点，所以$OC=\frac{1}{2}OA,OD=\frac{1}{2}OB$，
所以$CD=OC+OD=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}(OA+OB)=\frac{1}{2}AB$，
已知AB=4，因此$CD=\frac{1}{2}×4=2$。
(2) 画出的图形如图，
因为点C,D分别是线段OA,OB的中点，所以$OC=\frac{1}{2}OA,OD=\frac{1}{2}OB$，
所以$CD=OC-OD=\frac{1}{2}OA-\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}(OA-OB)=\frac{1}{2}AB$，
已知AB=4，因此$CD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
(1) CD的长为2；
(2) 图形如图，CD的长为2。
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题考查线段中点性质的应用，无论点O在线段AB上还是线段AB的延长线上，CD的长度恒为AB长度的一半，解题时要结合图形判断线段的和差关系，利用整体代入的思想简化计算，可快速得出结果。
【难度系数】
0.75

7.如图,已知A,B是数轴上的两点,点B表示的数为-2,AB=12.点P从点A出发,沿数轴向右运动,速度为2个单位长度/秒.

(1)数轴上点A表示的数为；
(2)当点P运动秒时，PB=3.

(1)-14 (2)4.5或7.5

【分析】
(1) 首先明确数轴上右侧的数大于左侧的数，已知点A在点B左侧，AB长度为12，点B表示的数为-2，用点B表示的数减去AB的长度即可得到点A表示的数。
(2) 点P运动过程中PB=3存在两种情况：①点P运动到点B左侧时，距离B点3个单位；②点P运动到点B右侧时，距离B点3个单位。分别计算两种情况下点P运动的总路程，再除以运动速度即可得到对应的运动时间，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵点A在点B左侧，AB=12，点B表示的数为-2，
∴点A表示的数为：$-2 - 12 = -14$。
(2) 设点P的运动时间为$t$秒，由题意可知$t$秒后点P表示的数为$-14 + 2t$，分两种情况讨论：
①当点P在点B左侧时，$PB=3$，可得：
$-2 - (-14 + 2t) = 3$
解得：$2t=9$，$t=4.5$；
②当点P在点B右侧时，$PB=3$，可得：
$(-14 + 2t) - (-2) = 3$
解得：$2t=15$，$t=7.5$。
综上，点P运动的时间为4.5秒或7.5秒。
【答案】
(1)$-14$；(2)$4.5$或$7.5$
【知识点】
数轴的应用，两点间的距离，分类讨论思想
【点评】
本题考查数轴背景下的动点距离计算，核心是结合数轴上点的位置关系分析问题，第二问需注意分点在B左侧、右侧两种情况讨论，避免漏解，借助数轴分析点的位置会更直观清晰。
【难度系数】
0.7

8. 如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒。

(1)当$0＜t＜5$时，用含t的式子填空：
$BP=$，$AQ=$；
(2)当$t=2$时，求PQ的长；
(3)当$PQ=\frac{1}{2}AB$时，求t的值。

(1)$5-t$ $10-2t$
(2)解:当$t=2$时,$AP=1× 2=2＜5$,点P在线段AB上;$OQ=2× 2=4＜10$,点Q在线段OA上,此时$PQ=OP-OQ=(OA+AP)-OQ=(10+2)-4=8$。
(3)$PQ=|OP-OQ|=|(OA+AP)-OQ|=|(10+t)-2t|=|10-t|$。因为$PQ=\frac{1}{2}AB$,所以$|10-t|=2.5$。解得$t=7.5$或$t=12.5$。

【分析】
本题是数轴上的动点问题，解题核心是先根据运动速度和时间表示出运动t秒后各点对应的有理数：点P从10出发，速度1单位/秒，t秒后对应数为10+t；点Q从0出发，速度2单位/秒，t秒后对应数为2t。
(1)当0＜t＜5时，先判断点的位置：10+t＜15，即P在B左侧；2t＜10，即Q在A左侧，数轴上两点距离=右侧点对应数-左侧点对应数，据此可写出BP、AQ的表达式。
(2)求t=2时的PQ长，先代入t=2得到此时P、Q的对应数，再用两点距离公式计算即可。
(3)先算出AB长为15-10=5，故$\frac{1}{2}AB=2.5$，PQ是两点距离，需用绝对值表示两点差，列绝对值方程求解，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 0＜t＜5时，点P对应数为10+t＜15，点Q对应数为2t＜10，
故$BP=15-(10+t)=5-t$，$AQ=10-2t$。
(2) 当t=2时，
点P对应的数为$10+1×2=12$，
点Q对应的数为$2×2=4$，
所以$PQ=12-4=8$。
(3) 首先AB的长度为$15-10=5$，故$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5$。
运动t秒后，点P对应数为10+t，点Q对应数为2t，
则$PQ=|(10+t)-2t|=|10-t|$，
由$PQ=\frac{1}{2}AB$得$|10-t|=2.5$，
所以$10-t=2.5$或$10-t=-2.5$，
解得$t=7.5$或$t=12.5$。
【答案】
(1) $5-t$；$10-2t$
(2) $8$
(3) $t=7.5$或$t=12.5$
【知识点】
数轴动点计算，数轴两点距离，绝对值方程
【点评】
本题是数轴与动点结合的典型题型，重点考查用代数式表示动点位置、数轴两点距离的计算，解题时要注意两点距离是非负数，需用绝对值表示两数差，避免出现漏解的情况，掌握分类讨论的思想是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6