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10.如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（
A.$AB=2AC$
B.$AC+CD+DB=AB$
C.$CD=AD-\frac{1}{2}AB$
D.$AD=\frac{1}{2}(CD+AB)$
D
）A.$AB=2AC$
B.$AC+CD+DB=AB$
C.$CD=AD-\frac{1}{2}AB$
D.$AD=\frac{1}{2}(CD+AB)$
答案
10.D
解析
【分析】
解题时先利用线段中点的性质得到$ AC = BC = \frac{1}{2}AB $，再结合线段的和差关系，逐一验证四个选项中的式子是否成立，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
已知C是线段AB的中点，根据线段中点的定义可得：$ AC = BC = \frac{1}{2}AB $，即$ AB=2AC $。
选项A：由中点性质直接可得$ AB=2AC $，该式正确，不符合题意；
选项B：观察图形可知，线段AB由AC、CD、DB三段组成，根据线段和的定义，$ AC+CD+DB=AB $，该式正确，不符合题意；
选项C：由线段和的关系可得$ AD=AC+CD $，变形得$ CD=AD-AC $，将$ AC=\frac{1}{2}AB $代入，可得$ CD=AD-\frac{1}{2}AB $，该式正确，不符合题意；
选项D：右边$ \frac{1}{2}(CD+AB)=\frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB $，而左边$ AD=AC+CD=\frac{1}{2}AB + CD $，显然$ \frac{1}{2}AB + CD ≠ \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB $（CD不为0时不成立），该式错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题核心是结合图形分析线段间的数量关系，重点考查线段中点性质和线段和差的应用，熟练掌握等量代换的方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先利用线段中点的性质得到$ AC = BC = \frac{1}{2}AB $，再结合线段的和差关系，逐一验证四个选项中的式子是否成立，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
已知C是线段AB的中点，根据线段中点的定义可得：$ AC = BC = \frac{1}{2}AB $，即$ AB=2AC $。
选项A：由中点性质直接可得$ AB=2AC $，该式正确，不符合题意；
选项B：观察图形可知，线段AB由AC、CD、DB三段组成，根据线段和的定义，$ AC+CD+DB=AB $，该式正确，不符合题意；
选项C：由线段和的关系可得$ AD=AC+CD $，变形得$ CD=AD-AC $，将$ AC=\frac{1}{2}AB $代入，可得$ CD=AD-\frac{1}{2}AB $，该式正确，不符合题意；
选项D：右边$ \frac{1}{2}(CD+AB)=\frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB $，而左边$ AD=AC+CD=\frac{1}{2}AB + CD $，显然$ \frac{1}{2}AB + CD ≠ \frac{1}{2}CD + \frac{1}{2}AB $（CD不为0时不成立），该式错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题核心是结合图形分析线段间的数量关系，重点考查线段中点性质和线段和差的应用，熟练掌握等量代换的方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
11.如图,点C在线段AB上,D是AC的中点,如果$BC=\frac{3}{2}CD$,$AB=7cm$,那么BC的长为（
A.3cm
B.3.5cm
C.4cm
D.4.5cm
A
）A.3cm
B.3.5cm
C.4cm
D.4.5cm
答案
11.A
解析
【分析】
解题时先利用线段中点的性质转化线段关系，再结合已知的线段比例关系，通过设未知数列方程的方法求解。具体思路：第一步，由D是AC的中点可推出AC的长度是CD的2倍；第二步，设CD的长度为x，分别用含x的式子表示AC和BC的长度；第三步，根据AB是AC与BC的和，且AB长度已知，列方程求出x的值，最后计算BC的长度即可。
【解析】
解：设$CD=x\ \mathrm{cm}$，
∵D是AC的中点，
∴$AC=2CD=2x\ \mathrm{cm}$，
根据题意得$BC=\frac{3}{2}CD=\frac{3}{2}x\ \mathrm{cm}$，
∵点C在线段AB上，
∴$AB=AC+BC$，
将$AB=7\mathrm{cm}$代入得：$2x+\frac{3}{2}x=7$，
合并同类项得：$\frac{7}{2}x=7$，
解得$x=2$，
∴$BC=\frac{3}{2}×2=3\mathrm{cm}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，方程法求线段长度
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是借助中点性质完成线段的等量转化，通过设未知数将所有未知线段用同一个字母表示，结合线段总长度建立等式求解，掌握线段的基本性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先利用线段中点的性质转化线段关系，再结合已知的线段比例关系，通过设未知数列方程的方法求解。具体思路：第一步，由D是AC的中点可推出AC的长度是CD的2倍；第二步，设CD的长度为x，分别用含x的式子表示AC和BC的长度；第三步，根据AB是AC与BC的和，且AB长度已知，列方程求出x的值，最后计算BC的长度即可。
【解析】
解：设$CD=x\ \mathrm{cm}$，
∵D是AC的中点，
∴$AC=2CD=2x\ \mathrm{cm}$，
根据题意得$BC=\frac{3}{2}CD=\frac{3}{2}x\ \mathrm{cm}$，
∵点C在线段AB上，
∴$AB=AC+BC$，
将$AB=7\mathrm{cm}$代入得：$2x+\frac{3}{2}x=7$，
合并同类项得：$\frac{7}{2}x=7$，
解得$x=2$，
∴$BC=\frac{3}{2}×2=3\mathrm{cm}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，方程法求线段长度
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是借助中点性质完成线段的等量转化，通过设未知数将所有未知线段用同一个字母表示，结合线段总长度建立等式求解，掌握线段的基本性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
12.如图，B，C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是
2a-b
。答案
12.2a-b
解析
【分析】
解题时先从已知线段MN的构成入手，MN可拆分为MB+BC+CN，结合已知MN=a、BC=b，可先求出MB与CN的和；再利用线段中点的性质，M是AB中点则AB=2MB，N是CD中点则CD=2CN，因此AB+CD=2(MB+CN)；最后AD的长度等于AB+BC+CD，将上述推导的结果整体代入即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵M是AB的中点，
∴MB = $\frac{1}{2}$AB，即AB=2MB
∵N是CD的中点，
∴CN = $\frac{1}{2}$CD，即CD=2CN
由图可知，MN = MB + BC + CN
已知MN=a，BC=b，代入得：MB + CN = MN - BC = a - b
又
∵AD = AB + BC + CD
将AB=2MB，CD=2CN代入得：
AD = 2MB + BC + 2CN = 2(MB + CN) + BC
把MB+CN=a-b，BC=b代入上式：
AD = 2(a - b) + b = 2a - 2b + b = 2a - b
【答案】
2a - b
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，核心是利用线段中点的性质完成线段倍分关系的转化，解题过程中用到了整体代入的思想，不需要单独求出MB、CN的具体长度，直接将二者的和作为整体代入计算即可简化运算。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知线段MN的构成入手，MN可拆分为MB+BC+CN，结合已知MN=a、BC=b，可先求出MB与CN的和；再利用线段中点的性质，M是AB中点则AB=2MB，N是CD中点则CD=2CN，因此AB+CD=2(MB+CN)；最后AD的长度等于AB+BC+CD，将上述推导的结果整体代入即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵M是AB的中点，
∴MB = $\frac{1}{2}$AB，即AB=2MB
∵N是CD的中点，
∴CN = $\frac{1}{2}$CD，即CD=2CN
由图可知，MN = MB + BC + CN
已知MN=a，BC=b，代入得：MB + CN = MN - BC = a - b
又
∵AD = AB + BC + CD
将AB=2MB，CD=2CN代入得：
AD = 2MB + BC + 2CN = 2(MB + CN) + BC
把MB+CN=a-b，BC=b代入上式：
AD = 2(a - b) + b = 2a - 2b + b = 2a - b
【答案】
2a - b
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，核心是利用线段中点的性质完成线段倍分关系的转化，解题过程中用到了整体代入的思想，不需要单独求出MB、CN的具体长度，直接将二者的和作为整体代入计算即可简化运算。
【难度系数】
0.7
13.(方程思想)如图,已知B,C两点把线段AD分成三部分,且$AB:BC:CD=2:5:3$,M为AD的中点,$BM=6\mathrm{cm}$,求CM和AD的长.
答案
解:设AB=2xcm,BC=5xcm,CD=3xcm,所以AD=AB+BC+CD=10xcm.因为M是AD的中点,所以AM=MD=5xcm,所以BM=AM-AB=5x-2x=3x(cm).因为BM=6cm,所以3x=6,x=2,故CM=MD-CD=5x-3x=2x=2×2=4(cm),AD=10x=10×2=20(cm).
解析
【分析】
遇到给出线段各部分比例求长度的问题，我们可以按比例设参数简化计算：首先根据AB:BC:CD=2:5:3，设每份长度为x，将AB、BC、CD分别用含x的代数式表示，求出AD的总长度表达式；再利用线段中点的性质，得到AM、MD的长度表达式；结合图形可知BM=AM-AB，代入含x的式子后，根据已知BM=6cm列方程求出x的值；最后将x代入CM、AD的表达式即可求出对应长度。
【解析】
解：设AB=2x cm，BC=5x cm，CD=3x cm，
则AD=AB+BC+CD=2x+5x+3x=10x cm。
∵M是AD的中点，
∴AM=MD=$\frac{1}{2}$AD=5x cm，
∴BM=AM-AB=5x-2x=3x cm。
∵BM=6cm，
∴3x=6，解得x=2。
∴CM=MD-CD=5x-3x=2x=2×2=4cm，
AD=10x=10×2=20cm。
【答案】
CM的长为4cm，AD的长为20cm。
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的性质，方程思想
【点评】
本题是线段计算的常考题型，核心解题方法是结合比例设未知数，借助线段中点性质和和差关系建立方程求解，能很好地锻炼数形结合能力与方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
遇到给出线段各部分比例求长度的问题，我们可以按比例设参数简化计算：首先根据AB:BC:CD=2:5:3，设每份长度为x，将AB、BC、CD分别用含x的代数式表示，求出AD的总长度表达式；再利用线段中点的性质，得到AM、MD的长度表达式；结合图形可知BM=AM-AB，代入含x的式子后，根据已知BM=6cm列方程求出x的值；最后将x代入CM、AD的表达式即可求出对应长度。
【解析】
解：设AB=2x cm，BC=5x cm，CD=3x cm，
则AD=AB+BC+CD=2x+5x+3x=10x cm。
∵M是AD的中点，
∴AM=MD=$\frac{1}{2}$AD=5x cm，
∴BM=AM-AB=5x-2x=3x cm。
∵BM=6cm，
∴3x=6，解得x=2。
∴CM=MD-CD=5x-3x=2x=2×2=4cm，
AD=10x=10×2=20cm。
【答案】
CM的长为4cm，AD的长为20cm。
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的性质，方程思想
【点评】
本题是线段计算的常考题型，核心解题方法是结合比例设未知数，借助线段中点性质和和差关系建立方程求解，能很好地锻炼数形结合能力与方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
14.如图，已知点D在线段AB上，C是线段AB的中点，若$AB=8\mathrm{cm}$，$BD=3\mathrm{cm}$.
(1)线段CD的长为
(2)若点E在直线AB上，且$BE=\frac{1}{3}BD$，求线段AE的长.
(1)线段CD的长为
1
$\mathrm{cm}$；(2)若点E在直线AB上，且$BE=\frac{1}{3}BD$，求线段AE的长.
答案
(1)1 (2)解:①当点E在点B的右侧时,如图1,
∵BD=3cm,BE=$\frac{1}{3}$BD,
∴BE=1cm,
∴AE=AB+BE=8+1=9(cm); ②当点E在点B的左侧时,如图2,AE=AB-BE=8-1=7(cm). 综上所述,AE的长为9cm或7cm。
解析
【分析】
(1) 求线段CD的长，首先利用线段中点的性质求出BC的长度，再根据线段差的关系，用BC减去BD即可得到CD的长度。(2) 点E在直线AB上，说明E的位置不唯一，需要分两种情况讨论：点E在B的右侧、点E在B的左侧，先计算出BE的长度，再分别结合线段和差的规则计算AE的长度，避免漏解。
【解析】
(1) 已知C是线段AB的中点，$AB=8\mathrm{cm}$，根据中点的性质可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$，
又已知$BD=3\mathrm{cm}$，因此：
$CD=BC-BD=4-3=1\mathrm{cm}$。
(2) 由$BD=3\mathrm{cm}$，$BE=\frac{1}{3}BD$，可得：
$BE=\frac{1}{3}×3=1\mathrm{cm}$，
分两种情况计算AE：
①当点E在点B的右侧时，AE为AB和BE的和，即$AE=AB+BE=8+1=9\mathrm{cm}$；
②当点E在点B的左侧时，AE为AB和BE的差，即$AE=AB-BE=8-1=7\mathrm{cm}$。
综上，AE的长为9cm或7cm。
【答案】
(1)1
(2)解:①当点E在点B的右侧时,如图1,
∵BD=3cm,BE=$\frac{1}{3}$BD,
∴BE=1cm,
∴AE=AB+BE=8+1=9(cm); ②当点E在点B的左侧时,如图2,AE=AB-BE=8-1=7(cm). 综上所述,AE的长为9cm或7cm。
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，分类讨论
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是熟练运用线段中点的性质，同时要注意区分“点在线段上”和“点在直线上”的差异，后者往往需要分类讨论不同的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求线段CD的长，首先利用线段中点的性质求出BC的长度，再根据线段差的关系，用BC减去BD即可得到CD的长度。(2) 点E在直线AB上，说明E的位置不唯一，需要分两种情况讨论：点E在B的右侧、点E在B的左侧，先计算出BE的长度，再分别结合线段和差的规则计算AE的长度，避免漏解。
【解析】
(1) 已知C是线段AB的中点，$AB=8\mathrm{cm}$，根据中点的性质可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$，
又已知$BD=3\mathrm{cm}$，因此：
$CD=BC-BD=4-3=1\mathrm{cm}$。
(2) 由$BD=3\mathrm{cm}$，$BE=\frac{1}{3}BD$，可得：
$BE=\frac{1}{3}×3=1\mathrm{cm}$，
分两种情况计算AE：
①当点E在点B的右侧时，AE为AB和BE的和，即$AE=AB+BE=8+1=9\mathrm{cm}$；
②当点E在点B的左侧时，AE为AB和BE的差，即$AE=AB-BE=8-1=7\mathrm{cm}$。
综上，AE的长为9cm或7cm。
【答案】
(1)1
(2)解:①当点E在点B的右侧时,如图1,
∵BD=3cm,BE=$\frac{1}{3}$BD,
∴BE=1cm,
∴AE=AB+BE=8+1=9(cm); ②当点E在点B的左侧时,如图2,AE=AB-BE=8-1=7(cm). 综上所述,AE的长为9cm或7cm。
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，分类讨论
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是熟练运用线段中点的性质，同时要注意区分“点在线段上”和“点在直线上”的差异，后者往往需要分类讨论不同的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
15.(核心素养·推理能力)如图,若线段AB=20cm,点C是线段AB上一点,M,N分别是线段AC,BC的中点.
(1)求线段MN的长;
(2)根据(1)中的计算过程和结果,设AB=a,其他条件不变,你能猜出MN的长度吗?请用一句简洁的话表达你发现的规律.
(1)求线段MN的长;
(2)根据(1)中的计算过程和结果,设AB=a,其他条件不变,你能猜出MN的长度吗?请用一句简洁的话表达你发现的规律.
答案
(1)解:因为点M是线段AC的中点,所以MC=$\frac{1}{2}$AC.又点N是线段BC的中点,所以NC=$\frac{1}{2}$BC.所以MN=MC+NC=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(AC+BC)=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×20=10(cm). (2)MN=$\frac{1}{2}a$.规律:线段上任意一点分线段所得的两条线段中点之间的距离等于原线段长的一半.
解析
【分析】
(1) 求解MN的长度时，首先观察图形可知MN由MC和NC两部分组成，已知M、N分别是AC、BC的中点，根据线段中点的定义，可以将MC、NC分别用AC、BC表示，再结合AC+BC=AB，整体代入即可求出MN的长度，不需要单独计算AC、BC的具体值。
(2) 第二问将AB的具体长度换成字母a，沿用第一问的推导逻辑，把AB替换为a就能得到MN的长度，再根据推导过程总结通用规律即可。
【解析】
(1) 因为点M是线段AC的中点，根据线段中点的定义，所以$MC=\frac{1}{2}AC$。
又因为点N是线段BC的中点，同理可得$NC=\frac{1}{2}BC$。
结合图形可知$MN=MC+NC$，代入上述结论得：
$MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
因为点C在线段AB上，所以$AC+BC=AB$，已知$AB=20\mathrm{cm}$，因此：
$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10(\mathrm{cm})$
(2) 当$AB=a$时，按照(1)的推导过程可得：
$MN=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$
规律：线段上任意一点分线段所得的两条线段的中点之间的距离等于原线段长度的一半。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10\mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}a}$，规律：线段上任意一点分线段所得的两条线段中点之间的距离等于原线段长的一半。
【知识点】
线段中点的定义；线段和差计算；规律归纳
【点评】
本题侧重考查线段中点性质的应用，解题时无需单独求解AC、BC的长度，将MN转化为两条含中点的线段之和后整体代入计算，简化了运算过程。第二问从特殊数值到一般字母的推导，体现了从特殊到一般的数学思想，有助于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求解MN的长度时，首先观察图形可知MN由MC和NC两部分组成，已知M、N分别是AC、BC的中点，根据线段中点的定义，可以将MC、NC分别用AC、BC表示，再结合AC+BC=AB，整体代入即可求出MN的长度，不需要单独计算AC、BC的具体值。
(2) 第二问将AB的具体长度换成字母a，沿用第一问的推导逻辑，把AB替换为a就能得到MN的长度，再根据推导过程总结通用规律即可。
【解析】
(1) 因为点M是线段AC的中点，根据线段中点的定义，所以$MC=\frac{1}{2}AC$。
又因为点N是线段BC的中点，同理可得$NC=\frac{1}{2}BC$。
结合图形可知$MN=MC+NC$，代入上述结论得：
$MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
因为点C在线段AB上，所以$AC+BC=AB$，已知$AB=20\mathrm{cm}$，因此：
$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10(\mathrm{cm})$
(2) 当$AB=a$时，按照(1)的推导过程可得：
$MN=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$
规律：线段上任意一点分线段所得的两条线段的中点之间的距离等于原线段长度的一半。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10\mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}a}$，规律：线段上任意一点分线段所得的两条线段中点之间的距离等于原线段长的一半。
【知识点】
线段中点的定义；线段和差计算；规律归纳
【点评】
本题侧重考查线段中点性质的应用，解题时无需单独求解AC、BC的长度，将MN转化为两条含中点的线段之和后整体代入计算，简化了运算过程。第二问从特殊数值到一般字母的推导，体现了从特殊到一般的数学思想，有助于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
