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1.已知下列各式:①$(\dfrac{-2mn}{a^2b})^2$；②$\dfrac{-8m^4n^2}{a^5b} · \dfrac{an}{bm^2}$；③$(\dfrac{2m}{-ab^2})^2 · (\dfrac{nb}{a})^2$；④$\dfrac{2mn^2}{ab^2} · \dfrac{m}{a^3}$。其中相等的两个式子是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
B
).A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪两个式子相等，需分别计算四个式子的化简结果再对比。计算时遵循分式运算规则：分式乘方要把分子、分母分别乘方；分式乘法是分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，最后约分化为最简分式，过程中注意符号和指数的运算规则即可。
【解析】
分别化简四个式子：
① $(\dfrac{-2mn}{a^2b})^2=\dfrac{(-2mn)^2}{(a^2b)^2}=\dfrac{4m^2n^2}{a^4b^2}$；
② $\dfrac{-8m^4n^2}{a^5b} · \dfrac{an}{bm^2}=\dfrac{-8m^4n^2· an}{a^5b· bm^2}=\dfrac{-8am^4n^3}{a^5b^2m^2}=\dfrac{-8m^2n^3}{a^4b^2}$；
③ $(\dfrac{2m}{-ab^2})^2 · (\dfrac{nb}{a})^2=\dfrac{(2m)^2}{(-ab^2)^2}·\dfrac{(nb)^2}{a^2}=\dfrac{4m^2}{a^2b^4}·\dfrac{n^2b^2}{a^2}=\dfrac{4m^2n^2b^2}{a^4b^4}=\dfrac{4m^2n^2}{a^4b^2}$；
④ $\dfrac{2mn^2}{ab^2} · \dfrac{m}{a^3}=\dfrac{2mn^2· m}{ab^2· a^3}=\dfrac{2m^2n^2}{a^4b^2}$。
对比化简结果可知，①和③的结果相等。
【答案】
B
【知识点】
分式乘方运算、分式乘法运算、分式约分
【点评】
本题考查分式的基础运算，计算时要注意负数偶次幂为正，指数加减运算要准确，熟练掌握运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
要判断哪两个式子相等，需分别计算四个式子的化简结果再对比。计算时遵循分式运算规则：分式乘方要把分子、分母分别乘方；分式乘法是分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，最后约分化为最简分式，过程中注意符号和指数的运算规则即可。
【解析】
分别化简四个式子：
① $(\dfrac{-2mn}{a^2b})^2=\dfrac{(-2mn)^2}{(a^2b)^2}=\dfrac{4m^2n^2}{a^4b^2}$；
② $\dfrac{-8m^4n^2}{a^5b} · \dfrac{an}{bm^2}=\dfrac{-8m^4n^2· an}{a^5b· bm^2}=\dfrac{-8am^4n^3}{a^5b^2m^2}=\dfrac{-8m^2n^3}{a^4b^2}$；
③ $(\dfrac{2m}{-ab^2})^2 · (\dfrac{nb}{a})^2=\dfrac{(2m)^2}{(-ab^2)^2}·\dfrac{(nb)^2}{a^2}=\dfrac{4m^2}{a^2b^4}·\dfrac{n^2b^2}{a^2}=\dfrac{4m^2n^2b^2}{a^4b^4}=\dfrac{4m^2n^2}{a^4b^2}$；
④ $\dfrac{2mn^2}{ab^2} · \dfrac{m}{a^3}=\dfrac{2mn^2· m}{ab^2· a^3}=\dfrac{2m^2n^2}{a^4b^2}$。
对比化简结果可知，①和③的结果相等。
【答案】
B
【知识点】
分式乘方运算、分式乘法运算、分式约分
【点评】
本题考查分式的基础运算，计算时要注意负数偶次幂为正，指数加减运算要准确，熟练掌握运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
2.计算$\frac{2a - 2}{2 + a} · \frac{a^2 - 4}{a - 1}$的结果是(
A.$2a + 4$
B.$-2a + 4$
C.$-2a - 4$
D.$2a - 4$
D
).A.$2a + 4$
B.$-2a + 4$
C.$-2a - 4$
D.$2a - 4$
答案
2.D
解析
【分析】
本题是分式乘法运算题，解题思路如下：首先回忆分式乘法的运算规则，先将各分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分，最后将约分后剩余的部分相乘化简，即可得到最终结果。因式分解时可优先考虑提公因式法，再看是否符合公式法分解的特征。
【解析】
解：第一步，对分子、分母因式分解：
① 分子$2a-2$提取公因式2，可得$2a-2=2(a-1)$；
② 分子$a^2-4$符合平方差公式特征，分解可得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，同时$2+a=a+2$。
将分解结果代入原式：
$\frac{2(a-1)}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{a-1}$
第二步，约分：
约去分子和分母的公因式$a-1$和$a+2$，剩余部分为$2×(a-2)$。
第三步，化简得：$2(a-2)=2a-4$。
【答案】
D
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、平方差公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的运算步骤和因式分解的应用，只要掌握因式分解的方法和约分规则就能顺利解题，计算时要注意避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题是分式乘法运算题，解题思路如下：首先回忆分式乘法的运算规则，先将各分式中能因式分解的分子、分母进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分，最后将约分后剩余的部分相乘化简，即可得到最终结果。因式分解时可优先考虑提公因式法，再看是否符合公式法分解的特征。
【解析】
解：第一步，对分子、分母因式分解：
① 分子$2a-2$提取公因式2，可得$2a-2=2(a-1)$；
② 分子$a^2-4$符合平方差公式特征，分解可得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，同时$2+a=a+2$。
将分解结果代入原式：
$\frac{2(a-1)}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{a-1}$
第二步，约分：
约去分子和分母的公因式$a-1$和$a+2$，剩余部分为$2×(a-2)$。
第三步，化简得：$2(a-2)=2a-4$。
【答案】
D
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、平方差公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的运算步骤和因式分解的应用，只要掌握因式分解的方法和约分规则就能顺利解题，计算时要注意避免符号错误。
【难度系数】
0.8
3.计算$(\dfrac{a-b}{a})^{4}· (\dfrac{a}{b-a})^{5}$的结果是
$-\frac{a}{a-b}$
。答案
3.$-\frac{a}{a-b}$
解析
【分析】
本题是分式乘方与乘法的混合运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方法则，先将两个分式的乘方分别展开；再观察到底数中a-b和b-a互为相反数，根据奇次幂的符号性质，将$(b-a)^5$转化为$-(a-b)^5$统一底数；最后按照分式乘法的规则，将分子、分母分别相乘后约分，即可得到最简结果，解题时要重点注意符号的处理，避免符号出错。
【解析】
解：先根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，得：
原式=$\dfrac{(a-b)^4}{a^4}·\dfrac{a^5}{(b-a)^5}$
∵$b-a=-(a-b)$，且5是奇数，
∴$(b-a)^5=[-(a-b)]^5=-(a-b)^5$，代入得：
原式=$\dfrac{(a-b)^4}{a^4}·\dfrac{a^5}{-(a-b)^5}$
分子相乘作分子，分母相乘作分母：
=$\dfrac{(a-b)^4·a^5}{-a^4·(a-b)^5}$
约分：$a^5÷a^4=a$，$(a-b)^4÷(a-b)^5=\dfrac{1}{a-b}$，化简得：
=$-\dfrac{a}{a-b}$
【答案】
$-\dfrac{a}{a-b}$
【知识点】
1.分式乘方运算
2.分式乘法运算
3.幂的符号规律
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心易错点是互为相反数的奇次幂的符号处理，只要正确转化符号、按规则约分，就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
本题是分式乘方与乘法的混合运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方法则，先将两个分式的乘方分别展开；再观察到底数中a-b和b-a互为相反数，根据奇次幂的符号性质，将$(b-a)^5$转化为$-(a-b)^5$统一底数；最后按照分式乘法的规则，将分子、分母分别相乘后约分，即可得到最简结果，解题时要重点注意符号的处理，避免符号出错。
【解析】
解：先根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，得：
原式=$\dfrac{(a-b)^4}{a^4}·\dfrac{a^5}{(b-a)^5}$
∵$b-a=-(a-b)$，且5是奇数，
∴$(b-a)^5=[-(a-b)]^5=-(a-b)^5$，代入得：
原式=$\dfrac{(a-b)^4}{a^4}·\dfrac{a^5}{-(a-b)^5}$
分子相乘作分子，分母相乘作分母：
=$\dfrac{(a-b)^4·a^5}{-a^4·(a-b)^5}$
约分：$a^5÷a^4=a$，$(a-b)^4÷(a-b)^5=\dfrac{1}{a-b}$，化简得：
=$-\dfrac{a}{a-b}$
【答案】
$-\dfrac{a}{a-b}$
【知识点】
1.分式乘方运算
2.分式乘法运算
3.幂的符号规律
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心易错点是互为相反数的奇次幂的符号处理，只要正确转化符号、按规则约分，就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
4. 计算$\frac{ab+b^2}{a^2+2ab+b^2} · \frac{a^2 - b^2}{a^2 - ab}$的结果是
$\frac{b}{a}$
。答案
4.$\frac{b}{a}$
解析
【分析】
要计算分式乘法的结果，首先遵循分式乘法的运算逻辑：先将每个分式的分子、分母分别因式分解，再将分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的积作为积的分母，最后约去分子分母的所有公因式，得到最简分式即可。解题时先利用提公因式法、完全平方公式、平方差公式完成因式分解，再逐步约分即可。
【解析】
解：先对各分式的分子、分母因式分解：
1. 第一个分式：分子$ab+b^2 = b(a+b)$，分母$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；
2. 第二个分式：分子$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分母$a^2-ab=a(a-b)$。
将分解结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{b(a+b)}{(a+b)^2} · \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}\\&=\frac{b(a+b)(a+b)(a-b)}{a(a+b)^2(a-b)}\\&=\frac{b}{a} \quad (a≠0,a≠\pm b)\end{aligned}$
【答案】
$\frac{b}{a}$
【知识点】
因式分解，分式的乘法运算，约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础运算题，解题核心是先准确对分子分母因式分解，再完整约去公因式，运算时要注意满足分式有意义的隐含条件，即分母不能为0。
【难度系数】
0.8
要计算分式乘法的结果，首先遵循分式乘法的运算逻辑：先将每个分式的分子、分母分别因式分解，再将分子相乘的积作为积的分子、分母相乘的积作为积的分母，最后约去分子分母的所有公因式，得到最简分式即可。解题时先利用提公因式法、完全平方公式、平方差公式完成因式分解，再逐步约分即可。
【解析】
解：先对各分式的分子、分母因式分解：
1. 第一个分式：分子$ab+b^2 = b(a+b)$，分母$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；
2. 第二个分式：分子$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分母$a^2-ab=a(a-b)$。
将分解结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{b(a+b)}{(a+b)^2} · \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}\\&=\frac{b(a+b)(a+b)(a-b)}{a(a+b)^2(a-b)}\\&=\frac{b}{a} \quad (a≠0,a≠\pm b)\end{aligned}$
【答案】
$\frac{b}{a}$
【知识点】
因式分解，分式的乘法运算，约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础运算题，解题核心是先准确对分子分母因式分解，再完整约去公因式，运算时要注意满足分式有意义的隐含条件，即分母不能为0。
【难度系数】
0.8
5.先化简,再求值:$\frac{x^2 -9}{x^2 +6x +9} · \frac{3x^3 +9x^2}{x^2 -3x}$,其中$x=-\frac{1}{3}$.
答案
5.解:原式=$\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} · \frac{3x^2(x+3)}{x(x-3)} = 3x$.
当$x=-\frac{1}{3}$时,原式=$3×(-\frac{1}{3})=-1$.
当$x=-\frac{1}{3}$时,原式=$3×(-\frac{1}{3})=-1$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰：第一步先对每个分式的分子、分母分别因式分解，会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式；第二步按照分式乘法的运算法则，约去分子分母的公因式，得到最简结果，避免直接代入原式计算增大计算量；第三步将给定的x的值代入最简式，计算出最终数值即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
解：先对原式各部分因式分解：
原式=$\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} · \frac{3x^2(x+3)}{x(x-3)}$
约去分子分母的公因式$(x+3)$、$(x-3)$、$x$，化简得$3x$。
当$x=-\frac{1}{3}$时，代入化简后的式子计算：
原式=$3×(-\frac{1}{3})=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查因式分解的熟练度和分式约分的规则，只要因式分解正确、约分彻底，代入数值计算时注意符号，就可以顺利得分。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路清晰：第一步先对每个分式的分子、分母分别因式分解，会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式；第二步按照分式乘法的运算法则，约去分子分母的公因式，得到最简结果，避免直接代入原式计算增大计算量；第三步将给定的x的值代入最简式，计算出最终数值即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
解：先对原式各部分因式分解：
原式=$\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} · \frac{3x^2(x+3)}{x(x-3)}$
约去分子分母的公因式$(x+3)$、$(x-3)$、$x$，化简得$3x$。
当$x=-\frac{1}{3}$时，代入化简后的式子计算：
原式=$3×(-\frac{1}{3})=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查因式分解的熟练度和分式约分的规则，只要因式分解正确、约分彻底，代入数值计算时注意符号，就可以顺利得分。
【难度系数】
0.8
