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6.计算：$\frac{2b}{a} · \frac{a^2}{4b^2c} =$
$\frac{a}{2bc}$
.答案
6.$\frac{a}{2bc}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：第一步根据分式乘法的运算法则，将两个分式的分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母；第二步找出所得分式分子和分母的公因式，通过约分将结果化为最简分式即可。
【解析】
根据分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2b · a^2}{a · 4b^2c}\\&=\frac{2a^2b}{4ab^2c}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$2ab$，可得：
$原式=\frac{a}{2bc}$
【答案】
$\frac{a}{2bc}$
【知识点】
分式的乘法法则；分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握分式乘法的运算规则，计算过程中要准确识别分子分母的公因式，保证约分彻底，得到最简结果。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的乘法运算，解题思路如下：第一步根据分式乘法的运算法则，将两个分式的分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母；第二步找出所得分式分子和分母的公因式，通过约分将结果化为最简分式即可。
【解析】
根据分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，计算如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2b · a^2}{a · 4b^2c}\\&=\frac{2a^2b}{4ab^2c}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$2ab$，可得：
$原式=\frac{a}{2bc}$
【答案】
$\frac{a}{2bc}$
【知识点】
分式的乘法法则；分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握分式乘法的运算规则，计算过程中要准确识别分子分母的公因式，保证约分彻底，得到最简结果。
【难度系数】
0.9
7.计算：$\frac{2x}{x^2 - 1} · \frac{x + 1}{x} =$
$\frac{2}{x-1}$
答案
7.$\frac{2}{x-1}$
解析
【分析】
拿到分式乘法运算题，首先观察各分式的分子、分母是否存在可因式分解的多项式：本题中第一个分式的分母$x^2-1$符合平方差公式的结构，可先分解为$(x+1)(x-1)$。接下来遵循分式乘法“先约分再计算”的原则简化运算，先找分子和分母的公因式，约去公因式后再将剩余部分的分子相乘作分子、分母相乘作分母，即可得到结果，能避免直接通分运算带来的繁琐。
【解析】
解：先利用平方差公式因式分解$x^2-1$，可得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2x}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x}\\&=\frac{2\cancel{x}· \cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}(x-1)· \cancel{x}}\\&=\frac{2}{x-1}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2}{x-1}$
【知识点】
分式乘法运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式乘法的基础题型，核心考察分式运算的常规步骤，先因式分解再约分的思路能大幅降低计算出错概率，需要熟练掌握常见因式分解方法和公因式的识别技巧。
【难度系数】
0.9
拿到分式乘法运算题，首先观察各分式的分子、分母是否存在可因式分解的多项式：本题中第一个分式的分母$x^2-1$符合平方差公式的结构，可先分解为$(x+1)(x-1)$。接下来遵循分式乘法“先约分再计算”的原则简化运算，先找分子和分母的公因式，约去公因式后再将剩余部分的分子相乘作分子、分母相乘作分母，即可得到结果，能避免直接通分运算带来的繁琐。
【解析】
解：先利用平方差公式因式分解$x^2-1$，可得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2x}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x}\\&=\frac{2\cancel{x}· \cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}(x-1)· \cancel{x}}\\&=\frac{2}{x-1}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2}{x-1}$
【知识点】
分式乘法运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式乘法的基础题型，核心考察分式运算的常规步骤，先因式分解再约分的思路能大幅降低计算出错概率，需要熟练掌握常见因式分解方法和公因式的识别技巧。
【难度系数】
0.9
8.当$x=\sqrt{3}+1$时，代数式$\frac{x+1}{x+3}·\frac{(x+3)(x-1)}{x+1}$的值是
$\sqrt{3}$
.答案
8.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
拿到这道代数式求值题目，首先观察到待求式是分式乘法的形式，若直接代入x的值计算会比较繁琐，因此优先考虑先化简代数式。根据分式乘法的运算规则，运算时可以先约去分子分母的公因式再计算，能大幅简化运算。观察式子可知分子、分母中存在公因式$(x+1)$和$(x+3)$，先确认公因式不为0后即可约分，得到最简代数式后再代入x的值计算即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+1}{x+3} · \frac{(x+3)(x-1)}{x+1} \\&= x-1 \ (\mathrm{此时} \ x+1≠0,x+3≠0,\mathrm{符合题设}x=\sqrt{3}+1的取值)\end{aligned}$
将$x=\sqrt{3}+1$代入化简后的式子：
$原式=(\sqrt{3}+1)-1=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
分式的乘法运算；分式约分；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的化简方法，解题时优先约分再代入求值可以减少计算量，降低出错概率，需熟练掌握分式约分的规则。
【难度系数】
0.9
拿到这道代数式求值题目，首先观察到待求式是分式乘法的形式，若直接代入x的值计算会比较繁琐，因此优先考虑先化简代数式。根据分式乘法的运算规则，运算时可以先约去分子分母的公因式再计算，能大幅简化运算。观察式子可知分子、分母中存在公因式$(x+1)$和$(x+3)$，先确认公因式不为0后即可约分，得到最简代数式后再代入x的值计算即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+1}{x+3} · \frac{(x+3)(x-1)}{x+1} \\&= x-1 \ (\mathrm{此时} \ x+1≠0,x+3≠0,\mathrm{符合题设}x=\sqrt{3}+1的取值)\end{aligned}$
将$x=\sqrt{3}+1$代入化简后的式子：
$原式=(\sqrt{3}+1)-1=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
分式的乘法运算；分式约分；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式乘法的化简方法，解题时优先约分再代入求值可以减少计算量，降低出错概率，需熟练掌握分式约分的规则。
【难度系数】
0.9
9.使分式$\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} · \frac{ax + ay}{(x + y)^2}$的值等于5的a的值是
$\frac{1}{5}$
。答案
9.$\frac{1}{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要按照分式乘法的运算规则化简原式：第一步先对各分式的分子、分母进行因式分解，第二步约去分子分母的公因式得到最简形式，最后结合原式值为5的条件，建立关于a的方程求解即可。
【解析】
先对原式中各部分因式分解：
$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，$a^2x-a^2y=a^2(x-y)$，$ax+ay=a(x+y)$，代入原式可得：
$\begin{aligned}\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} · \frac{ax + ay}{(x + y)^2}&=\frac{(x-y)(x+y)}{a^2(x-y)}·\frac{a(x+y)}{(x+y)^2}\\&=\frac{(x-y)(x+y)· a(x+y)}{a^2(x-y)· (x+y)^2}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，$x≠±y$且$a≠0$，因此可约去公因式$(x-y)$、$(x+y)^2$，化简得：
原式$=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}$
由题意得$\frac{1}{a}=5$，解得$a=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心解题思路是先化简再求值，能大幅降低运算量，解题时要注意先对分子分母彻底因式分解，再约去所有公因式，同时不要忽略分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要按照分式乘法的运算规则化简原式：第一步先对各分式的分子、分母进行因式分解，第二步约去分子分母的公因式得到最简形式，最后结合原式值为5的条件，建立关于a的方程求解即可。
【解析】
先对原式中各部分因式分解：
$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，$a^2x-a^2y=a^2(x-y)$，$ax+ay=a(x+y)$，代入原式可得：
$\begin{aligned}\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} · \frac{ax + ay}{(x + y)^2}&=\frac{(x-y)(x+y)}{a^2(x-y)}·\frac{a(x+y)}{(x+y)^2}\\&=\frac{(x-y)(x+y)· a(x+y)}{a^2(x-y)· (x+y)^2}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，$x≠±y$且$a≠0$，因此可约去公因式$(x-y)$、$(x+y)^2$，化简得：
原式$=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}$
由题意得$\frac{1}{a}=5$，解得$a=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的乘法运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心解题思路是先化简再求值，能大幅降低运算量，解题时要注意先对分子分母彻底因式分解，再约去所有公因式，同时不要忽略分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
10.已知$x - 3y = 0$，则$\frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2} · (x - y)$的值是
$\frac{7}{2}$
。答案
10.$\frac{7}{2}$
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题优先遵循“先化简、再求值”的思路，可降低计算难度。第一步先对原式中分式的分母用完全平方公式因式分解，再结合分式乘法法则约分，将原式化为最简形式；第二步根据已知条件$x-3y=0$得到$x$和$y$的数量关系，代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：先对原式进行化简：
∵ 分母$x^2 - 2xy + y^2$符合完全平方公式，即$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$
∴ 原式$=\frac{2x + y}{(x - y)^2} · (x - y)$
由分式有意义的条件可知$x-y≠0$，约分后得：
原式$=\frac{2x + y}{x - y}$
已知$x-3y=0$，即$x=3y$（由分式有意义可知$y≠0$），将$x=3y$代入化简后的式子：
分子：$2x+y=2×3y + y=7y$
分母：$x-y=3y - y=2y$
∴ 原式$=\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式的乘法运算，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握先化简再求值的运算逻辑，通过因式分解和约分简化原式，能避免直接代入带来的复杂计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题属于分式化简求值类题目，解题优先遵循“先化简、再求值”的思路，可降低计算难度。第一步先对原式中分式的分母用完全平方公式因式分解，再结合分式乘法法则约分，将原式化为最简形式；第二步根据已知条件$x-3y=0$得到$x$和$y$的数量关系，代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：先对原式进行化简：
∵ 分母$x^2 - 2xy + y^2$符合完全平方公式，即$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$
∴ 原式$=\frac{2x + y}{(x - y)^2} · (x - y)$
由分式有意义的条件可知$x-y≠0$，约分后得：
原式$=\frac{2x + y}{x - y}$
已知$x-3y=0$，即$x=3y$（由分式有意义可知$y≠0$），将$x=3y$代入化简后的式子：
分子：$2x+y=2×3y + y=7y$
分母：$x-y=3y - y=2y$
∴ 原式$=\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式的乘法运算，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握先化简再求值的运算逻辑，通过因式分解和约分简化原式，能避免直接代入带来的复杂计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
11.化简:$\frac{m^2 -6m +9}{m^2 -4} · \frac{m -2}{3 -m}$
答案
11.解:原式=$\frac{(m-3)^2}{(m+2)(m-2)} · \frac{m-2}{3-m} = -\frac{m-3}{m+2}$
解析
【分析】
这是一道分式乘法的化简题，解题思路如下：第一步先对每个分式的分子、分母进行因式分解，为后续约分做准备；第二步按照分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；第三步寻找分子分母的公因式进行约分，注意3-m和m-3互为相反数，约分时需要添加负号，最后将结果化为最简分式即可。
【解析】
先对各分式的分子分母因式分解：
原式=$\frac{(m-3)^2}{(m+2)(m-2)} · \frac{m-2}{3-m}$
首先约去分子分母的公因式$(m-2)$，得：
=$\frac{(m-3)^2}{m+2} · \frac{1}{3-m}$
将$3-m$变形为$-(m-3)$，再约去公因式$(m-3)$：
=$\frac{(m-3)^2}{m+2} · \frac{1}{-(m-3)}$
=$-\frac{m-3}{m+2}$
【答案】
$-\frac{m-3}{m+2}$
【知识点】
因式分解、分式的乘法运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，解题的关键是正确对多项式进行因式分解，同时要注意互为相反数的因式约分时的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
这是一道分式乘法的化简题，解题思路如下：第一步先对每个分式的分子、分母进行因式分解，为后续约分做准备；第二步按照分式乘法法则，将分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；第三步寻找分子分母的公因式进行约分，注意3-m和m-3互为相反数，约分时需要添加负号，最后将结果化为最简分式即可。
【解析】
先对各分式的分子分母因式分解：
原式=$\frac{(m-3)^2}{(m+2)(m-2)} · \frac{m-2}{3-m}$
首先约去分子分母的公因式$(m-2)$，得：
=$\frac{(m-3)^2}{m+2} · \frac{1}{3-m}$
将$3-m$变形为$-(m-3)$，再约去公因式$(m-3)$：
=$\frac{(m-3)^2}{m+2} · \frac{1}{-(m-3)}$
=$-\frac{m-3}{m+2}$
【答案】
$-\frac{m-3}{m+2}$
【知识点】
因式分解、分式的乘法运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，解题的关键是正确对多项式进行因式分解，同时要注意互为相反数的因式约分时的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
12.化简:$(-a)^{6}· (\frac{a}{b})^{7}· (-\frac{1}{a})^{8}.$
答案
12.解:原式=$a^6 · \frac{a^7}{b^7} · \frac{1}{a^8} = \frac{a^5}{b^7}$
解析
【分析】
解题时先根据幂的符号法则确定各乘方运算的结果符号，再利用分式乘方法则、幂的运算法则分别化简每个因式，最后按照分式乘法的规则计算，约分化简得到最终结果。具体思考步骤：①先处理带负号的幂运算：负数的偶次幂为正，先去掉负号简化算式；②利用分式乘方法则把分式的乘方转化为分子分母分别乘方；③将化简后的各因式相乘，分子部分按同底数幂乘法计算，再和分母的幂约分，得到最简结果。
【解析】
解：先分别化简各乘方项：
1. 计算$(-a)^6$：指数6为偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-a)^6 = a^6$；
2. 计算$(\frac{a}{b})^7$：根据分式乘方法则，分子、分母分别乘方，因此$(\frac{a}{b})^7 = \frac{a^7}{b^7}$；
3. 计算$(-\frac{1}{a})^8$：指数8为偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-\frac{1}{a})^8 = \frac{1}{a^8}$。
将化简后的项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式 &= a^6 · \frac{a^7}{b^7} · \frac{1}{a^8} \\&= \frac{a^6 · a^7}{b^7 · a^8} \\&= \frac{a^{6+7-8}}{b^7} \\&= \frac{a^5}{b^7}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{a^5}{b^7}$
【知识点】
幂的运算，分式乘方，分式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，综合考查幂的相关运算法则和分式乘法的运算能力，解题时需先注意判断含负号的幂的符号，避免符号出错，再按运算顺序逐步计算即可，熟练掌握基础运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先根据幂的符号法则确定各乘方运算的结果符号，再利用分式乘方法则、幂的运算法则分别化简每个因式，最后按照分式乘法的规则计算，约分化简得到最终结果。具体思考步骤：①先处理带负号的幂运算：负数的偶次幂为正，先去掉负号简化算式；②利用分式乘方法则把分式的乘方转化为分子分母分别乘方；③将化简后的各因式相乘，分子部分按同底数幂乘法计算，再和分母的幂约分，得到最简结果。
【解析】
解：先分别化简各乘方项：
1. 计算$(-a)^6$：指数6为偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-a)^6 = a^6$；
2. 计算$(\frac{a}{b})^7$：根据分式乘方法则，分子、分母分别乘方，因此$(\frac{a}{b})^7 = \frac{a^7}{b^7}$；
3. 计算$(-\frac{1}{a})^8$：指数8为偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-\frac{1}{a})^8 = \frac{1}{a^8}$。
将化简后的项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式 &= a^6 · \frac{a^7}{b^7} · \frac{1}{a^8} \\&= \frac{a^6 · a^7}{b^7 · a^8} \\&= \frac{a^{6+7-8}}{b^7} \\&= \frac{a^5}{b^7}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{a^5}{b^7}$
【知识点】
幂的运算，分式乘方，分式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，综合考查幂的相关运算法则和分式乘法的运算能力，解题时需先注意判断含负号的幂的符号，避免符号出错，再按运算顺序逐步计算即可，熟练掌握基础运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
