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1. 解下列方程组：
(1) 一题多解 $\begin{cases}2x + y = 2, \\8x + 3y = 9;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x + 5y = -10, \\5x - 3y = 6;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x - 3y = -4, \\\frac{x + 1}{2} + y = 1;\end{cases}$
(4) $\begin{cases}\frac{x - 2}{2} - \frac{5 - y}{3} = 1, \\\frac{x}{0.2} - \frac{y + 1}{0.3} = 5。\end{cases}$
(1) 一题多解 $\begin{cases}2x + y = 2, \\8x + 3y = 9;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x + 5y = -10, \\5x - 3y = 6;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x - 3y = -4, \\\frac{x + 1}{2} + y = 1;\end{cases}$
(4) $\begin{cases}\frac{x - 2}{2} - \frac{5 - y}{3} = 1, \\\frac{x}{0.2} - \frac{y + 1}{0.3} = 5。\end{cases}$
答案
(1) 通解（加减消元法） ② - ①×3,得$2x=3$,解得$x=\frac{3}{2}$,把$x=\frac{3}{2}$代入①,得$2×\frac{3}{2}+y=2$,解得$y=-1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{3}{2}, \\ y=-1。\end{cases}$
另解（代入消元法） 由①,得$y=2-2x$,③ 把③代入②,得$8x+3(2-2x)=9$,解得$x=\frac{3}{2}$,把$x=\frac{3}{2}$代入③,得$y=-1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{3}{2}, \\ y=-1。\end{cases}$
(2) ①×3 + ②×5,得$31x=0$,解得$x=0$,把$x=0$代入②,得$-3y=6$,解得$y=-2$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=0, \\ y=-2。\end{cases}$
(3) 将原方程组整理,得$\begin{cases}x - 3y = -4,① \\ x + 2y = 1,②\end{cases}$ ② - ①,得$5y=5$,解得$y=1$,把$y=1$代入①,得$x-3=-4$,解得$x=-1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=1。\end{cases}$
(4) 将原方程组化简,得$\begin{cases}3x + 2y = 22,① \\ 3x - 2y = 5,②\end{cases}$ ① + ②,得$6x=27$,解得$x=\frac{9}{2}$,把$x=\frac{9}{2}$代入②,得$3×\frac{9}{2}-2y=5$,解得$y=\frac{17}{4}$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{9}{2}, \\ y=\frac{17}{4}。\end{cases}$
另解（代入消元法） 由①,得$y=2-2x$,③ 把③代入②,得$8x+3(2-2x)=9$,解得$x=\frac{3}{2}$,把$x=\frac{3}{2}$代入③,得$y=-1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{3}{2}, \\ y=-1。\end{cases}$
(2) ①×3 + ②×5,得$31x=0$,解得$x=0$,把$x=0$代入②,得$-3y=6$,解得$y=-2$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=0, \\ y=-2。\end{cases}$
(3) 将原方程组整理,得$\begin{cases}x - 3y = -4,① \\ x + 2y = 1,②\end{cases}$ ② - ①,得$5y=5$,解得$y=1$,把$y=1$代入①,得$x-3=-4$,解得$x=-1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=1。\end{cases}$
(4) 将原方程组化简,得$\begin{cases}3x + 2y = 22,① \\ 3x - 2y = 5,②\end{cases}$ ① + ②,得$6x=27$,解得$x=\frac{9}{2}$,把$x=\frac{9}{2}$代入②,得$3×\frac{9}{2}-2y=5$,解得$y=\frac{17}{4}$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{9}{2}, \\ y=\frac{17}{4}。\end{cases}$
2. [2025 徐州月考] 解方程组：$\begin{cases}13x + 14y = 40, \\14x + 13y = 41。\end{cases}$
答案
解:$\begin{cases}13x + 14y = 40,① \\14x + 13y = 41,②\end{cases}$
① + ②,得$27x+27y=81$,即$x+y=3$,③
① - ②,得$-x+y=-1$,④
③ + ④,得$2y=2$,解得$y=1$,
把$y=1$代入③,得$x=2$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\ y=1。\end{cases}$
① + ②,得$27x+27y=81$,即$x+y=3$,③
① - ②,得$-x+y=-1$,④
③ + ④,得$2y=2$,解得$y=1$,
把$y=1$代入③,得$x=2$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\ y=1。\end{cases}$
3. [2025东营月考改编] 解方程组：$\begin{cases}20x + 19y = 17, \\17x + 16y = 14。\end{cases}$
答案
解:$\begin{cases}20x + 19y = 17,① \\17x + 16y = 14,②\end{cases}$
① - ②,得$3x+3y=3$,所以$x+y=1$,③
③×16,得$16x+16y=16$,④
② - ④,得$x=-2$,
把$x=-2$代入③,得$y=3$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-2, \\ y=3。\end{cases}$
① - ②,得$3x+3y=3$,所以$x+y=1$,③
③×16,得$16x+16y=16$,④
② - ④,得$x=-2$,
把$x=-2$代入③,得$y=3$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-2, \\ y=3。\end{cases}$
4. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} \dfrac{2}{3}(2x + y) = 4, \\ \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{6}(2x + y) = 8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x + 2y - 2 = 0, \\ \dfrac{3x + 2y + 1}{5} - 2x = -\dfrac{2}{5}。 \end{cases}$
5. 新趋势·过程性学习 [2025 宝鸡月考] 阅读材料:善于思考的小军在解方程组$\begin{cases} 2x + 5y = 3, ① \\ 4x + 11y = 5 ② \end{cases}$时,采用了一种“整体代换”的解法。
解:将②变形,得$4x + 10y + y = 5$,
即$2(2x + 5y) + y = 5$,③
把①代入③,得$2×3 + y = 5$,解得$y = -1$,
把$y = -1$代入①,得$2x -5 =3$,解得$x=4$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=4, \\ y=-1。 \end{cases}$
请你解决以下问题:
(1) 模仿小军的“整体代换”法解方程组$\begin{cases} 3x - 2y =5, ① \\9x -4y =19;② \end{cases}$
(2) 已知 $x, y$ 满足方程组 $\begin{cases} 3x^2 -2xy +12y^2 =47, ① \\2x^2 +xy +8y^2 =36, ② \end{cases}$ 求 $x^2 +4y^2$ 和 $xy$ 的值。
(1) $\begin{cases} \dfrac{2}{3}(2x + y) = 4, \\ \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{6}(2x + y) = 8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x + 2y - 2 = 0, \\ \dfrac{3x + 2y + 1}{5} - 2x = -\dfrac{2}{5}。 \end{cases}$
5. 新趋势·过程性学习 [2025 宝鸡月考] 阅读材料:善于思考的小军在解方程组$\begin{cases} 2x + 5y = 3, ① \\ 4x + 11y = 5 ② \end{cases}$时,采用了一种“整体代换”的解法。
解:将②变形,得$4x + 10y + y = 5$,
即$2(2x + 5y) + y = 5$,③
把①代入③,得$2×3 + y = 5$,解得$y = -1$,
把$y = -1$代入①,得$2x -5 =3$,解得$x=4$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=4, \\ y=-1。 \end{cases}$
请你解决以下问题:
(1) 模仿小军的“整体代换”法解方程组$\begin{cases} 3x - 2y =5, ① \\9x -4y =19;② \end{cases}$
(2) 已知 $x, y$ 满足方程组 $\begin{cases} 3x^2 -2xy +12y^2 =47, ① \\2x^2 +xy +8y^2 =36, ② \end{cases}$ 求 $x^2 +4y^2$ 和 $xy$ 的值。
答案
4. 解:(1) $\begin{cases}\dfrac{2}{3}(2x + y) = 4,① \\ \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{6}(2x + y) = 8,②\end{cases}$
由①,得$2x+y=6$,③
把③代入②,得$\frac{3}{4}x+\frac{5}{6}×6=8$,解得$x=4$,
把$x=4$代入③,得$8+y=6$,解得$y=-2$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4, \\ y=-2。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x + 2y - 2 = 0,① \\ \dfrac{3x + 2y + 1}{5} - 2x = -\dfrac{2}{5},②\end{cases}$
由①,得$3x+2y=2$,③
把③代入②,得$\frac{3}{5}-2x=-\frac{2}{5}$,解得$x=\frac{1}{2}$,
把$x=\frac{1}{2}$代入③,得$\frac{3}{2}+2y=2$,解得$y=\frac{1}{4}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{1}{2}, \\ y=\frac{1}{4}。\end{cases}$
5. 解:(1) 将②变形,得$3(3x-2y)+2y=19$,③
把①代入③,得$3×5+2y=19$,解得$y=2$,
把$y=2$代入①,得$3x-4=5$,解得$x=3$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\ y=2。\end{cases}$
(2) 由②,得$2(x^2+4y^2)+xy=36$,
所以$xy=36-2(x^2+4y^2)$。③
由①,得$3(x^2+4y^2)-2xy=47$,④
把③代入④,得$3(x^2+4y^2)-2[36-2(x^2+4y^2)]=47$,
所以$x^2+4y^2=17$。
把$x^2+4y^2=17$代入③,得$xy=2$。
由①,得$2x+y=6$,③
把③代入②,得$\frac{3}{4}x+\frac{5}{6}×6=8$,解得$x=4$,
把$x=4$代入③,得$8+y=6$,解得$y=-2$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4, \\ y=-2。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x + 2y - 2 = 0,① \\ \dfrac{3x + 2y + 1}{5} - 2x = -\dfrac{2}{5},②\end{cases}$
由①,得$3x+2y=2$,③
把③代入②,得$\frac{3}{5}-2x=-\frac{2}{5}$,解得$x=\frac{1}{2}$,
把$x=\frac{1}{2}$代入③,得$\frac{3}{2}+2y=2$,解得$y=\frac{1}{4}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{1}{2}, \\ y=\frac{1}{4}。\end{cases}$
5. 解:(1) 将②变形,得$3(3x-2y)+2y=19$,③
把①代入③,得$3×5+2y=19$,解得$y=2$,
把$y=2$代入①,得$3x-4=5$,解得$x=3$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3, \\ y=2。\end{cases}$
(2) 由②,得$2(x^2+4y^2)+xy=36$,
所以$xy=36-2(x^2+4y^2)$。③
由①,得$3(x^2+4y^2)-2xy=47$,④
把③代入④,得$3(x^2+4y^2)-2[36-2(x^2+4y^2)]=47$,
所以$x^2+4y^2=17$。
把$x^2+4y^2=17$代入③,得$xy=2$。
