8. [2025石家庄月考]如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（）


A.30克
B.25克
C.20克
D.59克

由题意,得$\begin{cases} 3 ▲ +2 ● = 80,① \\ 3 ● +2 ▲ = 70,② \end{cases}$ ① + ②,得5 ▲ + 5 ● = 150,所以 ▲ + ● = 30,即需要在天平右盘中放入砝码30克。

9. [2025 西安高新一中月考改编] 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x + 2y = 10, \\ ax + by = 1 \end{cases}$和$\begin{cases} 2x - y = 5, \\ bx + ay = 6 \end{cases}$的解相同，则$4a^2 + b^2$的平方根是________。

因为关于 x, y 的方程组 $\begin{cases} x + 2y = 10, \\ ax + by = 1 \end{cases}$ 和$\begin{cases} 2x - y = 5, \\ bx + ay = 6 \end{cases}$ 的解相同, 所以 $\begin{cases} x + 2y = 10, \\ 2x - y = 5, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 4, \\ y = 3, \end{cases}$ 则$\begin{cases} x = 4, \\ y = 3 \end{cases}$ 是方程组 $\begin{cases} ax + by = 1, \\ bx + ay = 6 \end{cases}$ 的解, 可得 $\begin{cases} 4a + 3b = 1, \\ 4b + 3a = 6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = -2, \\ b = 3, \end{cases}$ 所以 $4a^2 + b^2 = 4 × ( - 2)^2 + 3^2 = 25,$ 所以 $4a^2 + b^2$的平方根是 ±5。

10. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}3(x-1)=4(y-4), \\5(y-1)=3(x+5);\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y-3}{2}, \\3x+4y=32。\end{cases}$

(1) 将原方程组变形,得$\begin{cases}4y - 3x = 13,① \\5y - 3x = 20,②\end{cases}$
② - ①,得$y = 7$,
把$y = 7$代入①,得$4 × 7 - 3x = 13,$解得$x = 5$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 5, \\ y = 7。 \end{cases}$
(2) 原方程组可变形为$\begin{cases}2x - 5y = - 17,① \\3x + 4y = 32,②\end{cases}$
① × 4 + ② × 5,得$23x = 92,$解得$x = 4$,
把$x = 4$代入①,得$8 - 5y = - 17,$解得$y = 5$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 4, \\ y = 5。 \end{cases}$

11. 新趋势·过程性学习 [2025 南阳期末] 阅读以下内容:已知有理数$m,n$满足$m+n=3$,且$\begin{cases}3m+2n=7k-4, \\2m+3n=-2,\end{cases}$求$k$的值。
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路。
甲同学:先解关于$m,n$的方程组$\begin{cases}3m+2n=7k-4, \\2m+3n=-2,\end{cases}$再求$k$的值。
乙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求$k$的值。
丙同学:先解方程组$\begin{cases}m+n=3, \\2m+3n=-2,\end{cases}$再求$k$的值。
试选择其中一名同学的解题思路,解答此题。

选择甲同学的解题思路,解答如下：
$\begin{cases}3m + 2n = 7k - 4,① \\2m + 3n = - 2,②\end{cases}$
① × 3 - ② × 2,得$5m = 21k - 8,$解得$m = \dfrac{21k - 8}{5}$。
② × 3 - ① × 2,得$5n = 2 - 14k,$解得$n = \dfrac{2 - 14k}{5}$。
因为$m + n = 3,$所以$\dfrac{21k - 8}{5} + \dfrac{2 - 14k}{5} = 3,$解得$k = 3$。
选择乙同学的解题思路,解答如下：
$\begin{cases}3m + 2n = 7k - 4,① \\2m + 3n = - 2,②\end{cases}$
① + ②,得$5m + 5n = 7k - 6,$所以$m + n = \dfrac{7k - 6}{5}$。
因为$m + n = 3,$所以$\dfrac{7k - 6}{5} = 3,$解得$k = 3$。
选择丙同学的解题思路,解答如下：
联立,得$\begin{cases}m + n = 3,① \\2m + 3n = - 2,②\end{cases}$
① × 3 - ②,得$m = 11$,
把$m = 11$代入①,得$11 + n = 3,$解得$n = - 8$,
把$m = 11,n = - 8$代入$3m + 2n = 7k - 4$,
得$33 - 16 = 7k - 4,$解得$k = 3$。

12. 运算能力 [2026重庆沙坪坝区月考] 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = -a + 1, \\ x - 3y = 4a + 6\end{cases}$（$a$是常数），若不论$a$取什么实数，代数式$kx - y$（$k$是常数）的值始终不变，则$k$的值为 ______ 。

解方程组$\begin{cases}x + 2y = -a + 1,\\x - 3y = 4a + 6\end{cases}$（$a$是常数），得$\begin{cases}x = a + 3,\\y = -a - 1,\end{cases}$则$kx - y = k(a + 3) - (-a - 1) = (k + 1)a + 3k + 1$，当$k = -1$时，不论$a$取何值，$kx - y = 3k + 1 = -2$，故$k$的值为$-1$。

$\begin{cases}2x + y =5 \\x +2y=4\end{cases}$，则$x + y$的值为 ______ 。

1. $\begin{cases}2x + y =5 ,①\\x +2y=4 ,②\end{cases}$ ①+②,得3x+3y=9,所以x+y=3。

2. 系数变为非“轮换型” [2025邵阳期末] 已知方程组$\begin{cases}2x - 3y = 14, \\x - 4y = 12,\end{cases}$则$x + y$的值是 ______ 。

2. $\begin{cases}2x - 3y = 14,①\\x - 4y = 12,②\end{cases}$ ①-②,得x+y=2。

3. 求未知数的和变为求未知数的差 [2026太原五中月考] 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x + y = -a + 4, \\x + 2y = 3 - a,\end{cases}$则$x - y$的值为 ______ 。

3. $\begin{cases}2x + y = -a + 4,①\\x + 2y = 3 - a,②\end{cases}$ ①-②,得$x - y = -a + 4 - 3 + a = 1$。

满足方程组$\begin{cases}2x + y = -1, \\3x - 8y = 9,\end{cases}$则$5x - 7y$的值为 ______ 。

4. $\begin{cases}2x + y = -1,①\\3x - 8y = 9,②\end{cases}$ ①+②,得5x-7y=8。

5. 变为“新定义”问题 [2025 河南省实验中学月考] 对于$x,y$定义一种新运算“$*$”：$x*y = ax + by$，其中$a,b$为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算。已知$3*5 = 15$，$4*7 = 28$，则$1*2$运算的结果为。

5. 由题意,得$\begin{cases}3a + 5b = 15,①\\4a + 7b = 28,②\end{cases}$ 1*2 = a + 2b,②-①,得a+2b=13,所以1*2运算的结果为13。