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1. [2026 张家口桥西区期末] 解方程组 $\begin{cases}2x -5y=7,① \\2x +3y=-1②\end{cases}$ 时，将①-②可得（ ）
A.$-2y=8$
B.$-8y=8$
C.$2y=6$
D.$8y=-8$
A.$-2y=8$
B.$-8y=8$
C.$2y=6$
D.$8y=-8$
答案
① - ②,得(2x - 5y) - (2x + 3y) = 7 - ( - 1 ),即-8y = 8。
2. [2025平顶山期末] 在解关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}6x + my = 3, ① \\2x + ny = -6 ②\end{cases}$时,若① + ②可以直接消去一个未知数,则$m,n$之间的数量关系可以用等式表示为 ______ 。
答案
$\begin{cases}6x + my = 3,① \\2x + ny = -6,②\end{cases}$ ① + ②,得8x + (m + n)y = -3,因为① + ②可以直接消去一个未知数,所以m + n = 0。
3. 用加减消元法解下列方程组：
(1) $\begin{cases} 3x + 5y = 21, \\ 2x - 5y = -11; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 8y + 2x = 7, \\ 2x - 4y = 1。 \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 3x + 5y = 21, \\ 2x - 5y = -11; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 8y + 2x = 7, \\ 2x - 4y = 1。 \end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases} 3x + 5y = 21,① \\ 2x - 5y = -11,② \end{cases}$
① + ②,得5x = 10,解得x = 2,
将x = 2代入①,得6 + 5y = 21,解得y = 3,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3。 \end{cases}$
(2) $\begin{cases}8y + 2x = 7,① \\2x - 4y = 1,②\end{cases}$
① - ②,得12y = 6,解得$y = \frac{1}{2}$,
将$y = \frac{1}{2}$代入②,得2x - 2 = 1,解得$x = \frac{3}{2}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{3}{2}, \\ y = \frac{1}{2}。 \end{cases}$
① + ②,得5x = 10,解得x = 2,
将x = 2代入①,得6 + 5y = 21,解得y = 3,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3。 \end{cases}$
(2) $\begin{cases}8y + 2x = 7,① \\2x - 4y = 1,②\end{cases}$
① - ②,得12y = 6,解得$y = \frac{1}{2}$,
将$y = \frac{1}{2}$代入②,得2x - 2 = 1,解得$x = \frac{3}{2}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{3}{2}, \\ y = \frac{1}{2}。 \end{cases}$
4. [2025 石家庄期末]已知二元一次方程组$\begin{cases}2x +5y=13,① \\3x -7y=-7,②\end{cases}$用加减消元法解方程组正确的是（ ）
A.①×5 -②×7
B.①×2 +②×3
C.①×3 -②×2
D.①×7 -②×5
A.①×5 -②×7
B.①×2 +②×3
C.①×3 -②×2
D.①×7 -②×5
答案
用加减消元法解方程组时,可以①×3 - ②×2消去x,或①×7 + ②×5消去y。
5. [2026北京海淀区期末]用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}5x - y = 6, ① \\3x + 2y = 14, ②\end{cases}$时，下列方案中消元正确的有 ______ 个。
方案一:要消去$x$,可以将①$×3$+②$×5$。
方案二:要消去$x$,可以将①$×5$-②$×3$。
方案三:要消去$y$,可以将①$×2$-②。
方案四:要消去$y$,可以将①$×2$+②。
方案一:要消去$x$,可以将①$×3$+②$×5$。
方案二:要消去$x$,可以将①$×5$-②$×3$。
方案三:要消去$y$,可以将①$×2$-②。
方案四:要消去$y$,可以将①$×2$+②。
答案
方案一:①×3 + ②×5,得30x + 7y = 88,x的系数不为0,无法消去x,方案一错误。方案二:①×5 - ②×3,得16x - 11y = -12,x的系数不为0,无法消去x,方案二错误。方案三:①×2 - ②,得7x - 4y = -2,y的系数不为0,无法消去y,方案三错误。方案四:①×2 + ②,得13x = 26,y的系数为0,成功消去y,方案四正确。正确的方案共1个。
6. ▶一题多解 [2026 温州月考] 已知$\begin{cases}2x - y = 5, \\4x + 3y = -10,\end{cases}$则$4x -7y =$ ______ 。
答案
优解：$\begin{cases}2x - y = 5,① \\4x + 3y = -10,②\end{cases}$ ①×4 - ②,得4(2x - y) - (4x + 3y) = 8x - 4y - 4x - 3y = 4x - 7y = 30。
通解：解$\begin{cases}2x - y = 5, \\4x + 3y = -10,\end{cases}$得$\begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\y = -4,\end{cases}$把$\begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\y = -4\end{cases}$代入4x - 7y,得$4×\frac{1}{2} - 7×(-4) = 2 + 28 = 30$。
通解：解$\begin{cases}2x - y = 5, \\4x + 3y = -10,\end{cases}$得$\begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\y = -4,\end{cases}$把$\begin{cases}x = \frac{1}{2}, \\y = -4\end{cases}$代入4x - 7y,得$4×\frac{1}{2} - 7×(-4) = 2 + 28 = 30$。
7. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} 9x + 2y = 15, \\ 3x + 4y = 10; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x - 4y = 10, \\ 2x + y = 11; \end{cases}$
(3) $\boxed{一题多解}$ $\begin{cases} 3x + 2y = 7, \\ 2x + 3y = 8。 \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 9x + 2y = 15, \\ 3x + 4y = 10; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x - 4y = 10, \\ 2x + y = 11; \end{cases}$
(3) $\boxed{一题多解}$ $\begin{cases} 3x + 2y = 7, \\ 2x + 3y = 8。 \end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases}9x + 2y = 15,① \\3x + 4y = 10,②\end{cases}$
①×2,得18x + 4y = 30,③
③ - ②,得15x = 20,解得$x = \frac{4}{3}$,
把$x = \frac{4}{3}$代入②,得$3×\frac{4}{3} + 4y = 10$,解得$y = \frac{3}{2}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{4}{3}, \\ y = \frac{3}{2}。 \end{cases}$
(2) $\begin{cases}x - 4y = 10,① \\2x + y = 11,②\end{cases}$
① + ②×4,得9x = 54,解得x = 6,
把x = 6代入②,得12 + y = 11,解得y = -1,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 6, \\ y = -1。 \end{cases}$
(3) 通解：
①×2,得6x + 4y = 14,③
②×3,得6x + 9y = 24,④
④ - ③,得5y = 10,解得y = 2,
把y = 2代入①,得3x + 2×2 = 7,解得x = 1,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2。 \end{cases}$
优解：
① + ②,得5x + 5y = 15,
整理,得x + y = 3,③
① - ②,得x - y = -1,④
③ + ④,得2x = 2,解得x = 1,
把x = 1代入③,得1 + y = 3,解得y = 2,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2。 \end{cases}$
①×2,得18x + 4y = 30,③
③ - ②,得15x = 20,解得$x = \frac{4}{3}$,
把$x = \frac{4}{3}$代入②,得$3×\frac{4}{3} + 4y = 10$,解得$y = \frac{3}{2}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{4}{3}, \\ y = \frac{3}{2}。 \end{cases}$
(2) $\begin{cases}x - 4y = 10,① \\2x + y = 11,②\end{cases}$
① + ②×4,得9x = 54,解得x = 6,
把x = 6代入②,得12 + y = 11,解得y = -1,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 6, \\ y = -1。 \end{cases}$
(3) 通解：
①×2,得6x + 4y = 14,③
②×3,得6x + 9y = 24,④
④ - ③,得5y = 10,解得y = 2,
把y = 2代入①,得3x + 2×2 = 7,解得x = 1,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2。 \end{cases}$
优解：
① + ②,得5x + 5y = 15,
整理,得x + y = 3,③
① - ②,得x - y = -1,④
③ + ④,得2x = 2,解得x = 1,
把x = 1代入③,得1 + y = 3,解得y = 2,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2。 \end{cases}$
