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1.(2026北京清华大学附属中学期末)已知$(a+2b)y^2 - y^{a-1}=3$是关于$y$的一元一次方程，则$a+b$的值为
1
。答案
1. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。本题中方程是关于y的一元一次方程，所以首先要消去y的二次项，也就是二次项的系数必须为0；其次剩下的含y的项的次数必须是1，由此可以列出关于a、b的等式，先求出a的值，再代入求出b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义可得：
1. 含$y^2$的项不存在，即其系数为0：$a + 2b = 0$
2. 剩余含y的项的次数为1：$a - 1 = 1$
先解$a - 1 = 1$，得$a = 2$。
将$a = 2$代入$a + 2b = 0$，得$2 + 2b = 0$，解得$b = -1$。
因此$a + b = 2 + (-1) = 1$。
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的定义、代数式求值
【点评】
本题的易错点是容易忽略二次项系数必须为0的条件，解题时要紧扣一元一次方程的定义，既要保证未知数的最高次数为1，也要保证所有次数高于1的项的系数都为0。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。本题中方程是关于y的一元一次方程，所以首先要消去y的二次项，也就是二次项的系数必须为0；其次剩下的含y的项的次数必须是1，由此可以列出关于a、b的等式，先求出a的值，再代入求出b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义可得：
1. 含$y^2$的项不存在，即其系数为0：$a + 2b = 0$
2. 剩余含y的项的次数为1：$a - 1 = 1$
先解$a - 1 = 1$，得$a = 2$。
将$a = 2$代入$a + 2b = 0$，得$2 + 2b = 0$，解得$b = -1$。
因此$a + b = 2 + (-1) = 1$。
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的定义、代数式求值
【点评】
本题的易错点是容易忽略二次项系数必须为0的条件，解题时要紧扣一元一次方程的定义，既要保证未知数的最高次数为1，也要保证所有次数高于1的项的系数都为0。
【难度系数】
0.7
2.❶易错 若$(m-4)x^{2|m|-7}-4m=0$是关于x的一元一次方程,求m的值.
答案
2. 解:由题意得 2|m|-7=1 且 m-4≠0,
所以 m=-4.
所以 m 的值为-4.
易错警示
注意一元一次方程中未知数的系数不为0.
所以 m=-4.
所以 m 的值为-4.
易错警示
注意一元一次方程中未知数的系数不为0.
解析
【分析】
要解这道题，首先需明确一元一次方程的判定规则：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是未知数的系数不能为0。本题中方程是关于x的一元一次方程，因此x的次数$2|m|-7$必须等于1，同时x的系数$m-4$不能为0，联立这两个条件就能求出m的正确值，注意不要漏掉系数不为0的限制，避免出现多解错误。
【解析】
解：根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}2|m|-7=1 \\m-4 ≠ 0\end{cases}$
先解第一个方程：$2|m|-7=1$，移项得$2|m|=8$，两边同时除以2得$|m|=4$，因此$m=4$或$m=-4$。
再结合第二个条件：$m-4 ≠ 0$，即$m ≠ 4$。
综上可得$m=-4$。
【答案】
$m=-4$
【知识点】
一元一次方程的定义；绝对值运算；参数取值限制
【点评】
本题是含字母参数的一元一次方程的典型易错题，解题核心是牢记一元一次方程需要同时满足的两个核心条件：未知数的次数为1、未知数的系数不为0，很多同学容易忽略系数不为0的限制，导致得出错误的多解结果，解题后可代入验证参数是否符合要求。
【难度系数】
0.6
要解这道题，首先需明确一元一次方程的判定规则：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是未知数的系数不能为0。本题中方程是关于x的一元一次方程，因此x的次数$2|m|-7$必须等于1，同时x的系数$m-4$不能为0，联立这两个条件就能求出m的正确值，注意不要漏掉系数不为0的限制，避免出现多解错误。
【解析】
解：根据一元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}2|m|-7=1 \\m-4 ≠ 0\end{cases}$
先解第一个方程：$2|m|-7=1$，移项得$2|m|=8$，两边同时除以2得$|m|=4$，因此$m=4$或$m=-4$。
再结合第二个条件：$m-4 ≠ 0$，即$m ≠ 4$。
综上可得$m=-4$。
【答案】
$m=-4$
【知识点】
一元一次方程的定义；绝对值运算；参数取值限制
【点评】
本题是含字母参数的一元一次方程的典型易错题，解题核心是牢记一元一次方程需要同时满足的两个核心条件：未知数的次数为1、未知数的系数不为0，很多同学容易忽略系数不为0的限制，导致得出错误的多解结果，解题后可代入验证参数是否符合要求。
【难度系数】
0.6
3. (2025 四川成都新都区期末)已知$x=5$是关于$x$的方程$ax-8=20+a$的解,则$a$的值为 (
A.3
B.5
C.6
D.7
D
)A.3
B.5
C.6
D.7
答案
3. D
解析
【分析】
首先明确方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=5是原方程的解，那么将x=5代入原方程后等式仍然成立，此时原方程就转化为只含未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（移项、合并同类项、系数化为1）求解，即可得到a的值。
【解析】
∵x=5是方程$ax-8=20+a$的解
∴把x=5代入原方程，可得：
$5a - 8 = 20 + a$
移项，得：$5a - a = 20 + 8$
合并同类项，得：$4a = 28$
系数化为1，得：$a = 7$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是含字母参数的一元一次方程基础题型，核心考查方程解的应用，解题关键是将已知解代入原方程，把含参数的方程转化为常规一元一次方程求解，掌握方程解的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
首先明确方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=5是原方程的解，那么将x=5代入原方程后等式仍然成立，此时原方程就转化为只含未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（移项、合并同类项、系数化为1）求解，即可得到a的值。
【解析】
∵x=5是方程$ax-8=20+a$的解
∴把x=5代入原方程，可得：
$5a - 8 = 20 + a$
移项，得：$5a - a = 20 + 8$
合并同类项，得：$4a = 28$
系数化为1，得：$a = 7$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是含字母参数的一元一次方程基础题型，核心考查方程解的应用，解题关键是将已知解代入原方程，把含参数的方程转化为常规一元一次方程求解，掌握方程解的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
4. (2025广东东莞期末)小明将作业的照片打印出来后,发现方程$\frac{x-4}{3}=\frac{x}{2}-■$中的一个数被■遮住了,小明去询问老师,老师告诉小明该方程的解是$x=-2$,那么这个被■遮住的数是（
A.-1
B.-2
C.2
D.1
D
）A.-1
B.-2
C.2
D.1
答案
4. D
解析
【分析】
本题已知一元一次方程的解，求方程中被遮住的常数，解题思路如下：首先明确一元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此我们可以把已知的解$x=-2$代入原方程，将被遮住的数设为未知参数，这样原方程就转化为只含有这个参数的一元一次方程，解这个方程就能求出被遮住的数。
【解析】
设被■遮住的数为$a$。
因为$x=-2$是方程$\frac{x-4}{3}=\frac{x}{2}-a$的解，所以将$x=-2$代入方程，左右两边相等：
左边：$\frac{-2 - 4}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
右边：$\frac{-2}{2} - a = -1 - a$
可得方程：$-2 = -1 - a$
移项得：$a = -1 + 2$
解得：$a = 1$
即被遮住的数是1。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题考查含参数的一元一次方程的求解，解题核心是利用方程的解的性质，将已知解代入原方程，把问题转化为关于未知参数的一元一次方程求解，是对一元一次方程基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
本题已知一元一次方程的解，求方程中被遮住的常数，解题思路如下：首先明确一元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此我们可以把已知的解$x=-2$代入原方程，将被遮住的数设为未知参数，这样原方程就转化为只含有这个参数的一元一次方程，解这个方程就能求出被遮住的数。
【解析】
设被■遮住的数为$a$。
因为$x=-2$是方程$\frac{x-4}{3}=\frac{x}{2}-a$的解，所以将$x=-2$代入方程，左右两边相等：
左边：$\frac{-2 - 4}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
右边：$\frac{-2}{2} - a = -1 - a$
可得方程：$-2 = -1 - a$
移项得：$a = -1 + 2$
解得：$a = 1$
即被遮住的数是1。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题考查含参数的一元一次方程的求解，解题核心是利用方程的解的性质，将已知解代入原方程，把问题转化为关于未知参数的一元一次方程求解，是对一元一次方程基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
5. (2025广东汕头潮南区期末)若关于x的方程$5m+3x=1+x$的解比关于x的方程$2x+m=3m$的解大2，则m的值为 (
A.$-\dfrac{3}{7}$
B.$\dfrac{3}{7}$
C.$\dfrac{5}{7}$
D.$-\dfrac{5}{7}$
A
)A.$-\dfrac{3}{7}$
B.$\dfrac{3}{7}$
C.$\dfrac{5}{7}$
D.$-\dfrac{5}{7}$
答案
5. A 解析 解方程$5m+3x=1+x$,得$x=\frac{1-5m}{2}$. 解方程$2x+m=3m$,得$x=m$. 由题意得$\frac{1-5m}{2}-m=2$,解得$m=-\frac{3}{7}$. 故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，可按三步思考：第一步，先分别解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含m的代数式表示；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”的条件，确定等量关系：第一个方程的解 - 第二个方程的解=2，列出关于m的一元一次方程；第三步，求解新得到的一元一次方程，即可得到m的值。
【解析】
1. 解方程$5m+3x=1+x$：
移项，得$3x - x = 1 - 5m$，
合并同类项，得$2x = 1 - 5m$，
系数化为1，得$x = \frac{1-5m}{2}$。
2. 解方程$2x+m=3m$：
移项，得$2x = 3m - m$，
合并同类项，得$2x = 2m$，
系数化为1，得$x = m$。
3. 根据题意列方程求解：
由第一个方程的解比第二个大2，可得$\frac{1-5m}{2} - m = 2$，
两边同乘2去分母，得$1 - 5m - 2m = 4$，
合并同类项，得$1 - 7m = 4$，
移项得$-7m = 3$，
系数化为1，得$m = -\frac{3}{7}$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法、方程的解、列方程求解
【点评】
本题属于含参数一元一次方程的基础综合题，解题核心是先通过解方程用参数表示出两个方程的解，再结合解的数量关系建立关于参数的方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按三步思考：第一步，先分别解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含m的代数式表示；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”的条件，确定等量关系：第一个方程的解 - 第二个方程的解=2，列出关于m的一元一次方程；第三步，求解新得到的一元一次方程，即可得到m的值。
【解析】
1. 解方程$5m+3x=1+x$：
移项，得$3x - x = 1 - 5m$，
合并同类项，得$2x = 1 - 5m$，
系数化为1，得$x = \frac{1-5m}{2}$。
2. 解方程$2x+m=3m$：
移项，得$2x = 3m - m$，
合并同类项，得$2x = 2m$，
系数化为1，得$x = m$。
3. 根据题意列方程求解：
由第一个方程的解比第二个大2，可得$\frac{1-5m}{2} - m = 2$，
两边同乘2去分母，得$1 - 5m - 2m = 4$，
合并同类项，得$1 - 7m = 4$，
移项得$-7m = 3$，
系数化为1，得$m = -\frac{3}{7}$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程解法、方程的解、列方程求解
【点评】
本题属于含参数一元一次方程的基础综合题，解题核心是先通过解方程用参数表示出两个方程的解，再结合解的数量关系建立关于参数的方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. 新趋势·定义新概念（2026四川达州渠县期末）定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程是“美好方程”.例
如,方程$4x=8$和$x+1=0$是美好方程.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与$4x-2=x+10$是美好方程,求$m$的值.
(2)有两个关于$y$的方程是美好方程,且这两个方程的解之差为8.若其中一个方程的解为$y=n$,求$n$的值.
如,方程$4x=8$和$x+1=0$是美好方程.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与$4x-2=x+10$是美好方程,求$m$的值.
(2)有两个关于$y$的方程是美好方程,且这两个方程的解之差为8.若其中一个方程的解为$y=n$,求$n$的值.
答案
6. 解:(1)解方程$3x+m=0$,得$x=-\frac{m}{3}$.
解方程$4x-2=x+10$,得$x=4$.
因为关于$x$的方程$3x+m=0$与$4x-2=x+10$是美好方程,
所以$-\frac{m}{3}+4=1$.
解得$m=9$.
(2)因为两个关于$y$的方程是美好方程,且其中一个方程的解为$y=n$,
所以另一个方程的解为$y=1-n$.
又两个方程的解之差为8,
所以$1-n-n=8$或$n-(1-n)=8$.
解得$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$.
解方程$4x-2=x+10$,得$x=4$.
因为关于$x$的方程$3x+m=0$与$4x-2=x+10$是美好方程,
所以$-\frac{m}{3}+4=1$.
解得$m=9$.
(2)因为两个关于$y$的方程是美好方程,且其中一个方程的解为$y=n$,
所以另一个方程的解为$y=1-n$.
又两个方程的解之差为8,
所以$1-n-n=8$或$n-(1-n)=8$.
解得$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
本题是结合新定义的一元一次方程问题，解题核心是准确理解“美好方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1。
（1）解题思路：先分别求出两个方程的解，其中方程$3x+m=0$的解用含$m$的代数式表示，方程$4x-2=x+10$可直接求出常数解，再根据“美好方程”的定义，令两个解的和等于1，列关于$m$的一元一次方程求解即可。
（2）解题思路：已知其中一个方程的解为$y=n$，根据定义可得另一个方程的解为$1-n$；因为未明确两个解的大小关系，“解之差为8”要分两种情况讨论：①$1-n$比$n$大8，②$n$比$1-n$大8，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$3x+m=0$，移项得$3x=-m$，系数化为1得$x=-\frac{m}{3}$。
解方程$4x-2=x+10$，移项得$4x-x=10+2$，合并同类项得$3x=12$，系数化为1得$x=4$。
因为两个方程是“美好方程”，所以两个解的和为1，可得：
$-\frac{m}{3} + 4 = 1$
移项计算得$-\frac{m}{3}=-3$，解得$m=9$。
(2) 已知两个关于$y$的方程是“美好方程”，其中一个解为$y=n$，则另一个方程的解为$1-n$。
因为两个解的差为8，分两种情况：
①当$(1-n)-n=8$时，化简得$1-2n=8$，解得$n=-\frac{7}{2}$；
②当$n-(1-n)=8$时，化简得$2n-1=8$，解得$n=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)$m=9$；(2)$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$
【知识点】
新定义问题，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义“美好方程”为背景考查一元一次方程的应用，解题关键是准确理解新定义的规则，第二问要注意两数差未明确顺序时需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是结合新定义的一元一次方程问题，解题核心是准确理解“美好方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1。
（1）解题思路：先分别求出两个方程的解，其中方程$3x+m=0$的解用含$m$的代数式表示，方程$4x-2=x+10$可直接求出常数解，再根据“美好方程”的定义，令两个解的和等于1，列关于$m$的一元一次方程求解即可。
（2）解题思路：已知其中一个方程的解为$y=n$，根据定义可得另一个方程的解为$1-n$；因为未明确两个解的大小关系，“解之差为8”要分两种情况讨论：①$1-n$比$n$大8，②$n$比$1-n$大8，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$3x+m=0$，移项得$3x=-m$，系数化为1得$x=-\frac{m}{3}$。
解方程$4x-2=x+10$，移项得$4x-x=10+2$，合并同类项得$3x=12$，系数化为1得$x=4$。
因为两个方程是“美好方程”，所以两个解的和为1，可得：
$-\frac{m}{3} + 4 = 1$
移项计算得$-\frac{m}{3}=-3$，解得$m=9$。
(2) 已知两个关于$y$的方程是“美好方程”，其中一个解为$y=n$，则另一个方程的解为$1-n$。
因为两个解的差为8，分两种情况：
①当$(1-n)-n=8$时，化简得$1-2n=8$，解得$n=-\frac{7}{2}$；
②当$n-(1-n)=8$时，化简得$2n-1=8$，解得$n=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)$m=9$；(2)$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$
【知识点】
新定义问题，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义“美好方程”为背景考查一元一次方程的应用，解题关键是准确理解新定义的规则，第二问要注意两数差未明确顺序时需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 某同学在解关于$x$的方程$7a - x = 12$时，误将$-x$看作$+x$，因而得到方程的解为$x=-2$，则原方程的解为 （
A.$x=-14$
B.$x=2$
C.$x=10$
D.$x=14$
B
）A.$x=-14$
B.$x=2$
C.$x=10$
D.$x=14$
答案
7. B
解析
【分析】
本题属于“错中求解”类的一元一次方程问题，解题思路分两步走：第一步，明确错误的解对应看错符号后的方程，将错解代入看错的方程即可求出参数a的值；第二步，把求出的a代入原方程，解一元一次方程就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 先求参数a的值：
该同学误将$-x$看作$+x$，因此他实际解的方程为$\boldsymbol{7a + x = 12}$，已知这个错误方程的解为$x=-2$。
将$x=-2$代入$7a + x = 12$，得：
$7a + (-2) = 12$
化简得$7a - 2 = 12$，移项得$7a = 12 + 2 = 14$，解得$a=2$。
2. 再求原方程的解：
将$a=2$代入原方程$7a - x = 12$，得：
$7×2 - x = 12$
即$14 - x = 12$，移项得$-x = 12 - 14 = -2$，系数化为1得$x=2$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程中典型的错解问题，核心是抓住“错误的解满足看错后的方程”这一关键点，先求出未知参数，再回代求解原方程即可，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
本题属于“错中求解”类的一元一次方程问题，解题思路分两步走：第一步，明确错误的解对应看错符号后的方程，将错解代入看错的方程即可求出参数a的值；第二步，把求出的a代入原方程，解一元一次方程就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 先求参数a的值：
该同学误将$-x$看作$+x$，因此他实际解的方程为$\boldsymbol{7a + x = 12}$，已知这个错误方程的解为$x=-2$。
将$x=-2$代入$7a + x = 12$，得：
$7a + (-2) = 12$
化简得$7a - 2 = 12$，移项得$7a = 12 + 2 = 14$，解得$a=2$。
2. 再求原方程的解：
将$a=2$代入原方程$7a - x = 12$，得：
$7×2 - x = 12$
即$14 - x = 12$，移项得$-x = 12 - 14 = -2$，系数化为1得$x=2$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程中典型的错解问题，核心是抓住“错误的解满足看错后的方程”这一关键点，先求出未知参数，再回代求解原方程即可，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
8. 解关于$x$的方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$时，小刚在去分母的过程中，等号右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为$x=4$，则方程正确的解为（
A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x=-4$
D.$x=-1$
D
）A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x=-4$
D.$x=-1$
答案
8. D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据小刚的错误操作（去分母时-1漏乘6），写出他计算时用到的错误方程；第二步，小刚求得的x=4是错误方程的解，将x=4代入错误方程即可求出参数a的值；第三步，把a的值代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤求解，即可得到正确的解。
【解析】
1. 先写出小刚去分母时的错误方程：
原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$，去分母时两边应同乘公分母6，小刚漏乘了等号右边的“-1”，因此他得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-1$
2. 将错误解$x=4$代入上述错误方程，求a的值：
左边$=2×(2×4-1)=2×7=14$
右边$=3×(4+a)-1=12+3a-1=11+3a$
左右两边相等，得$14=11+3a$，解得$a=1$
3. 将$a=1$代入原方程，求解正确的解：
原方程变为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-1$
去分母，两边同乘6：$2(2x-1)=3(x+1)-6$
去括号：$4x-2=3x+3-6$
移项合并同类项：$4x-3x=-3+2$
解得$x=-1$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；含参一元一次方程
【点评】
本题属于“错中求解”类的典型题型，解题核心是明确错误的解仍然满足错误操作得到的方程，先通过错解求出未知参数，再代入原方程按规范求解即可，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先根据小刚的错误操作（去分母时-1漏乘6），写出他计算时用到的错误方程；第二步，小刚求得的x=4是错误方程的解，将x=4代入错误方程即可求出参数a的值；第三步，把a的值代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤求解，即可得到正确的解。
【解析】
1. 先写出小刚去分母时的错误方程：
原方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$，去分母时两边应同乘公分母6，小刚漏乘了等号右边的“-1”，因此他得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-1$
2. 将错误解$x=4$代入上述错误方程，求a的值：
左边$=2×(2×4-1)=2×7=14$
右边$=3×(4+a)-1=12+3a-1=11+3a$
左右两边相等，得$14=11+3a$，解得$a=1$
3. 将$a=1$代入原方程，求解正确的解：
原方程变为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-1$
去分母，两边同乘6：$2(2x-1)=3(x+1)-6$
去括号：$4x-2=3x+3-6$
移项合并同类项：$4x-3x=-3+2$
解得$x=-1$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；含参一元一次方程
【点评】
本题属于“错中求解”类的典型题型，解题核心是明确错误的解仍然满足错误操作得到的方程，先通过错解求出未知参数，再代入原方程按规范求解即可，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.7
9. (2026重庆綦江区期末)已知关于x的方程$\frac{bx+3}{8}=\frac{x}{4}+1$的解为正整数，则整数b所有可能的值的积为
21
.答案
9. 21 解析 解方程$\frac{bx+3}{8}=\frac{x}{4}+1$,得$x=\frac{5}{b-2}$.
因为关于$x$的方程$\frac{bx+3}{8}=\frac{x}{4}+1$的解为正整数,
所以$b-2$必须是5的正因数.
所以$b-2=1$或$b-2=5$.
解得$b=3$或$b=7$.
所以整数$b$所有可能的值的积为$3×7=21$.
因为关于$x$的方程$\frac{bx+3}{8}=\frac{x}{4}+1$的解为正整数,
所以$b-2$必须是5的正因数.
所以$b-2=1$或$b-2=5$.
解得$b=3$或$b=7$.
所以整数$b$所有可能的值的积为$3×7=21$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先把参数b当作已知数，按照一元一次方程的常规求解步骤，用含b的式子表示出方程的解x；再结合“解为正整数、b为整数”的条件，可知x的分母是分子的正因数，据此求出b的所有可能取值，最后计算这些取值的乘积即可。
【解析】
解：先求解含参数b的一元一次方程：
去分母，两边同时乘8，得：$bx + 3 = 2x + 8$
移项，得：$bx - 2x = 8 - 3$
合并同类项，得：$(b - 2)x = 5$
当$b ≠ 2$时，系数化为1，得：$x = \frac{5}{b - 2}$
∵ 方程的解为正整数，且b为整数
∴ $b - 2$必须是5的正因数
5的正因数为1、5，因此分情况计算：
当$b - 2 = 1$时，解得$b = 3$；
当$b - 2 = 5$时，解得$b = 7$。
∴ 整数b的所有可能值为3、7，它们的积为$3 × 7 = 21$。
【答案】
21
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 含参一元一次方程解的应用 3. 因数的概念
【点评】
本题解题核心是先将参数看作常数求出方程的解，再结合解的限制条件反推参数的取值，解题时要注意正整数的限制要求，避免多算不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先把参数b当作已知数，按照一元一次方程的常规求解步骤，用含b的式子表示出方程的解x；再结合“解为正整数、b为整数”的条件，可知x的分母是分子的正因数，据此求出b的所有可能取值，最后计算这些取值的乘积即可。
【解析】
解：先求解含参数b的一元一次方程：
去分母，两边同时乘8，得：$bx + 3 = 2x + 8$
移项，得：$bx - 2x = 8 - 3$
合并同类项，得：$(b - 2)x = 5$
当$b ≠ 2$时，系数化为1，得：$x = \frac{5}{b - 2}$
∵ 方程的解为正整数，且b为整数
∴ $b - 2$必须是5的正因数
5的正因数为1、5，因此分情况计算：
当$b - 2 = 1$时，解得$b = 3$；
当$b - 2 = 5$时，解得$b = 7$。
∴ 整数b的所有可能值为3、7，它们的积为$3 × 7 = 21$。
【答案】
21
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 含参一元一次方程解的应用 3. 因数的概念
【点评】
本题解题核心是先将参数看作常数求出方程的解，再结合解的限制条件反推参数的取值，解题时要注意正整数的限制要求，避免多算不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.6
