9. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是()

A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

9.B

【分析】
要确定旋转中心，需依据旋转的性质：旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，即旋转中心在所有对应点连线的垂直平分线上。解题时可以找两组对应点，分别作它们连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心；也可以逐一验证选项中的点到各对应点的距离是否相等，快速得出结果。
【解析】
根据旋转的性质：旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等。我们逐一验证选项：
选项A（点A）：三角形①的各顶点到点A的距离，与三角形②对应顶点到点A的距离不相等，不符合要求，排除；
选项B（点B）：通过数网格计算距离可得，三角形①的三个顶点到点B的距离，分别与三角形②对应三个顶点到点B的距离相等，且对应点与点B连线的夹角相等，符合旋转中心的特征；
选项C（点C）：三角形①、②的对应顶点到点C的距离不相等，不符合要求，排除；
选项D（点D）：三角形①、②的对应顶点到点D的距离不相等，不符合要求，排除。
因此旋转中心为点B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，旋转中心的确定
【点评】
本题是旋转相关的基础题型，解题关键是牢记旋转前后对应点到旋转中心距离相等的性质，既可以通过作对应点连线的垂直平分线找交点求解，也可以通过验证选项的方法快速得到答案，方法灵活，能很好地考查对旋转概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7

10.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=60°$，$BC=2$.将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转，得到$△ A'B'C$，连接$AB'$，且$A$，$B'$，$A'$在同一条直线上，则$AA'=$.

10.6

【分析】
解题时首先利用直角三角形的性质求出原△ABC的边长和各内角度数，再结合旋转的性质得到旋转后对应边、对应角的等量关系，接着根据三点共线求出∠AB'C的度数，利用三角形内角和得到∠ACB'的度数，判定出AB'=B'C，最后将AB'与A'B'相加即可得到AA'的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×2=4。
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴△A'B'C≌△ABC，
∴CB'=CB=2，A'B'=AB=4，∠A'=∠BAC=30°，∠A'B'C=∠B=60°，CA'=CA，
∴∠CAA'=∠A'=30°。
∵A，B'，A'在同一条直线上，
∴∠AB'C=180°-∠A'B'C=180°-60°=120°。
在△AB'C中，∠ACB'=180°-∠CAB'-∠AB'C=180°-30°-120°=30°，
∴∠ACB'=∠CAB'，
∴AB'=B'C=2，
∴AA'=AB'+B'A'=2+4=6。
【答案】
6
【知识点】
旋转的性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了旋转的性质与三角形的相关性质，解题的突破口是结合旋转的性质挖掘边角的等量关系，再通过角度推导得到相等线段，进而求出目标线段的长度，是旋转章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.6

11.【转化思想】如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，将$△ ABC$绕点$B$按逆时针方向旋转$30°$后得到$△ A_1BC_1$，连接$AA_1$，则图中阴影部分的面积为。

11.9

【分析】
本题可利用旋转的性质转化阴影部分面积求解：首先由旋转前后图形全等可知△ABC与△A₁BC₁面积相等，因此阴影部分面积可转化为△ABA₁的面积；再根据旋转角为30°可得等腰△ABA₁的顶角为30°，腰长等于AB的长度，最后利用含30°角的直角三角形的性质求出三角形的高，计算面积即可。
【解析】
由旋转的性质可得：$AB=A_1B=6$，$∠ ABA_1=30°$，$S_{△ ABC}=S_{△ A_1BC_1}$。
阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ A_1BC_1} + S_{△ ABA_1} - S_{△ ABC} = S_{△ ABA_1}$
过点$A$作$AH ⊥ A_1B$，垂足为$H$，
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$∠ ABH=30°$，
$\therefore AH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
$\therefore S_{△ ABA_1}=\frac{1}{2} × A_1B × AH = \frac{1}{2} × 6 × 3 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题运用转化思想将不规则阴影面积转化为规则三角形的面积是解题的突破口，重点考查旋转性质的灵活应用，掌握旋转前后对应边相等、对应角相等、图形全等是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7

12.(雅安中考)如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC,∠ BAC=∠ DAE=40°$,将$△ ADE$绕点A顺时针旋转一定角度,当$AD// BC$时,$∠ BAE$的度数是.

12.$30°$或$150°$

【分析】
解题前先梳理已知条件：△ABC是等腰三角形，已知顶角度数，可先求出底角度数；△ADE绕点A旋转时∠DAE的大小始终为40°不变，AD平行BC存在两种位置情况，需分类讨论：①AD在AB左侧与BC平行；②AD在AC另一侧与BC平行。分别结合平行线的性质计算对应∠BAD的度数，再结合∠DAE的度数求出∠BAE即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
∵AD//BC，分两种情况讨论：
情况1：AD在AB左侧与BC平行，此时两直线平行，内错角相等，得∠DAB=∠B=70°，
又
∵∠DAE=40°，
∴∠BAE=∠DAB - ∠DAE=70°-40°=30°；
情况2：AD在AC另一侧与BC平行，此时两直线平行，同旁内角互补，得∠DAB + ∠B=180°，
∴∠DAB=180°-70°=110°，
又
∵∠DAE=40°，
∴∠BAE=∠DAB + ∠DAE=110°+40°=150°。
综上，∠BAE的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，旋转的性质
【点评】
本题是旋转背景下的角度计算问题，解题的关键是注意AD平行BC存在两种位置，避免漏解，计算时结合等腰三角形、平行线的性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.6

13.如图,四边形ABCD是正方形,△ADF旋转一定角度后得到△ABE,如果AF=5,AB=9,求:
(1)旋转中心为点,旋转角为度;
(2)求DE的长;
(3)求证:BE⊥DF.

13.解:(1)A 90
(2)由旋转的性质,得$AE=AF=5,AD=AB=9.∴DE=AD-AE=9-5=4.$
(3)延长BE交DF于点G.由旋转的性质,得$△ABE≌△ADF.∴BE=DF$,$∠ABE=∠ADF.∵∠ADF+∠F=180°-90°=90°$,$∴∠ABE+∠F=90°,∴∠BGF=180°-90°=90°,∴BE⊥DF.$

【分析】
(1) 确定旋转中心和旋转角：旋转前后图形的公共顶点即为旋转中心，△ADF旋转得到△ABE，公共点为A，因此旋转中心是点A；旋转角是一组对应边的夹角，AD、AB是对应边，正方形中∠DAB=90°，因此旋转角为90度。
(2) 求DE的长：根据旋转性质，旋转前后对应边相等，可得AE=AF、AD=AB，结合已知线段长度，用AD减去AE即可求出DE的长度。
(3) 证明BE⊥DF：要证两直线垂直，可证夹角为90°。延长BE交DF于点G，利用旋转得到的全等三角形对应角相等，将角进行转化，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导得到∠BGF=90°即可完成证明。
【解析】
(1) △ADF旋转后得到△ABE，点A是两三角形的公共顶点，因此旋转中心为点A；AD和AB为对应边，四边形ABCD是正方形，∠DAB=90°，因此旋转角为90度。
(2) 由旋转的性质可得：AE=AF=5，AD=AB=9，因此$DE=AD-AE=9-5=4$。
(3) 证明：延长BE交DF于点G。由旋转的性质可得$△ ABE≌△ ADF$，因此$∠ABE=∠ADF$。
在$△ ADF$中，$∠ DAF=90°$，因此$∠ADF+∠F=180°-90°=90°$，等量代换得$∠ABE+∠F=90°$。
在$△ BGF$中，$∠BGF=180°-(∠ABE+∠F)=180°-90°=90°$，因此$BE⊥DF$。
【答案】
(1) A，90
(2) 4
(3) BE⊥DF，证明成立
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题主要考查旋转性质的应用，结合正方形的特征进行线段长度计算和垂直关系证明，解题核心是熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

14. 如图，将矩形$ABCD(AB＞AD)$绕点$A$逆时针方向旋转$α°$得到矩形$AEFG$，连接$BE$.
(1)若$α=20$，求$∠ EBC$的度数；
(2)如图，当点$E$落在边$CD$上时，连接$BG$与$AE$交于点$P$. 求证：$P$是$BG$的中点.

14.解:(1)$∵$矩形$ABCD$绕点A逆时针旋转$20°$得到矩形AEFG,$∴AE=AB,∠EAB=20°.∴∠AEB=∠ABE=\frac{1}{2}(180°-∠EAB)=80°$.在矩形ABCD中,$∠ABC=90°$,$∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=10°.$
(2)证明:过点B作$BH⊥AE$于点H,则$∠BHP=90°$,同(1)得,$∠AEB=∠ABE=\frac{180°-α°}{2},∴∠EBC=90°-∠ABE=\frac{α°}{2}.∵BH⊥AE,∴∠EBH=90°-∠HEB=\frac{α°}{2}.∴∠EBC=∠EBH.$
$∵∠C=90°,∴BH=BC=AG.∵$矩形$ABCD(AB＞AD)$绕点A逆时针方向旋转$α°$得到矩形AEFG,$∴∠GAE=∠C=90°$.在$△APG$和$△HPB$中,$\begin{cases}∠GPA=∠BPH,\\∠GAP=∠BHP=90°,\\AG=HB,\end{cases}$
$∴△APG≌△HPB(AAS).∴PG=PB.∴P$是$BG$的中点.

【分析】
(1) 求∠EBC的度数，首先根据旋转的性质可得AB=AE、旋转角∠EAB=20°，先在等腰△ABE中计算出∠ABE的度数，再结合矩形内角为90°的性质，用∠ABC减去∠ABE即可得到结果。
(2) 要证P是BG的中点，即证PB=PG，可通过构造全等三角形证明：过点B作BH⊥AE于H，先推导得出∠EBC=∠EBH，利用角平分线的性质得到BH=BC，再结合旋转性质得BC=AG，即AG=BH，最后证明△APG和△HPB全等，即可得到对应边相等，证得结论。
【解析】
(1)
∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转20°得到矩形AEFG，
∴AE=AB，∠EAB=20°，
∴△ABE为等腰三角形，$∠ AEB=∠ ABE=\frac{1}{2}(180°-∠ EAB)=\frac{1}{2}×(180°-20°)=80°$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴$∠ EBC=∠ ABC-∠ ABE=90°-80°=10°$。
(2) 证明：过点B作$BH⊥AE$于点H，则$∠ BHP=90°$，
同(1)的推导可得，AE=AB，$∠ EAB=α°$，
∴$∠ AEB=∠ ABE=\frac{180°-α°}{2}$，
∵矩形ABCD中$∠ ABC=90°$，
∴$∠ EBC=90°-∠ ABE=90°-\frac{180°-α°}{2}=\frac{α°}{2}$，
∵BH⊥AE，
∴在$Rt△ BEH$中，$∠ EBH=90°-∠ HEB=90°-\frac{180°-α°}{2}=\frac{α°}{2}$，
∴$∠ EBC=∠ EBH$，
又
∵$∠ C=90°$，即BC⊥EC，BH⊥AE，
∴BH=BC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
由旋转的性质可知，BC=AD=AG，$∠ GAE=∠ DAB=90°$，
∴AG=HB，
在$△ APG$和$△ HPB$中：
$\begin{cases}∠GPA=∠BPH（对顶角相等）\\∠GAP=∠BHP=90°\\AG=HB\end{cases}$
∴$△ APG≌△ HPB(AAS)$，
∴PG=PB，即P是BG的中点。
【答案】
(1) $\boxed{10°}$；(2) P是BG的中点，证明成立。
【知识点】
旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转与几何图形结合的典型题型，第一问侧重基础性质的直接应用，难度较低；第二问需要通过构造辅助线得到全等三角形，考查知识的综合运用能力，掌握旋转前后对应边、对应角相等的性质，以及全等三角形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7