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1. 将$△ AOB$绕点$O$旋转$180°$得到$△ DOE$，则下列作图正确的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先明确旋转三要素：旋转中心为点O，旋转角度为180°。旋转180°的两个图形成中心对称，满足对应点的连线经过旋转中心，且被旋转中心平分的性质。因此我们只需逐一验证各选项中，对应点A与D、B与E的连线是否经过点O，且O为两条连线的中点，即可选出正确答案。
【解析】
将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则△AOB与△DOE关于点O中心对称，根据中心对称的性质可知：对应点A和D、B和E的连线都经过点O，且OA=OD，OB=OE。
选项A：点B、E都在点O的同侧，不符合旋转180°后对应点在对称中心两侧的特点，排除；
选项B：点B、E都在直线AD的下方，点E不在BO的延长线上，不符合对应点连线经过对称中心的要求，排除；
选项C：A、D连线过O，B、E连线过O，且O平分AD、BE，符合中心对称的性质，正确；
选项D：对应点A、D的连线不经过点O，不符合旋转中心为O的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，中心对称的性质
【点评】
本题考查旋转180°的作图辨析，核心是掌握中心对称的性质，只要抓住对应点连线过对称中心且被对称中心平分的特点，就能快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确旋转三要素：旋转中心为点O，旋转角度为180°。旋转180°的两个图形成中心对称，满足对应点的连线经过旋转中心，且被旋转中心平分的性质。因此我们只需逐一验证各选项中，对应点A与D、B与E的连线是否经过点O，且O为两条连线的中点，即可选出正确答案。
【解析】
将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则△AOB与△DOE关于点O中心对称，根据中心对称的性质可知：对应点A和D、B和E的连线都经过点O，且OA=OD，OB=OE。
选项A：点B、E都在点O的同侧，不符合旋转180°后对应点在对称中心两侧的特点，排除；
选项B：点B、E都在直线AD的下方，点E不在BO的延长线上，不符合对应点连线经过对称中心的要求，排除；
选项C：A、D连线过O，B、E连线过O，且O平分AD、BE，符合中心对称的性质，正确；
选项D：对应点A、D的连线不经过点O，不符合旋转中心为O的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，中心对称的性质
【点评】
本题考查旋转180°的作图辨析，核心是掌握中心对称的性质，只要抓住对应点连线过对称中心且被对称中心平分的特点，就能快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$△ ABC$的顶点都在正方形网格格点上，将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$90°$得到$△ AB'C'$（点$B$对应点$B'$），画出$△ AB'C'$.
答案
2. 解:如图,△AB'C'即为所求。
解析
【分析】
解决旋转作图问题，首先要明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。本题中旋转中心是点A，旋转方向为逆时针，旋转角度是90°。由于旋转中心A旋转后位置不变，因此只需确定点B、C旋转后的对应点B'、C'即可。我们可以根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，结合正方形网格的特点，分别作出AB、AC逆时针旋转90°后的等长线段AB'、AC'，最后顺次连接三个点即可得到所求三角形。
【解析】
1. 确定旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°，旋转后点A位置不变。
2. 找B点的对应点B'：连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，结合网格格数特征，找到与点A距离等于AB长度、且与AB夹角为90°（逆时针方向）的格点，即为B'。
3. 用相同方法将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到C点的对应点C'。
4. 顺次连接A、B'、C'，所得△AB'C'就是所求作的三角形。
【答案】
如图,△AB'C'即为所求。
【知识点】
旋转的性质；旋转作图；格点作图
【点评】
本题是基础作图类题目，主要考查旋转作图的基本操作，核心是掌握旋转的性质，准确把握旋转三要素，借助网格的特性可以快速定位对应点的位置，是旋转性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
解决旋转作图问题，首先要明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。本题中旋转中心是点A，旋转方向为逆时针，旋转角度是90°。由于旋转中心A旋转后位置不变，因此只需确定点B、C旋转后的对应点B'、C'即可。我们可以根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，结合正方形网格的特点，分别作出AB、AC逆时针旋转90°后的等长线段AB'、AC'，最后顺次连接三个点即可得到所求三角形。
【解析】
1. 确定旋转三要素：旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°，旋转后点A位置不变。
2. 找B点的对应点B'：连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，结合网格格数特征，找到与点A距离等于AB长度、且与AB夹角为90°（逆时针方向）的格点，即为B'。
3. 用相同方法将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到C点的对应点C'。
4. 顺次连接A、B'、C'，所得△AB'C'就是所求作的三角形。
【答案】
如图,△AB'C'即为所求。
【知识点】
旋转的性质；旋转作图；格点作图
【点评】
本题是基础作图类题目，主要考查旋转作图的基本操作，核心是掌握旋转的性质，准确把握旋转三要素，借助网格的特性可以快速定位对应点的位置，是旋转性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
3.如图,以点O为中心,把△ABC顺时针旋转120°,画出旋转后的△A'B'C'.
答案
3. 解:如图所示。
解析
【分析】
要完成旋转作图，首先明确旋转三要素：旋转中心为点O，旋转方向是顺时针，旋转角度为120°。三角形由三个顶点确定，因此我们只需要先找到△ABC三个顶点的对应点，再顺次连接对应点即可得到旋转后的图形。找对应点的依据是旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，按照“连点-作角-截等长-连线”的步骤操作即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接OA、OB、OC；
2. 分别以OA、OB、OC为始边，沿顺时针方向作∠AOA'=120°，∠BOB'=120°，∠COC'=120°；
3. 分别在射线OA'、OB'、OC'上截取OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC，得到点A、B、C的对应点A'、B'、C'；
4. 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得图形就是所求的△A'B'C'。
【答案】
【知识点】
旋转的性质、旋转作图
【点评】
本题属于基础作图题，核心考察对旋转三要素的理解和旋转性质的应用，掌握对应点的确定方法就能顺利完成作图，是对动手操作能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
要完成旋转作图，首先明确旋转三要素：旋转中心为点O，旋转方向是顺时针，旋转角度为120°。三角形由三个顶点确定，因此我们只需要先找到△ABC三个顶点的对应点，再顺次连接对应点即可得到旋转后的图形。找对应点的依据是旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，按照“连点-作角-截等长-连线”的步骤操作即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接OA、OB、OC；
2. 分别以OA、OB、OC为始边，沿顺时针方向作∠AOA'=120°，∠BOB'=120°，∠COC'=120°；
3. 分别在射线OA'、OB'、OC'上截取OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC，得到点A、B、C的对应点A'、B'、C'；
4. 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得图形就是所求的△A'B'C'。
【答案】
【知识点】
旋转的性质、旋转作图
【点评】
本题属于基础作图题，核心考察对旋转三要素的理解和旋转性质的应用，掌握对应点的确定方法就能顺利完成作图，是对动手操作能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
4. 如图,点 A 的坐标是$(-2,3)$,将$△ ABO$绕点 O 顺时针旋转$90°$得到$△ A'B'O$,则点 A'的坐标是 (
A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(-3,-2)$
D.$(-2,-3)$
B
)A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(-3,-2)$
D.$(-2,-3)$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时可从两个思路入手：一是直接套用平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律计算；二是结合旋转的性质，先分析原图形的边长和位置特征，推导旋转后对应点的位置。首先明确点A坐标对应的线段长度：OB=2，AB=3，旋转后对应边长度不变、夹角旋转90°，即可确定A'的坐标，解题时要注意区分顺时针和逆时针旋转的规律差异。
【解析】
方法1：坐标变换规律法
在平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后，对应点的坐标为$(y,-x)$。
已知点A的坐标为$(-2,3)$，即$x=-2$，$y=3$，代入规律可得：
点A'的横坐标为$y=3$，纵坐标为$-x=-(-2)=2$，即$A'(3,2)$。
方法2：几何推导法
由$A(-2,3)$且$AB⊥ x$轴，可得$OB=2$，$AB=3$，$∠ ABO=90°$。
将$△ ABO$绕点O顺时针旋转$90°$后，对应边长度不变：$OB'=OB=2$，$A'B'=AB=3$，$∠ A'B'O=∠ ABO=90°$，此时$B'$落在y轴正半轴，$A'B'$水平向右，因此A'的横坐标为$A'B'=3$，纵坐标为$OB'=2$，即$A'(3,2)$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；坐标与图形变换
【点评】
本题是旋转类基础题，既可以通过几何分析推导坐标，也可以直接用坐标旋转规律快速得到结果，解题时要注意区分顺时针、逆时针旋转对应的坐标变换规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时可从两个思路入手：一是直接套用平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律计算；二是结合旋转的性质，先分析原图形的边长和位置特征，推导旋转后对应点的位置。首先明确点A坐标对应的线段长度：OB=2，AB=3，旋转后对应边长度不变、夹角旋转90°，即可确定A'的坐标，解题时要注意区分顺时针和逆时针旋转的规律差异。
【解析】
方法1：坐标变换规律法
在平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后，对应点的坐标为$(y,-x)$。
已知点A的坐标为$(-2,3)$，即$x=-2$，$y=3$，代入规律可得：
点A'的横坐标为$y=3$，纵坐标为$-x=-(-2)=2$，即$A'(3,2)$。
方法2：几何推导法
由$A(-2,3)$且$AB⊥ x$轴，可得$OB=2$，$AB=3$，$∠ ABO=90°$。
将$△ ABO$绕点O顺时针旋转$90°$后，对应边长度不变：$OB'=OB=2$，$A'B'=AB=3$，$∠ A'B'O=∠ ABO=90°$，此时$B'$落在y轴正半轴，$A'B'$水平向右，因此A'的横坐标为$A'B'=3$，纵坐标为$OB'=2$，即$A'(3,2)$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；坐标与图形变换
【点评】
本题是旋转类基础题，既可以通过几何分析推导坐标，也可以直接用坐标旋转规律快速得到结果，解题时要注意区分顺时针、逆时针旋转对应的坐标变换规则，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
5.如图，将$△ ABC$绕点$P$顺时针旋转$90°$得到$△ A'B'C'$，则点$P$的坐标是（
A.$(1,1)$
B.$(1,2)$
C.$(1,3)$
D.$(1,4)$
B
）A.$(1,1)$
B.$(1,2)$
C.$(1,3)$
D.$(1,4)$
答案
5.B
解析
【分析】
要确定旋转中心P，根据旋转的性质可知：旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点，也满足到每组对应点的距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角90°。我们可以先写出各对应点的坐标，通过验证选项中的点是否满足旋转的性质，即可快速得到点P的坐标。
【解析】
首先根据网格确定各对应点坐标：$A(2,4)$，$A'(3,1)$，$C(0,2)$，$C'(2,2)$。
结合选项根据旋转性质验证：
对选项B$(1,2)$：
1. 验证对应点到P的距离相等：
$PA=\sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$PA'=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，故$PA=PA'$；
2. 验证旋转角为90°：向量$\overrightarrow{PA}=(1,2)$，向量$\overrightarrow{PA'}=(2,-1)$，
点积$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PA'}=1×2 + 2×(-1)=0$，故$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PA'}$，夹角为90°，符合顺时针旋转90°的要求。
同理可验证B、C两组对应点绕$(1,2)$顺时针旋转90°后也对应$B'$、$C'$，因此点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，坐标与图形变化-旋转，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查旋转中心的确定，解题的关键是牢记旋转的核心性质，既可以通过作对应点连线的垂直平分线找交点求解，也可以通过代入选项验证的方法快速得到答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.7
要确定旋转中心P，根据旋转的性质可知：旋转中心是任意两组对应点连线的垂直平分线的交点，也满足到每组对应点的距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角90°。我们可以先写出各对应点的坐标，通过验证选项中的点是否满足旋转的性质，即可快速得到点P的坐标。
【解析】
首先根据网格确定各对应点坐标：$A(2,4)$，$A'(3,1)$，$C(0,2)$，$C'(2,2)$。
结合选项根据旋转性质验证：
对选项B$(1,2)$：
1. 验证对应点到P的距离相等：
$PA=\sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$PA'=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，故$PA=PA'$；
2. 验证旋转角为90°：向量$\overrightarrow{PA}=(1,2)$，向量$\overrightarrow{PA'}=(2,-1)$，
点积$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PA'}=1×2 + 2×(-1)=0$，故$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PA'}$，夹角为90°，符合顺时针旋转90°的要求。
同理可验证B、C两组对应点绕$(1,2)$顺时针旋转90°后也对应$B'$、$C'$，因此点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，坐标与图形变化-旋转，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查旋转中心的确定，解题的关键是牢记旋转的核心性质，既可以通过作对应点连线的垂直平分线找交点求解，也可以通过代入选项验证的方法快速得到答案，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.7
6. 将$△ OBA$按如图方式放在平面直角坐标系中，其中$∠ OBA=90°$，$∠ A=30°$，顶点$A$的坐标为$(1,\sqrt{3})$，将$△ OBA$绕原点逆时针旋转$60°$，则点$A$对应点$A'$的坐标为 （
A.$(-1,\sqrt{3})$
B.$(-\sqrt{3},1)$
C.$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},1)$
D.$(-1,\dfrac{\sqrt{3}}{3})$
A
）A.$(-1,\sqrt{3})$
B.$(-\sqrt{3},1)$
C.$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},1)$
D.$(-1,\dfrac{\sqrt{3}}{3})$
答案
6.A
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据点A的坐标结合直角三角形的性质，求出线段OA的长度，以及OA与x轴正方向的夹角；2. 依据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，可得OA'=OA，同时计算出旋转后OA'与x轴正方向的夹角；3. 结合特殊角的三角函数值，即可求出点A'的坐标。
【解析】
已知点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，$∠ OBA=90°$，因此$OB=1$，$AB=\sqrt{3}$。
1. 计算OA的长度：
由勾股定理得$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
在$Rt△ OBA$中，$∠ A=30°$，所以$∠ AOB=90°-30°=60°$，即OA与x轴正方向的夹角为$60°$。
2. 分析旋转后OA'的参数：
将$△ OBA$绕原点逆时针旋转$60°$，根据旋转的性质，$OA'=OA=2$，旋转后OA'与x轴正方向的夹角为$60°+60°=120°$。
3. 计算A'的坐标：
根据三角函数的定义，点A'的横坐标为$OA'·\cos120°=2×(-\frac{1}{2})=-1$，纵坐标为$OA'·\sin120°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即$A'(-1,\sqrt{3})$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，直角三角形的性质，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是旋转类基础题，解题的核心是抓住旋转前后对应线段长度相等、旋转角固定的特点，结合特殊角的三角函数值计算对应点坐标，是平面直角坐标系中旋转作图的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据点A的坐标结合直角三角形的性质，求出线段OA的长度，以及OA与x轴正方向的夹角；2. 依据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，可得OA'=OA，同时计算出旋转后OA'与x轴正方向的夹角；3. 结合特殊角的三角函数值，即可求出点A'的坐标。
【解析】
已知点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，$∠ OBA=90°$，因此$OB=1$，$AB=\sqrt{3}$。
1. 计算OA的长度：
由勾股定理得$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
在$Rt△ OBA$中，$∠ A=30°$，所以$∠ AOB=90°-30°=60°$，即OA与x轴正方向的夹角为$60°$。
2. 分析旋转后OA'的参数：
将$△ OBA$绕原点逆时针旋转$60°$，根据旋转的性质，$OA'=OA=2$，旋转后OA'与x轴正方向的夹角为$60°+60°=120°$。
3. 计算A'的坐标：
根据三角函数的定义，点A'的横坐标为$OA'·\cos120°=2×(-\frac{1}{2})=-1$，纵坐标为$OA'·\sin120°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即$A'(-1,\sqrt{3})$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，直角三角形的性质，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是旋转类基础题，解题的核心是抓住旋转前后对应线段长度相等、旋转角固定的特点，结合特殊角的三角函数值计算对应点坐标，是平面直角坐标系中旋转作图的典型考法。
【难度系数】
0.7
7.如图,在平面直角坐标系中,已知$△ AOB$是等边三角形,点$A$的坐标是$(0,6)$,点$B$在第一象限,$∠ OAB$的平分线交$x$轴于点$P$,把$△ AOP$绕着点$A$按逆时针方向旋转,使边$AO$与$AB$重合,得到$△ ABD$,连接$DP$,则$DP=$$,点$D$的坐标为\_\_\_\_\_\_$.
答案
7.$4\sqrt{3}$ $(4\sqrt{3},6)$
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，结合等边△AOB的性质和角平分线定义，得到∠OAP=30°；第二步，利用旋转的性质，得AD=AP、旋转角∠PAD=60°，可证△APD为等边三角形，因此DP=AP，只需在Rt△AOP中用勾股定理算出AP长度，即可得到DP的长；第三步，求D点坐标时，由旋转得∠BAD=∠OAP=30°，推出∠OAD=90°，即AD平行于x轴，结合AD的长度和A点坐标，就能得到D点坐标。
【解析】
1. 求$DP$的长度：
∵$△ AOB$是等边三角形，点$A$坐标为$(0,6)$，
∴$∠ OAB=60°$，$OA=AB=6$。
∵$AP$平分$∠ OAB$，
∴$∠ OAP=∠ PAB=30°$。
∵$△ AOP$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ABD$，
∴$AD=AP$，$∠ BAD=∠ OAP=30°$，旋转角$∠ PAD=∠ OAB=60°$，
∴$△ APD$是含$60°$角的等腰三角形，即$△ APD$为等边三角形，故$DP=AP$。
在$\mathrm{Rt}△ AOP$中，$OA=6$，$∠ OAP=30°$，
∴$OP=OA·\tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AP=\sqrt{OA^2+OP^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
∴$DP=4\sqrt{3}$。
2. 求点$D$的坐标：
∵$∠ OAD=∠ OAB+∠ BAD=60°+30°=90°$，
∴$AD⊥ y$轴，即$AD// x$轴，
∴点$D$的纵坐标与点$A$相同，为$6$。
又
∵$AD=AP=4\sqrt{3}$，点$A$横坐标为$0$，$AD$沿水平向右方向，
∴点$D$的横坐标为$4\sqrt{3}$，即$D(4\sqrt{3},6)$。
【答案】
$4\sqrt{3}$；$(4\sqrt{3},6)$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题将旋转、等边三角形性质和平面直角坐标系结合考查，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，判断出等边三角形，再结合直角三角形的性质求解即可。
【难度系数】
0.65
解题可按三步思考：第一步，结合等边△AOB的性质和角平分线定义，得到∠OAP=30°；第二步，利用旋转的性质，得AD=AP、旋转角∠PAD=60°，可证△APD为等边三角形，因此DP=AP，只需在Rt△AOP中用勾股定理算出AP长度，即可得到DP的长；第三步，求D点坐标时，由旋转得∠BAD=∠OAP=30°，推出∠OAD=90°，即AD平行于x轴，结合AD的长度和A点坐标，就能得到D点坐标。
【解析】
1. 求$DP$的长度：
∵$△ AOB$是等边三角形，点$A$坐标为$(0,6)$，
∴$∠ OAB=60°$，$OA=AB=6$。
∵$AP$平分$∠ OAB$，
∴$∠ OAP=∠ PAB=30°$。
∵$△ AOP$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ABD$，
∴$AD=AP$，$∠ BAD=∠ OAP=30°$，旋转角$∠ PAD=∠ OAB=60°$，
∴$△ APD$是含$60°$角的等腰三角形，即$△ APD$为等边三角形，故$DP=AP$。
在$\mathrm{Rt}△ AOP$中，$OA=6$，$∠ OAP=30°$，
∴$OP=OA·\tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AP=\sqrt{OA^2+OP^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
∴$DP=4\sqrt{3}$。
2. 求点$D$的坐标：
∵$∠ OAD=∠ OAB+∠ BAD=60°+30°=90°$，
∴$AD⊥ y$轴，即$AD// x$轴，
∴点$D$的纵坐标与点$A$相同，为$6$。
又
∵$AD=AP=4\sqrt{3}$，点$A$横坐标为$0$，$AD$沿水平向右方向，
∴点$D$的横坐标为$4\sqrt{3}$，即$D(4\sqrt{3},6)$。
【答案】
$4\sqrt{3}$；$(4\sqrt{3},6)$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题将旋转、等边三角形性质和平面直角坐标系结合考查，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，判断出等边三角形，再结合直角三角形的性质求解即可。
【难度系数】
0.65
8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=BC$,点$D,E$在边$AB$上,且$∠ DCE=45°$.
(1)以点$C$为旋转中心,将$△ ADC$顺时针旋转$90°$,画出旋转后的图形;
(2)若$AD=2,BE=3$,求$DE$的长.
(1)以点$C$为旋转中心,将$△ ADC$顺时针旋转$90°$,画出旋转后的图形;
(2)若$AD=2,BE=3$,求$DE$的长.
答案
8. 解:(1)如图,△BFC为所作。
(2)如图,连接EF.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠ABC=45°.
∵△ADC顺时针旋转90°得到△BFC,
∴CD=CF,BF=AD=2,∠DCF=90°,∠CBF=∠A=45°.
∵∠DCE=45°,
∴∠FCE=45°.
在△DCE 和 △FCE 中, $\begin{cases} CD=CF, \\ ∠DCE=∠FCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴ △DCE ≌ △FCE.
∴DE=FE. 在△BEF 中,
∵∠EBC=45°,∠CBF=45°,
∴∠EBF=90°.
∴EF=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.
∴DE=$\sqrt{13}$.
解析
【分析】
(1) 第一问是旋转作图，结合等腰Rt△ABC中AC=BC的特点，以C为旋转中心顺时针旋转90°时，AC会与BC重合，只需确定点D旋转后的对应点F，连接相关线段即可得到旋转后的图形。
(2) 第二问求DE的长，已知的AD、BE和DE都在AB上，条件分散，可借助旋转的性质将AD转化为BF，再结合已知∠DCE=45°和旋转角90°推出∠FCE=∠DCE，证明△DCE和△FCE全等，将DE转化为EF，最后证明△BEF是直角三角形，用勾股定理计算EF即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 将△ADC绕点C顺时针旋转90°，点A与点B重合，得到点D的对应点F，连接CF、BF，△BFC即为旋转后的图形。
(2) 连接EF：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°,AC=BC$，
∴ $∠A=∠ABC=45°$，
∵ △ADC顺时针旋转90°得到△BFC，
∴ $CD=CF,BF=AD=2,∠DCF=90°,∠CBF=∠A=45°$，
∵ $∠DCE=45°$，
∴ $∠FCE=∠DCF-∠DCE=90°-45°=45°$，即$∠DCE=∠FCE$，
在△DCE和△FCE中：
$\begin{cases} CD=CF \\ ∠DCE=∠FCE \\ CE=CE \end{cases}$
∴ $△DCE ≌ △FCE(SAS)$，
∴ $DE=FE$，
在△BEF中，$∠EBF=∠ABC+∠CBF=45°+45°=90°$，即△BEF为直角三角形，
由勾股定理得：$EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
∴ $DE=EF=\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 如图，△BFC为所作。
(2) $DE=\sqrt{13}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合了旋转作图和线段求值，核心是通过旋转把分散的已知条件转化到同一个三角形中，是解决等腰直角三角形相关线段计算问题的典型考法，需熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问是旋转作图，结合等腰Rt△ABC中AC=BC的特点，以C为旋转中心顺时针旋转90°时，AC会与BC重合，只需确定点D旋转后的对应点F，连接相关线段即可得到旋转后的图形。
(2) 第二问求DE的长，已知的AD、BE和DE都在AB上，条件分散，可借助旋转的性质将AD转化为BF，再结合已知∠DCE=45°和旋转角90°推出∠FCE=∠DCE，证明△DCE和△FCE全等，将DE转化为EF，最后证明△BEF是直角三角形，用勾股定理计算EF即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 将△ADC绕点C顺时针旋转90°，点A与点B重合，得到点D的对应点F，连接CF、BF，△BFC即为旋转后的图形。
(2) 连接EF：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°,AC=BC$，
∴ $∠A=∠ABC=45°$，
∵ △ADC顺时针旋转90°得到△BFC，
∴ $CD=CF,BF=AD=2,∠DCF=90°,∠CBF=∠A=45°$，
∵ $∠DCE=45°$，
∴ $∠FCE=∠DCF-∠DCE=90°-45°=45°$，即$∠DCE=∠FCE$，
在△DCE和△FCE中：
$\begin{cases} CD=CF \\ ∠DCE=∠FCE \\ CE=CE \end{cases}$
∴ $△DCE ≌ △FCE(SAS)$，
∴ $DE=FE$，
在△BEF中，$∠EBF=∠ABC+∠CBF=45°+45°=90°$，即△BEF为直角三角形，
由勾股定理得：$EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
∴ $DE=EF=\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 如图，△BFC为所作。
(2) $DE=\sqrt{13}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题结合了旋转作图和线段求值，核心是通过旋转把分散的已知条件转化到同一个三角形中，是解决等腰直角三角形相关线段计算问题的典型考法，需熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
