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10 新情境 游戏活动 印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏. 八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里. 其余十二高声喊，充满活跃的空气. 告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的$\frac{1}{8}$的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是$x$，根据题意可列出的方程是（
A.$(8x)^2 = x - 12$
B.$(8x)^2 = x + 12$
C.$x = (\frac{1}{8}x)^2 - 12$
D.$x = (\frac{1}{8}x)^2 + 12$
D
）A.$(8x)^2 = x - 12$
B.$(8x)^2 = x + 12$
C.$x = (\frac{1}{8}x)^2 - 12$
D.$x = (\frac{1}{8}x)^2 + 12$
答案
10. D
解析
【分析】
解本题的核心是找准题目中的等量关系。首先明确总猴子数为x，已知猴子被分成两队：第一队数量是猴子总数的$\frac{1}{8}$的平方，即$(\frac{1}{8}x)^2$，第二队数量是12。根据“总猴子数=第一队猴子数+第二队猴子数”这个等量关系，就能列出对应的方程，再和选项比对即可得出答案。
【解析】
设这群猴子的总数是$x$，
则第一队猴子的数量为$(\frac{1}{8}x)^2$，第二队猴子的数量为12，
根据总数量等于两队数量之和，可得方程：
$x = (\frac{1}{8}x)^2 + 12$，
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【点评】
本题以古算题为情境，考查学生提取信息、找准等量关系列方程的能力，解题的关键是明确两队猴子数的和就是猴子的总数量，读懂题意即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是找准题目中的等量关系。首先明确总猴子数为x，已知猴子被分成两队：第一队数量是猴子总数的$\frac{1}{8}$的平方，即$(\frac{1}{8}x)^2$，第二队数量是12。根据“总猴子数=第一队猴子数+第二队猴子数”这个等量关系，就能列出对应的方程，再和选项比对即可得出答案。
【解析】
设这群猴子的总数是$x$，
则第一队猴子的数量为$(\frac{1}{8}x)^2$，第二队猴子的数量为12，
根据总数量等于两队数量之和，可得方程：
$x = (\frac{1}{8}x)^2 + 12$，
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【点评】
本题以古算题为情境，考查学生提取信息、找准等量关系列方程的能力，解题的关键是明确两队猴子数的和就是猴子的总数量，读懂题意即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
11 某航空公司有若干个飞机场，每2个飞机场之间都开辟了1条航线，一共开辟了28条航线，该航空公司共有
8
个飞机场。答案
11. 8
解析
【分析】
本题属于单循环类实际应用问题，计数逻辑和握手问题、两点连线段问题一致。解题时首先设飞机场的数量为x个，每个飞机场需和其余(x-1)个飞机场开通航线，此时每条航线会被重复计算1次，因此总航线数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，再结合已知总航线数列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
解：设该航空公司共有x个飞机场。
根据单循环计数规则，总航线数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
因为飞机场数量不能为负数，故舍去$x_2=-7$，即共有8个飞机场。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程应用、单循环计数、一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的实际应用类基础题，解题核心是准确理解单循环的计数规律，建立对应的方程模型，求解后要注意检验根的实际意义，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环类实际应用问题，计数逻辑和握手问题、两点连线段问题一致。解题时首先设飞机场的数量为x个，每个飞机场需和其余(x-1)个飞机场开通航线，此时每条航线会被重复计算1次，因此总航线数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，再结合已知总航线数列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
解：设该航空公司共有x个飞机场。
根据单循环计数规则，总航线数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
因为飞机场数量不能为负数，故舍去$x_2=-7$，即共有8个飞机场。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程应用、单循环计数、一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的实际应用类基础题，解题核心是准确理解单循环的计数规律，建立对应的方程模型，求解后要注意检验根的实际意义，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
12 一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数。
答案
12. 设原来的两位数的十位数字为 x. 根据题意,得$x(10x+x+4)+10=10(x+4)+x$. 整理,得$11x^2-7x-30=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-\frac{15}{11}$(不合题意,舍去).
∴ x+4=6.
∴ 原来的两位数为 26
∴ x+4=6.
∴ 原来的两位数为 26
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以先设原来两位数的十位数字为x，根据“个位数字比十位数字大4”可得个位数字为x+4，进而用含x的式子分别表示出原两位数和对调后的新两位数；再根据题干给出的等量关系“原两位数×十位数字+10=新两位数”列方程，求解后注意十位数字是1~9的正整数，舍去不符合实际意义的解，即可求出原来的两位数。
【解析】
设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为$x+4$，原两位数为$10x+(x+4)=11x+4$，对调后的新两位数为$10(x+4)+x$。
根据题意列方程：
$x(11x+4)+10=10(x+4)+x$
整理得：
$11x^2-7x-30=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-\frac{15}{11}$
因为十位数字为正整数，所以$x_2=-\frac{15}{11}$不合题意，舍去。
则个位数字为$x+4=2+4=6$，原来的两位数为26。
【答案】
26
【知识点】
1. 两位数的表示 2. 一元二次方程的应用 3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确用未知数表示出原两位数和新两位数，准确提取题干等量关系列方程，求解后要结合数字的实际意义对解进行取舍，排除不符合要求的解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以先设原来两位数的十位数字为x，根据“个位数字比十位数字大4”可得个位数字为x+4，进而用含x的式子分别表示出原两位数和对调后的新两位数；再根据题干给出的等量关系“原两位数×十位数字+10=新两位数”列方程，求解后注意十位数字是1~9的正整数，舍去不符合实际意义的解，即可求出原来的两位数。
【解析】
设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为$x+4$，原两位数为$10x+(x+4)=11x+4$，对调后的新两位数为$10(x+4)+x$。
根据题意列方程：
$x(11x+4)+10=10(x+4)+x$
整理得：
$11x^2-7x-30=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-\frac{15}{11}$
因为十位数字为正整数，所以$x_2=-\frac{15}{11}$不合题意，舍去。
则个位数字为$x+4=2+4=6$，原来的两位数为26。
【答案】
26
【知识点】
1. 两位数的表示 2. 一元二次方程的应用 3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确用未知数表示出原两位数和新两位数，准确提取题干等量关系列方程，求解后要结合数字的实际意义对解进行取舍，排除不符合要求的解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
13（易错题）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出20双，每双盈利50元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双。
（1）若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
（2）若商场每天要盈利1750元，且让顾客尽可能多地得到实惠，则每双鞋子应降价多少元？
（1）若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
（2）若商场每天要盈利1750元，且让顾客尽可能多地得到实惠，则每双鞋子应降价多少元？
答案
13. （1）由题意,得$2×20+20=60$(双).
∴ 若每双鞋子降价 20 元,商场平均每天可售出 60 双鞋子 （2）设每双鞋子应降价 x 元. 根据题意,得$(50-x)(20+2x)=1750$. 整理,得$x^2-40x+375=0$,解得$x_1=15$,$x_2=25$.
∵ 让顾客尽可能多地得到实惠,
∴ x 应取 25.
∴ 每双鞋子应降价 25 元
易错分析
13. 最常见的错误是误将“每降价1元,多售出2双”看成“每降价1元,多售出1双”,导致销量计算错误. 第二个疏忽点是容易忽略“总盈利=单双盈利×日销量”的基本公式,直接用50−x 作为总盈利.
∴ 若每双鞋子降价 20 元,商场平均每天可售出 60 双鞋子 （2）设每双鞋子应降价 x 元. 根据题意,得$(50-x)(20+2x)=1750$. 整理,得$x^2-40x+375=0$,解得$x_1=15$,$x_2=25$.
∵ 让顾客尽可能多地得到实惠,
∴ x 应取 25.
∴ 每双鞋子应降价 25 元
易错分析
13. 最常见的错误是误将“每降价1元,多售出2双”看成“每降价1元,多售出1双”,导致销量计算错误. 第二个疏忽点是容易忽略“总盈利=单双盈利×日销量”的基本公式,直接用50−x 作为总盈利.
解析
【分析】
（1）解题思路：首先明确销量和降价金额的对应关系，已知每降价1元可多售出2双，先计算降价20元对应的多售出的鞋子数量，再加上原本平均每天的销量20双，即可得到降价后的日销量。
（2）解题思路：本题属于销售盈利类的一元二次方程应用问题，核心等量关系为“总盈利=单双盈利×日销售量”。首先设每双鞋子降价x元，分别表示出降价后的单双盈利和日销售量，结合总盈利1750元的要求列方程求解，最后根据“让顾客尽可能多地得到实惠”的限制条件，选择降价幅度更大的解即可。
【解析】
（1）根据题意，每降价1元多售出2双，降价20元时多售出的鞋子数量为：$2×20=40$（双）
加上原本的日销量20双，可得此时日销量为：$20+40=60$（双）
（2）设每双鞋子应降价$x$元。
降价后单双盈利为$(50-x)$元，日销售量为$(20+2x)$双，根据总盈利为1750元列方程：
$(50-x)(20+2x)=1750$
展开整理得：$x^2-40x+375=0$
解得$x_1=15$，$x_2=25$
由于要让顾客尽可能多地得到实惠，因此选择降价幅度更大的取值，即$x=25$。
【答案】
（1）60双；（2）25元
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程的应用
【点评】
本题是销售类典型应用题，解题关键是准确梳理降价与销量、降价与单利的数量关系，牢记总盈利的等量关系列方程，求解后需注意结合题干的实际限制条件筛选合适的解，避免因忽略要求选错答案。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：首先明确销量和降价金额的对应关系，已知每降价1元可多售出2双，先计算降价20元对应的多售出的鞋子数量，再加上原本平均每天的销量20双，即可得到降价后的日销量。
（2）解题思路：本题属于销售盈利类的一元二次方程应用问题，核心等量关系为“总盈利=单双盈利×日销售量”。首先设每双鞋子降价x元，分别表示出降价后的单双盈利和日销售量，结合总盈利1750元的要求列方程求解，最后根据“让顾客尽可能多地得到实惠”的限制条件，选择降价幅度更大的解即可。
【解析】
（1）根据题意，每降价1元多售出2双，降价20元时多售出的鞋子数量为：$2×20=40$（双）
加上原本的日销量20双，可得此时日销量为：$20+40=60$（双）
（2）设每双鞋子应降价$x$元。
降价后单双盈利为$(50-x)$元，日销售量为$(20+2x)$双，根据总盈利为1750元列方程：
$(50-x)(20+2x)=1750$
展开整理得：$x^2-40x+375=0$
解得$x_1=15$，$x_2=25$
由于要让顾客尽可能多地得到实惠，因此选择降价幅度更大的取值，即$x=25$。
【答案】
（1）60双；（2）25元
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程的应用
【点评】
本题是销售类典型应用题，解题关键是准确梳理降价与销量、降价与单利的数量关系，牢记总盈利的等量关系列方程，求解后需注意结合题干的实际限制条件筛选合适的解，避免因忽略要求选错答案。
【难度系数】
0.7
14 新情境市场营销 某运动品牌销售一款运动鞋.已知每双运动鞋的成本价为60元,当售价为100元/双时,平均每天能售出200双.经过一段时间销售发现,平均每天售出的运动鞋的销量y(双)与降低价格x(元/双)之间存在如图所示的函数关系.
(1) 求y关于x的函数解析式.
(2) 若公司希望销售这款运动鞋平均每天获得的利润达到8910元,且优惠力度最大,则每双运动鞋的售价应该定为多少?
(3) 若要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%,则公司每天能否获得9000元的利润?若能,求出定价;若不能,请说明理由.
(第14题)
(1) 求y关于x的函数解析式.
(2) 若公司希望销售这款运动鞋平均每天获得的利润达到8910元,且优惠力度最大,则每双运动鞋的售价应该定为多少?
(3) 若要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%,则公司每天能否获得9000元的利润?若能,求出定价;若不能,请说明理由.
(第14题)答案
14. （1）设 y 关于 x 的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$. 将(0,200),(10,300)代入,得$\begin{cases} b=200, \\ 10k+b=300, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=10, \\ b=200. \end{cases}$
∴ y 关于 x 的函数解析式为$y=10x+200$ （2）由题意,得$(100-60-x)·(10x+200)=8910$,即$x^2-20x+91=0$,解得$x_1=7$,$x_2=13$.
∵ 优惠力度最大,
∴ x=13.
∴ 100−x=87.
∴ 每双运动鞋的售价应该定为 87 元 （3）公司每天能获得 9 000 元的利润 由题意,得$(100-60-x)(10x+200)=9000$. 整理,得$x^2-20x+100=0$.
∴ $x_1=x_2=10$.
∵ 每双运动鞋的利润不低于成本价的50%,
∴ $100-60-x≥60×50\%$.
∴ x≤10.
∴ x=10 符合题意.
∴ 100−x=90.
∴ 公司每天能获得 9 000 元的利润,此时定价为 90 元/双
∴ y 关于 x 的函数解析式为$y=10x+200$ （2）由题意,得$(100-60-x)·(10x+200)=8910$,即$x^2-20x+91=0$,解得$x_1=7$,$x_2=13$.
∵ 优惠力度最大,
∴ x=13.
∴ 100−x=87.
∴ 每双运动鞋的售价应该定为 87 元 （3）公司每天能获得 9 000 元的利润 由题意,得$(100-60-x)(10x+200)=9000$. 整理,得$x^2-20x+100=0$.
∴ $x_1=x_2=10$.
∵ 每双运动鞋的利润不低于成本价的50%,
∴ $100-60-x≥60×50\%$.
∴ x≤10.
∴ x=10 符合题意.
∴ 100−x=90.
∴ 公司每天能获得 9 000 元的利润,此时定价为 90 元/双
解析
【分析】
（1）要求一次函数解析式，观察图象可知函数过$(0,200)$和$(10,300)$两个点，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标即可求出$k$、$b$的值，得到函数解析式。
（2）利润问题的核心等量关系为“总利润=每双利润×销售量”，先表示出降价$x$元后每双的利润和销量，根据总利润为8910元列一元二次方程求解；要优惠力度最大，即降价的金额最多，选择较大的$x$值计算最终售价即可。
（3）先假设能获得9000元利润，根据上述等量关系列方程求出$x$的值，再结合“每双利润不低于成本的50%”的限制条件列不等式，判断求出的$x$是否符合取值范围，即可得出结论。
【解析】
（1）设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
将点$(0,200)$、$(10,300)$代入解析式，得：
$\begin{cases} b=200 \\ 10k+b=300 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=10 \\ b=200 \end{cases}$
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+200$。
（2）由题意，降价$x$元后，每双鞋的利润为$(100-60-x)$元，销量为$(10x+200)$双，列方程得：
$(100-60-x)(10x+200)=8910$
整理得$x^2-20x+91=0$，解得$x_1=7$，$x_2=13$。
∵要优惠力度最大，即降价金额最多，
∴$x=13$。
此时售价为$100-13=87$（元）。
（3）假设能获得9000元的利润，列方程得：
$(100-60-x)(10x+200)=9000$
整理得$x^2-20x+100=0$，解得$x_1=x_2=10$。
由每双利润不低于成本价的50%，得：
$100-60-x≥60×50\%$
解得$x≤10$，故$x=10$符合题意。
此时售价为$100-10=90$（元），即能获得9000元利润。
【答案】
（1）$y=10x+200$；（2）每双运动鞋的售价应该定为87元；（3）能，定价为90元/双。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；利润问题计算
【点评】
本题结合实际销售情境，综合考查一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是抓住利润问题的核心数量关系，同时要注意实际问题中未知数的取值限制，需结合题意对方程的解进行取舍，避免漏看条件导致错解。
【难度系数】
0.7
（1）要求一次函数解析式，观察图象可知函数过$(0,200)$和$(10,300)$两个点，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入两点坐标即可求出$k$、$b$的值，得到函数解析式。
（2）利润问题的核心等量关系为“总利润=每双利润×销售量”，先表示出降价$x$元后每双的利润和销量，根据总利润为8910元列一元二次方程求解；要优惠力度最大，即降价的金额最多，选择较大的$x$值计算最终售价即可。
（3）先假设能获得9000元利润，根据上述等量关系列方程求出$x$的值，再结合“每双利润不低于成本的50%”的限制条件列不等式，判断求出的$x$是否符合取值范围，即可得出结论。
【解析】
（1）设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
将点$(0,200)$、$(10,300)$代入解析式，得：
$\begin{cases} b=200 \\ 10k+b=300 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=10 \\ b=200 \end{cases}$
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+200$。
（2）由题意，降价$x$元后，每双鞋的利润为$(100-60-x)$元，销量为$(10x+200)$双，列方程得：
$(100-60-x)(10x+200)=8910$
整理得$x^2-20x+91=0$，解得$x_1=7$，$x_2=13$。
∵要优惠力度最大，即降价金额最多，
∴$x=13$。
此时售价为$100-13=87$（元）。
（3）假设能获得9000元的利润，列方程得：
$(100-60-x)(10x+200)=9000$
整理得$x^2-20x+100=0$，解得$x_1=x_2=10$。
由每双利润不低于成本价的50%，得：
$100-60-x≥60×50\%$
解得$x≤10$，故$x=10$符合题意。
此时售价为$100-10=90$（元），即能获得9000元利润。
【答案】
（1）$y=10x+200$；（2）每双运动鞋的售价应该定为87元；（3）能，定价为90元/双。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；利润问题计算
【点评】
本题结合实际销售情境，综合考查一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是抓住利润问题的核心数量关系，同时要注意实际问题中未知数的取值限制，需结合题意对方程的解进行取舍，避免漏看条件导致错解。
【难度系数】
0.7
