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1 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于10的是（
D
）答案
1. D
解析
【分析】
解决本题的核心是运用勾股定理的几何意义：以直角三角形的三边为边长向外作正方形，两个直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。我们只需对每个选项，先确定直角三角形的直角边、斜边分别对应哪些正方形，再根据上述关系计算S的值，找到S=10的选项即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此两个直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积。
选项A：S是斜边对应正方形的面积，两个直角边对应正方形面积为5和15，因此$S=5+15=20$，不符合要求；
选项B：S是斜边对应正方形的面积，两个直角边对应正方形面积为8和6，因此$S=8+6=14$，不符合要求；
选项C：面积为8的正方形是斜边对应正方形，S和面积为6的正方形是直角边对应正方形，因此$S=8-6=2$，不符合要求；
选项D：面积为15的正方形是斜边对应正方形，S和面积为5的正方形是直角边对应正方形，因此$S=15-5=10$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础几何应用题，解题关键是明确直角三角形三边与对应正方形面积的关系，计算难度低，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是运用勾股定理的几何意义：以直角三角形的三边为边长向外作正方形，两个直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。我们只需对每个选项，先确定直角三角形的直角边、斜边分别对应哪些正方形，再根据上述关系计算S的值，找到S=10的选项即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此两个直角边对应正方形的面积和等于斜边对应正方形的面积。
选项A：S是斜边对应正方形的面积，两个直角边对应正方形面积为5和15，因此$S=5+15=20$，不符合要求；
选项B：S是斜边对应正方形的面积，两个直角边对应正方形面积为8和6，因此$S=8+6=14$，不符合要求；
选项C：面积为8的正方形是斜边对应正方形，S和面积为6的正方形是直角边对应正方形，因此$S=8-6=2$，不符合要求；
选项D：面积为15的正方形是斜边对应正方形，S和面积为5的正方形是直角边对应正方形，因此$S=15-5=10$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础几何应用题，解题关键是明确直角三角形三边与对应正方形面积的关系，计算难度低，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8
2 如图是“赵爽弦图”，其中$△ ABH$，$△ BCG$，$△ CDF$，$△ DAE$是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形。如果$AB=10$，$DE=6$，那么正方形EFGH的面积是（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先利用全等三角形的性质得到对应边相等，再结合大正方形的边长，在直角三角形中用勾股定理求出短直角边的长度，最后计算小正方形的边长，进而求出小正方形的面积。第一步：由全等三角形性质得AH=DE，大正方形边长AD=AB；第二步：在Rt△ADE中用勾股定理计算AE的长度；第三步：用AE减去AH得到小正方形的边长HE；第四步：计算HE的平方就是小正方形的面积。
【解析】
∵△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH=DE=6，AD=AB=10，∠AED=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴小正方形EFGH的边长$HE=AE-AH=8-6=2$，
∴正方形EFGH的面积为$HE^2=2^2=4$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，属于勾股定理的经典应用题型，解题的关键是找准全等三角形的对应边，结合勾股定理求出未知边的长度，进而求解小正方形面积。
【难度系数】
0.7
解题时先利用全等三角形的性质得到对应边相等，再结合大正方形的边长，在直角三角形中用勾股定理求出短直角边的长度，最后计算小正方形的边长，进而求出小正方形的面积。第一步：由全等三角形性质得AH=DE，大正方形边长AD=AB；第二步：在Rt△ADE中用勾股定理计算AE的长度；第三步：用AE减去AH得到小正方形的边长HE；第四步：计算HE的平方就是小正方形的面积。
【解析】
∵△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH=DE=6，AD=AB=10，∠AED=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∴小正方形EFGH的边长$HE=AE-AH=8-6=2$，
∴正方形EFGH的面积为$HE^2=2^2=4$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；全等三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，属于勾股定理的经典应用题型，解题的关键是找准全等三角形的对应边，结合勾股定理求出未知边的长度，进而求解小正方形面积。
【难度系数】
0.7
3 如图，分别以$Rt△ ABC(∠ ACB=90°)$的三条边为边向外作正方形ABED、正方形ACHI、正方形BCGF，连接CE.若$BC=8,AB=10$，则$△ BCE$的面积为（
A.40
B.32
C.24
D.18
（第3题） （第4题）
B
）A.40
B.32
C.24
D.18
（第3题） （第4题）
答案
3. B 【解析】连接AF.因为∠ACB=90°,BC=8,AB=10，所以$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36$. 所以$AC=6$. 所以 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$. 因为四边形 ABED 和四边形 BCGF 都是正方形，所以 $EB=AB,BC=BF=CG=GF=8$，$∠ABE=∠CBF=90°$. 所以 $∠ABE+∠ABC=∠CBF+∠ABC$，即 $∠EBC=∠ABF$. 所以 $△BCE ≌ △BFA$. 所以 $S_{△ BCE} = S_{△ BFA} = S_{正方形BCGF} + S_{△ ABC} - S_{△ AGF} = 64 + 24 - \frac{1}{2} × (8+6) × 8 = 32$.
解析
【分析】
要求△BCE的面积，直接找它的底和对应高难度较大，因此考虑通过全等三角形进行面积转化。首先利用勾股定理求出Rt△ABC中未知直角边AC的长度，再结合正方形边相等、内角为90°的性质，证明△BCE和△BFA全等，将△BCE的面积转化为△BFA的面积，最后通过规则图形的面积和差计算出结果。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=8$，$AB=10$，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 10^2 - 8^2 = 36$，因此$AC=6$。
则$S_{△ABC} = \frac{1}{2}·AC·BC = \frac{1}{2}×6×8 = 24$。
连接$AF$，
∵四边形$ABED$、$BCGF$均为正方形，
∴$EB=AB$，$BC=BF=8$，$∠ABE=∠CBF=90°$，
∴$∠ABE+∠ABC=∠CBF+∠ABC$，即$∠EBC=∠ABF$。
在$△BCE$和$△BFA$中：
$\begin{cases}EB=AB \\∠EBC=∠ABF \\BC=BF\end{cases}$
∴$△BCE ≌ △BFA$（SAS），因此$S_{△BCE}=S_{△BFA}$。
计算$S_{△BFA}$：
$S_{△BFA} = S_{正方形BCGF} + S_{△ABC} - S_{△AGF}$
其中$S_{正方形BCGF}=8×8=64$，$S_{△AGF}=\frac{1}{2}×(AC+CG)×GF=\frac{1}{2}×(6+8)×8=56$，
代入得$S_{△BFA}=64+24-56=32$，即$S_{△BCE}=32$。
【答案】B
【知识点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】本题综合考查了正方形、全等三角形和勾股定理的相关知识，核心解题思路是通过全等三角形实现面积的转化，将未知面积转化为可计算的规则图形面积和差，对几何转化思维有一定的训练作用。
【难度系数】0.6
要求△BCE的面积，直接找它的底和对应高难度较大，因此考虑通过全等三角形进行面积转化。首先利用勾股定理求出Rt△ABC中未知直角边AC的长度，再结合正方形边相等、内角为90°的性质，证明△BCE和△BFA全等，将△BCE的面积转化为△BFA的面积，最后通过规则图形的面积和差计算出结果。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$BC=8$，$AB=10$，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 10^2 - 8^2 = 36$，因此$AC=6$。
则$S_{△ABC} = \frac{1}{2}·AC·BC = \frac{1}{2}×6×8 = 24$。
连接$AF$，
∵四边形$ABED$、$BCGF$均为正方形，
∴$EB=AB$，$BC=BF=8$，$∠ABE=∠CBF=90°$，
∴$∠ABE+∠ABC=∠CBF+∠ABC$，即$∠EBC=∠ABF$。
在$△BCE$和$△BFA$中：
$\begin{cases}EB=AB \\∠EBC=∠ABF \\BC=BF\end{cases}$
∴$△BCE ≌ △BFA$（SAS），因此$S_{△BCE}=S_{△BFA}$。
计算$S_{△BFA}$：
$S_{△BFA} = S_{正方形BCGF} + S_{△ABC} - S_{△AGF}$
其中$S_{正方形BCGF}=8×8=64$，$S_{△AGF}=\frac{1}{2}×(AC+CG)×GF=\frac{1}{2}×(6+8)×8=56$，
代入得$S_{△BFA}=64+24-56=32$，即$S_{△BCE}=32$。
【答案】B
【知识点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】本题综合考查了正方形、全等三角形和勾股定理的相关知识，核心解题思路是通过全等三角形实现面积的转化，将未知面积转化为可计算的规则图形面积和差，对几何转化思维有一定的训练作用。
【难度系数】0.6
4 如图所示为由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中涂色部分的面积是
50
。答案
4. 50
解析
【分析】
解题时首先观察图形结构：右侧是已知两条边长的直角三角形，可先用勾股定理求出其短直角边长，该长度就是上方阴影正方形的边长，可直接算出上方正方形的面积。再观察下方两个小阴影正方形，其边长为下方小直角三角形的两条直角边，该小直角三角形的斜边恰好等于上方阴影正方形的边长，根据勾股定理，两个小正方形的面积和等于斜边的平方，也就是等于上方阴影正方形的面积，最后将三部分阴影面积相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算右侧直角三角形的短直角边长：
根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知斜边为13，长直角边为12，因此短直角边长为$\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
上方阴影正方形的边长等于该短直角边，因此其面积为$5^2=25$。
2. 计算下方两个小阴影正方形的面积和：
设两个小正方形的边长分别为$m$、$n$，二者是下方小直角三角形的两条直角边，该直角三角形的斜边长为上方正方形的边长5，根据勾股定理可得$m^2+n^2=5^2=25$，即两个小正方形的面积和为25。
3. 总阴影面积为三部分相加：$25+25=50$。
【答案】
50
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积计算结合，解题关键是理解正方形面积等于其边长的平方，可直接利用勾股定理得到两个小正方形的面积和，无需分别计算单个小正方形的面积，能锻炼对图形边长关系的观察能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形结构：右侧是已知两条边长的直角三角形，可先用勾股定理求出其短直角边长，该长度就是上方阴影正方形的边长，可直接算出上方正方形的面积。再观察下方两个小阴影正方形，其边长为下方小直角三角形的两条直角边，该小直角三角形的斜边恰好等于上方阴影正方形的边长，根据勾股定理，两个小正方形的面积和等于斜边的平方，也就是等于上方阴影正方形的面积，最后将三部分阴影面积相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算右侧直角三角形的短直角边长：
根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知斜边为13，长直角边为12，因此短直角边长为$\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
上方阴影正方形的边长等于该短直角边，因此其面积为$5^2=25$。
2. 计算下方两个小阴影正方形的面积和：
设两个小正方形的边长分别为$m$、$n$，二者是下方小直角三角形的两条直角边，该直角三角形的斜边长为上方正方形的边长5，根据勾股定理可得$m^2+n^2=5^2=25$，即两个小正方形的面积和为25。
3. 总阴影面积为三部分相加：$25+25=50$。
【答案】
50
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积计算结合，解题关键是理解正方形面积等于其边长的平方，可直接利用勾股定理得到两个小正方形的面积和，无需分别计算单个小正方形的面积，能锻炼对图形边长关系的观察能力。
【难度系数】
0.7
5 新情境 科技创新 2023年10月,深中通道超宽海底隧道在某次进行海底沉管安装作业时,工程师需验证海底沉管安装的垂直精度.现有四组测量数据(单位:米),其中可构成直角三角形以确保安装精度的是 (
A.6,8,10
B.5,6,7
C.7,8,9
D.10,12,15
A
)A.6,8,10
B.5,6,7
C.7,8,9
D.10,12,15
答案
5. A
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的实际应用，解题思路如下：首先明确直角三角形的三边满足“两条较短边的平方和等于最长边的平方”，因此我们只需要分别计算每个选项中三个数的平方，先找出每组的最长边，再验证另外两个数的平方和是否等于最长边的平方，相等即可构成直角三角形。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边长$a,b,c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，我们逐个验证选项：
选项A：最长边为10，计算得$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，满足$6^2+8^2=10^2$，可以构成直角三角形；
选项B：最长边为7，计算得$5^2+6^2=25+36=61$，$7^2=49$，$61≠49$，不能构成直角三角形；
选项C：最长边为9，计算得$7^2+8^2=49+64=113$，$9^2=81$，$113≠81$，不能构成直角三角形；
选项D：最长边为15，计算得$10^2+12^2=100+144=244$，$15^2=225$，$244≠225$，不能构成直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合工程测量的实际情境考查勾股定理逆定理的应用，解题的核心是明确验证的逻辑：先确定最长边，再验证三边的平方关系，属于基础应用类题目，解题时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.85
本题考查勾股定理逆定理的实际应用，解题思路如下：首先明确直角三角形的三边满足“两条较短边的平方和等于最长边的平方”，因此我们只需要分别计算每个选项中三个数的平方，先找出每组的最长边，再验证另外两个数的平方和是否等于最长边的平方，相等即可构成直角三角形。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边长$a,b,c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，我们逐个验证选项：
选项A：最长边为10，计算得$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，满足$6^2+8^2=10^2$，可以构成直角三角形；
选项B：最长边为7，计算得$5^2+6^2=25+36=61$，$7^2=49$，$61≠49$，不能构成直角三角形；
选项C：最长边为9，计算得$7^2+8^2=49+64=113$，$9^2=81$，$113≠81$，不能构成直角三角形；
选项D：最长边为15，计算得$10^2+12^2=100+144=244$，$15^2=225$，$244≠225$，不能构成直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合工程测量的实际情境考查勾股定理逆定理的应用，解题的核心是明确验证的逻辑：先确定最长边，再验证三边的平方关系，属于基础应用类题目，解题时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.85
