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1 如图,牧童在点 A 处放牛,其家在点 B 处,点 A,B 到水平河岸 l 的距离分别为 AC,BD 的长,AC = 200 m,BD = 600 m,且 CD = 600 m.
(1) 牧童从点 A 处将牛牵到河岸 l 饮水后再回家.当在何处饮水时,所走的路程最短?
(2) 求最短路径长.
(1) 牧童从点 A 处将牛牵到河岸 l 饮水后再回家.当在何处饮水时,所走的路程最短?
(2) 求最短路径长.
答案
1. (1) 如图,作点 A 关于 l 的对称点 F,连接 BF 交 CD 于点 P,连接 AP,易知此时 PA+PB 的值最小,即当在点 P 处饮水时,所走的路程最短 (2) 如图,过点 B 作 BE⊥CA,交 CA 的延长线于点 E. 由题意,得 EF = BD + AC = 600 + 200 = 800(m),BE=CD=600 m,∠E=90°. 在Rt△BEF 中,由勾股定理,得BF²=EF²+BE²=800²+600²=1 000²(m²). 所以 BF =1 000 m. 所以最短路径长为 1 000 m
解析
【分析】
(1) 本题属于直线同侧两定点的最短路径问题，即“将军饮马”模型，解题核心是利用轴对称性质将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”找到最优位置：要在河岸$l$上找一点$P$使$PA+PB$最小，可先作点$A$关于直线$l$的对称点$F$，此时$PA=PF$，因此$PA+PB=PF+PB$，当$B、P、F$三点共线时，$PF+PB$的值最小，对应交点即为所求饮水点。
(2) 求最短路径长度即求线段$BF$的长，可通过构造直角三角形，将已知的$CD、AC、BD$的长度转化为直角三角形的直角边长，再用勾股定理计算斜边$BF$的长度即可。
【解析】
(1) 作点$A$关于直线$l$的对称点$F$，连接$BF$，$BF$与线段$CD$的交点记为$P$，连接$AP$。
∵ 点$A$和点$F$关于直线$l$对称，
∴ $PA=PF$，因此$PA+PB=PF+PB$。
根据“两点之间线段最短”，当$B、P、F$三点共线时，$PF+PB$取得最小值，等于$BF$的长，因此点$P$即为所求的饮水点。
(2) 过点$B$作$BE⊥CA$，交$CA$的延长线于点$E$。
∵ $AC⊥l$，$BD⊥l$，$BE⊥CE$，
∴ 四边形$BECD$是矩形，因此$BE=CD=600\ \mathrm{m}$，$CE=BD=600\ \mathrm{m}$。
由轴对称性质可知$CF=AC=200\ \mathrm{m}$，因此$EF=CE+CF=600+200=800\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ E=90°$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{EF^2+BE^2}=\sqrt{800^2+600^2}=\sqrt{640000+360000}=\sqrt{1000000}=1000\ \mathrm{m}$
即最短路径长为$1000\ \mathrm{m}$。
【答案】
1. (1) 如图,作点 A 关于 l 的对称点 F,连接 BF 交 CD 于点 P,连接 AP,易知此时 PA+PB 的值最小,即当在点 P 处饮水时,所走的路程最短 (2) 如图,过点 B 作 BE⊥CA,交 CA 的延长线于点 E. 由题意,得 EF = BD + AC = 600 + 200 = 800(m),BE=CD=600 m,∠E=90°. 在Rt△BEF 中,由勾股定理,得BF²=EF²+BE²=800²+600²=1 000²(m²). 所以 BF =1 000 m. 所以最短路径长为 1 000 m
【知识点】
轴对称的性质、最短路径模型、勾股定理的应用
【点评】
本题是经典的最短路径模型应用题，解题的关键是利用轴对称将折线距离转化为两点间的线段距离，再通过构造直角三角形结合勾股定理求解，考查了几何建模能力和基础运算能力，是平面几何的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于直线同侧两定点的最短路径问题，即“将军饮马”模型，解题核心是利用轴对称性质将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”找到最优位置：要在河岸$l$上找一点$P$使$PA+PB$最小，可先作点$A$关于直线$l$的对称点$F$，此时$PA=PF$，因此$PA+PB=PF+PB$，当$B、P、F$三点共线时，$PF+PB$的值最小，对应交点即为所求饮水点。
(2) 求最短路径长度即求线段$BF$的长，可通过构造直角三角形，将已知的$CD、AC、BD$的长度转化为直角三角形的直角边长，再用勾股定理计算斜边$BF$的长度即可。
【解析】
(1) 作点$A$关于直线$l$的对称点$F$，连接$BF$，$BF$与线段$CD$的交点记为$P$，连接$AP$。
∵ 点$A$和点$F$关于直线$l$对称，
∴ $PA=PF$，因此$PA+PB=PF+PB$。
根据“两点之间线段最短”，当$B、P、F$三点共线时，$PF+PB$取得最小值，等于$BF$的长，因此点$P$即为所求的饮水点。
(2) 过点$B$作$BE⊥CA$，交$CA$的延长线于点$E$。
∵ $AC⊥l$，$BD⊥l$，$BE⊥CE$，
∴ 四边形$BECD$是矩形，因此$BE=CD=600\ \mathrm{m}$，$CE=BD=600\ \mathrm{m}$。
由轴对称性质可知$CF=AC=200\ \mathrm{m}$，因此$EF=CE+CF=600+200=800\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ E=90°$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{EF^2+BE^2}=\sqrt{800^2+600^2}=\sqrt{640000+360000}=\sqrt{1000000}=1000\ \mathrm{m}$
即最短路径长为$1000\ \mathrm{m}$。
【答案】
1. (1) 如图,作点 A 关于 l 的对称点 F,连接 BF 交 CD 于点 P,连接 AP,易知此时 PA+PB 的值最小,即当在点 P 处饮水时,所走的路程最短 (2) 如图,过点 B 作 BE⊥CA,交 CA 的延长线于点 E. 由题意,得 EF = BD + AC = 600 + 200 = 800(m),BE=CD=600 m,∠E=90°. 在Rt△BEF 中,由勾股定理,得BF²=EF²+BE²=800²+600²=1 000²(m²). 所以 BF =1 000 m. 所以最短路径长为 1 000 m
【知识点】
轴对称的性质、最短路径模型、勾股定理的应用
【点评】
本题是经典的最短路径模型应用题，解题的关键是利用轴对称将折线距离转化为两点间的线段距离，再通过构造直角三角形结合勾股定理求解，考查了几何建模能力和基础运算能力，是平面几何的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
2 如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点A绕到正上方的点B. 已知圆柱的底面周长是3 m，高为16 m，则所需彩带最短是
20
m.答案
2. 20
解析
【分析】
要计算圆柱上缠绕彩带的最短长度，需用“化曲为直”的思想，将立体曲面问题转化为平面问题求解：首先把圆柱侧面沿AB所在的竖直线剪开、展开，因为彩带绕圆柱4圈，所以展开后得到的长方形的长为4倍的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，此时彩带的最短路径就是该长方形的对角线长度，再用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
将圆柱侧面沿AB剪开并展开，由于彩带缠绕4圈，因此展开后长方形的长为：$4×3=12\ \mathrm{m}$，长方形的宽等于圆柱的高$16\ \mathrm{m}$。
根据“两点之间线段最短”，彩带的最短长度为该长方形的对角线长度，由勾股定理可得：
对角线长度$=\sqrt{12^2 + 16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$
【答案】
20
【知识点】
勾股定理的应用；化曲为直思想；最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心解题思路是将曲面展开为平面，把立体问题转化为熟悉的平面几何问题，再结合勾股定理计算，重点考察学生的转化思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算圆柱上缠绕彩带的最短长度，需用“化曲为直”的思想，将立体曲面问题转化为平面问题求解：首先把圆柱侧面沿AB所在的竖直线剪开、展开，因为彩带绕圆柱4圈，所以展开后得到的长方形的长为4倍的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，此时彩带的最短路径就是该长方形的对角线长度，再用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
将圆柱侧面沿AB剪开并展开，由于彩带缠绕4圈，因此展开后长方形的长为：$4×3=12\ \mathrm{m}$，长方形的宽等于圆柱的高$16\ \mathrm{m}$。
根据“两点之间线段最短”，彩带的最短长度为该长方形的对角线长度，由勾股定理可得：
对角线长度$=\sqrt{12^2 + 16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$
【答案】
20
【知识点】
勾股定理的应用；化曲为直思想；最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心解题思路是将曲面展开为平面，把立体问题转化为熟悉的平面几何问题，再结合勾股定理计算，重点考察学生的转化思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
3 转化与化归思想 如图，圆柱形玻璃杯的高为14 cm，底面圆周长为32 cm，在玻璃杯内壁距离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，距离玻璃杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁点A处爬到内壁点B处的最短路径长为
20
cm(杯壁厚度不计)。答案
3. 20 【解析】如图,将玻璃杯侧面的一半展开,作点 A 关于CE 的对称点 A',过点 A'作 A'D⊥GE,交 GE 的延长线于点 D,连接 A'B,则易得 A'B 的长即为最短路径长. 由题意,得 AC=3 cm,BG=5 cm,EG=14 cm,HG=32÷2=16(cm). 所以易得A'C=DE=AC=3 cm,BE=14-5=9(cm),A'D=HG=16 cm. 所以 BD=3+9=12(cm). 在Rt△A'DB 中,由勾股定理,得 A'B²=A'D²+BD²=16²+12²=400(cm²). 所以 A'B=20 cm,即蚂蚁从外壁点 A 处爬到内壁点 B 处的最短路径长为20 cm。
解析
【分析】
要解决圆柱表面的最短路径问题，需先将曲面转化为平面，即把圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间，线段最短”求解。由于蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，路径需要穿过杯口，因此先作点A关于杯口所在直线的对称点A'，将A到杯口的距离转化为A'到杯口的距离，此时最短路径就等于线段A'B的长度，最后结合已知条件用勾股定理计算A'B的长度即可。
【解析】
将玻璃杯侧面的一半展开，作点A关于CE的对称点A'，连接A'B，则A'B的长即为最短路径长。
由题意得：圆柱高14cm，底面周长32cm，点A距离上沿3cm，点B距离杯底5cm。
侧面展开后水平方向的边长为底面周长的一半：$ HG = 32÷2 = 16\ \mathrm{cm} $，即$ A'D = 16\ \mathrm{cm} $；
竖直方向上，对称后$ A'C = AC = 3\ \mathrm{cm} $，点B到上沿的距离为$ 14 - 5 = 9\ \mathrm{cm} $，因此$ BD = 3 + 9 = 12\ \mathrm{cm} $；
在$ \mathrm{Rt}△ A'DB $中，根据勾股定理：
$ A'B = \sqrt{A'D^2 + BD^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{cm} $。
【答案】
20
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题运用转化与化归思想，将立体的曲面最短路径问题转化为平面内两点间线段最短问题，解题的关键是根据内外壁的条件正确作出对称点，准确找到直角三角形的两条直角边长度，是立体几何与平面几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
要解决圆柱表面的最短路径问题，需先将曲面转化为平面，即把圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间，线段最短”求解。由于蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，路径需要穿过杯口，因此先作点A关于杯口所在直线的对称点A'，将A到杯口的距离转化为A'到杯口的距离，此时最短路径就等于线段A'B的长度，最后结合已知条件用勾股定理计算A'B的长度即可。
【解析】
将玻璃杯侧面的一半展开，作点A关于CE的对称点A'，连接A'B，则A'B的长即为最短路径长。
由题意得：圆柱高14cm，底面周长32cm，点A距离上沿3cm，点B距离杯底5cm。
侧面展开后水平方向的边长为底面周长的一半：$ HG = 32÷2 = 16\ \mathrm{cm} $，即$ A'D = 16\ \mathrm{cm} $；
竖直方向上，对称后$ A'C = AC = 3\ \mathrm{cm} $，点B到上沿的距离为$ 14 - 5 = 9\ \mathrm{cm} $，因此$ BD = 3 + 9 = 12\ \mathrm{cm} $；
在$ \mathrm{Rt}△ A'DB $中，根据勾股定理：
$ A'B = \sqrt{A'D^2 + BD^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{cm} $。
【答案】
20
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题运用转化与化归思想，将立体的曲面最短路径问题转化为平面内两点间线段最短问题，解题的关键是根据内外壁的条件正确作出对称点，准确找到直角三角形的两条直角边长度，是立体几何与平面几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
4如图，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为$\frac{8}{π}$ m，已知AE + BF = 11 m，BC = 8 m，一只蚂蚁从点A爬到点C，且必须翻过半圆柱凸起，则它需要爬行的最短路程为
17
m.答案
4. 17 【解析】如图①,取 AB 的中点M,所以 AM=BM. 由题意,得 $EF=\frac{8}{π}$ m. 所以 $EM=MF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×\frac{8}{π}=\frac{4}{π}$(m).所以半圆的弧长 $l=\frac{1}{2}×2π·\frac{4}{π}=4$(m). 将中间半圆柱展开,如图②所示,连接 AC,所以 AB=l+AE+BF=4+11=15(m).因为 $AC^2=AB^2+BC^2$,所以 AC=17 m. 所以一只蚂蚁从点 A 爬到点 C,且必须翻过半圆柱凸起,则它需要爬行的最短路程为 17 m。
解析
【分析】
要计算蚂蚁翻过凸起的最短路程，需采用“化曲为直”的思路：先将半圆柱的侧面展开为平面，此时两点之间线段最短，蚂蚁的最短路径就是展开后平面内A到C的线段长度。解题时先计算半圆弧的长度，得到展开后长方形的长，再结合已知的宽BC，最后用勾股定理计算线段AC的长度即可。
【解析】
解：由题意得，半圆柱的底面直径$EF=\frac{8}{π}\ \mathrm{m}$，因此半圆的半径$r=\frac{1}{2}EF=\frac{4}{π}\ \mathrm{m}$。
计算半圆弧的长度：$l=\frac{1}{2}×2π r=π×\frac{4}{π}=4\ \mathrm{m}$。
将半圆柱侧面展开后，展开图中AB的总长度为$AE+BF+\mathrm{半圆弧长}=11+4=15\ \mathrm{m}$，BC的长度仍为$8\ \mathrm{m}$，且$∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$。
【答案】
17
【知识点】
最短路径问题、弧长计算、勾股定理
【点评】
本题是典型的立体图形最短路径问题，核心是利用转化思想将曲面展开为平面，把立体问题转化为熟悉的平面直角三角形求解，能有效考查空间想象能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算蚂蚁翻过凸起的最短路程，需采用“化曲为直”的思路：先将半圆柱的侧面展开为平面，此时两点之间线段最短，蚂蚁的最短路径就是展开后平面内A到C的线段长度。解题时先计算半圆弧的长度，得到展开后长方形的长，再结合已知的宽BC，最后用勾股定理计算线段AC的长度即可。
【解析】
解：由题意得，半圆柱的底面直径$EF=\frac{8}{π}\ \mathrm{m}$，因此半圆的半径$r=\frac{1}{2}EF=\frac{4}{π}\ \mathrm{m}$。
计算半圆弧的长度：$l=\frac{1}{2}×2π r=π×\frac{4}{π}=4\ \mathrm{m}$。
将半圆柱侧面展开后，展开图中AB的总长度为$AE+BF+\mathrm{半圆弧长}=11+4=15\ \mathrm{m}$，BC的长度仍为$8\ \mathrm{m}$，且$∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$。
【答案】
17
【知识点】
最短路径问题、弧长计算、勾股定理
【点评】
本题是典型的立体图形最短路径问题，核心是利用转化思想将曲面展开为平面，把立体问题转化为熟悉的平面直角三角形求解，能有效考查空间想象能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5 如图,在一片长为2 m、宽为1 m的长方形草地上放着一长方体木块,它和草地的宽AD平行的棱的长大于AD的长,木块从正面看是边长为0.2 m的正方形,蚂蚁从A处到达C处需要爬行的最短路程为
2.6
m.答案
5. 2.6 【解析】如图,连接 AC. 由题意,得 AB=2+2×0.2=2.4(m),BC=1 m,AC 的长为这只蚂蚁从 A 处到达 C 处需要爬行的最短路程. 根据勾股定理,可知 $AC^2=AB^2+BC^2=6.76(\mathrm{m}^2)$. 所以 AC=2.6 m. 所以蚂蚁从 A 处到达 C 处需要爬行的最短路程为 2.6 m。
解析
【分析】
要计算蚂蚁从A到C的最短路程，依据“两点之间，线段最短”的原理，需将木块的侧面展开到草地所在平面，把带障碍的立体路径转化为平面内两点的线段距离。首先确定展开后直角三角形的两条直角边长度：木块正面是边长为0.2m的正方形，蚂蚁绕过木块时，水平方向总长度会在原草地长的基础上增加2个正方形的边长，竖直方向长度仍为草地的宽，最后用勾股定理计算斜边长度即可得到最短路程。
【解析】
将木块的两个侧面展开到草地所在平面，连接AC，此时线段AC的长度就是蚂蚁爬行的最短路程。
由题意得，展开后水平边长：$AB=2+2×0.2=2.4\ \mathrm{m}$，竖直边长$BC=1\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2=2.4^2+1^2=5.76+1=6.76\ (\mathrm{m}^2)$
解得$AC=\sqrt{6.76}=2.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
2.6
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理；最短路径计算
【点评】
本题是平面最短路径的典型应用题目，解题的关键是将有障碍物的路径通过展开转化为平面内的直线路径，再结合勾股定理求解，计算展开后的边长时要注意不要漏加木块两个侧面的长度。
【难度系数】
0.7
要计算蚂蚁从A到C的最短路程，依据“两点之间，线段最短”的原理，需将木块的侧面展开到草地所在平面，把带障碍的立体路径转化为平面内两点的线段距离。首先确定展开后直角三角形的两条直角边长度：木块正面是边长为0.2m的正方形，蚂蚁绕过木块时，水平方向总长度会在原草地长的基础上增加2个正方形的边长，竖直方向长度仍为草地的宽，最后用勾股定理计算斜边长度即可得到最短路程。
【解析】
将木块的两个侧面展开到草地所在平面，连接AC，此时线段AC的长度就是蚂蚁爬行的最短路程。
由题意得，展开后水平边长：$AB=2+2×0.2=2.4\ \mathrm{m}$，竖直边长$BC=1\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2=2.4^2+1^2=5.76+1=6.76\ (\mathrm{m}^2)$
解得$AC=\sqrt{6.76}=2.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
2.6
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理；最短路径计算
【点评】
本题是平面最短路径的典型应用题目，解题的关键是将有障碍物的路径通过展开转化为平面内的直线路径，再结合勾股定理求解，计算展开后的边长时要注意不要漏加木块两个侧面的长度。
【难度系数】
0.7
6 在如图所示的长方体中，高$AA_1=20\ \mathrm{cm}$，底面$A_1B_1C_1D_1$是长方形，其长$A_1B_1=10\ \mathrm{cm}$，宽$A_1D_1=7\ \mathrm{cm}$，点E在棱$B_1C_1$上，且$B_1E=5\ \mathrm{cm}$。若一只蚂蚁要沿着长方体表面从点A爬到点E，求爬行的最短路径长。
答案
6. 分三种情况讨论:① 如图①,蚂蚁沿着面 $ABB_1A_1$ 和面$BCC_1B_1$ 从点 A 爬到点 E,连接 AE. 由题意,得 $AA_1=20\ \mathrm{cm}$,$A_1E=A_1B_1+B_1E=15\ \mathrm{cm}$. 所以 $AE^2=AA_1^2+A_1E^2=20^2+15^2=625(\mathrm{cm}^2)$.② 如图 ②,蚂蚁沿着面 $ABB_1A_1$ 和面$A_1B_1C_1D_1$ 从点 A 爬到点 E,连接 AE. 由题意,得 $AB=10\ \mathrm{cm}$,$BE=BB_1+B_1E=25\ \mathrm{cm}$,所以 $AE^2=AB^2+BE^2=10^2+25^2=725(\mathrm{cm}^2)$.③ 如图③,蚂蚁沿着面 $ADD_1A_1$ 和面 $A_1B_1C_1D_1$ 从点 A 爬到点 E,连接 AE. 由题意,得 $AB_1=AA_1+A_1B_1=30\ \mathrm{cm}$,$B_1E=5\ \mathrm{cm}$. 所以 $AE^2=AB_1^2+B_1E^2=30^2+5^2=925(\mathrm{cm}^2)$. 因为 625＜725＜925,所以爬行的最短路径长是 25 cm。
解析
【分析】
解决长方体表面两点的最短爬行路径问题，核心思路是将长方体相邻的两个面展开到同一平面，根据“两点之间，线段最短”，此时连接两点的线段长度就是该种展开方式下的路径长。由于长方体有多种不同的展开方式，需要将所有可能的展开情况分别计算路径长，再比较大小，最终得到最短路径。
【解析】
分三种情况讨论不同的面展开方式：
① 如图①，将面$ABB_1A_1$和面$BCC_1B_1$展开到同一平面，连接$AE$。
由题意得$AA_1=20\ \mathrm{cm}$，$A_1E=A_1B_1+B_1E=10+5=15\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$AE^2=AA_1^2+A_1E^2=20^2+15^2=625(\mathrm{cm}^2)$；
② 如图②，将面$ABB_1A_1$和面$A_1B_1C_1D_1$展开到同一平面，连接$AE$。
由题意得$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BE=BB_1+B_1E=20+5=25\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$AE^2=AB^2+BE^2=10^2+25^2=725(\mathrm{cm}^2)$；
③ 如图③，将面$ADD_1A_1$和面$A_1B_1C_1D_1$展开到同一平面，连接$AE$。
由题意得$AB_1=AA_1+A_1B_1=20+10=30\ \mathrm{cm}$，$B_1E=5\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$AE^2=AB_1^2+B_1E^2=30^2+5^2=925(\mathrm{cm}^2)$。
因为$625＜725＜925$，所以最短路径长为$\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$。
【答案】
爬行的最短路径长是25 cm。
【知识点】
长方体表面展开、两点之间线段最短、勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题的关键是建立“立体转平面”的转化思想，同时要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免遗漏情况，再通过勾股定理计算、比较即可得到最短路径。
【难度系数】
0.6
解决长方体表面两点的最短爬行路径问题，核心思路是将长方体相邻的两个面展开到同一平面，根据“两点之间，线段最短”，此时连接两点的线段长度就是该种展开方式下的路径长。由于长方体有多种不同的展开方式，需要将所有可能的展开情况分别计算路径长，再比较大小，最终得到最短路径。
【解析】
分三种情况讨论不同的面展开方式：
① 如图①，将面$ABB_1A_1$和面$BCC_1B_1$展开到同一平面，连接$AE$。
由题意得$AA_1=20\ \mathrm{cm}$，$A_1E=A_1B_1+B_1E=10+5=15\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$AE^2=AA_1^2+A_1E^2=20^2+15^2=625(\mathrm{cm}^2)$；
② 如图②，将面$ABB_1A_1$和面$A_1B_1C_1D_1$展开到同一平面，连接$AE$。
由题意得$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BE=BB_1+B_1E=20+5=25\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$AE^2=AB^2+BE^2=10^2+25^2=725(\mathrm{cm}^2)$；
③ 如图③，将面$ADD_1A_1$和面$A_1B_1C_1D_1$展开到同一平面，连接$AE$。
由题意得$AB_1=AA_1+A_1B_1=20+10=30\ \mathrm{cm}$，$B_1E=5\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得：$AE^2=AB_1^2+B_1E^2=30^2+5^2=925(\mathrm{cm}^2)$。
因为$625＜725＜925$，所以最短路径长为$\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$。
【答案】
爬行的最短路径长是25 cm。
【知识点】
长方体表面展开、两点之间线段最短、勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题的关键是建立“立体转平面”的转化思想，同时要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免遗漏情况，再通过勾股定理计算、比较即可得到最短路径。
【难度系数】
0.6
7 如图，每一层台阶的高都是20 cm，宽都是50 cm，长都是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A处出发到达点B处，其爬行的最短路径长是
130
cm.答案
7. 130
解析
【分析】
要解决立体图形上蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是将立体图形的表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”，最短路径就是展开后A、B两点连线的长度，再利用勾股定理计算该线段的长度即可。首先明确台阶参数：高20cm，宽50cm，长40cm，共2级台阶，展开后A、B两点为同一个直角三角形的两个顶点，先求出两条直角边的长度，再计算斜边即可。
【解析】
将台阶的表面展开铺平，此时点A和点B在同一平面内，连接AB，AB的长度就是蚂蚁爬行的最短路径。
展开后得到的直角三角形两条直角边长度分别为：
一条直角边为沿台阶宽度方向的长度，即$50\,\mathrm{cm}$；
另一条直角边为2级台阶的长度与高度的总和，即$2×(40+20)=120\,\mathrm{cm}$。
根据勾股定理，最短路径长度为：
$AB=\sqrt{50^2+120^2}=\sqrt{2500+14400}=\sqrt{16900}=130\,\mathrm{cm}$。
【答案】
130
【知识点】
平面展开最短路径，勾股定理，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的思路，将立体表面展开转化为平面问题，再结合勾股定理计算，需要注意准确辨认展开后直角边的对应长度，避免参数混淆出错。
【难度系数】
0.7
要解决立体图形上蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是将立体图形的表面展开为平面图形，根据“两点之间，线段最短”，最短路径就是展开后A、B两点连线的长度，再利用勾股定理计算该线段的长度即可。首先明确台阶参数：高20cm，宽50cm，长40cm，共2级台阶，展开后A、B两点为同一个直角三角形的两个顶点，先求出两条直角边的长度，再计算斜边即可。
【解析】
将台阶的表面展开铺平，此时点A和点B在同一平面内，连接AB，AB的长度就是蚂蚁爬行的最短路径。
展开后得到的直角三角形两条直角边长度分别为：
一条直角边为沿台阶宽度方向的长度，即$50\,\mathrm{cm}$；
另一条直角边为2级台阶的长度与高度的总和，即$2×(40+20)=120\,\mathrm{cm}$。
根据勾股定理，最短路径长度为：
$AB=\sqrt{50^2+120^2}=\sqrt{2500+14400}=\sqrt{16900}=130\,\mathrm{cm}$。
【答案】
130
【知识点】
平面展开最短路径，勾股定理，两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的思路，将立体表面展开转化为平面问题，再结合勾股定理计算，需要注意准确辨认展开后直角边的对应长度，避免参数混淆出错。
【难度系数】
0.7
