14 某实践小组观察并记录了莴笋的成长过程.如图所示为一种莴笋的高度$y$(厘米)与观察时间$x$(天)之间的函数图象.由图象可知,这种莴笋可能达到的最大高度是 ()


A.25厘米
B.32厘米
C.35厘米
D.40厘米

B

【分析】
观察函数图象可知，当0≤x≤50时，莴笋高度y随观察时间x呈一次函数关系增长，当x≥50时，莴笋高度不再变化，因此莴笋的最大高度就是x=50时对应的y值。解题时先利用待定系数法求出0≤x≤50区间的一次函数解析式，再代入x=50计算即可得到最大高度。
【解析】
设当0≤x≤50时，y与x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由图象可知，函数图象过点$(0,12)$，代入解析式得$b=12$；
又函数图象过点$(30,24)$，将$x=30$、$y=24$、$b=12$代入解析式得：
$24=30k+12$
解得$k=0.4$
因此该一次函数解析式为$y=0.4x+12$
当$x=50$时，$y=0.4×50+12=32$
即这种莴笋可能达到的最大高度是32厘米。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，函数图象分析
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的相关应用，需要学生从图象中提取有效信息，明确莴笋最大高度对应一次函数增长阶段终点的函数值，解题核心是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法。
【难度系数】
0.7

15 如图，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点.若$OA=4$，$OB=2$，则关于x的方程$kx+b=0$的解为.

$x=-4$

【分析】
首先明确一次函数与一元一次方程的关系：关于x的方程$kx+b=0$的解，对应一次函数$y=kx+b$的函数值为0时的x值，也就是该函数图象与x轴交点的横坐标。接下来只需确定交点A的横坐标即可：已知$OA=4$，点A在x轴负半轴，因此A的横坐标为-4，即可得到方程的解。
【解析】
关于x的方程$kx+b=0$的解，就是一次函数$y=kx+b$图象与x轴交点的横坐标。
由图可知点A是函数图象与x轴的交点，$OA=4$且A在x轴负半轴，因此点A的坐标为$(-4,0)$，即当$x=-4$时，$y=kx+b=0$。
因此方程$kx+b=0$的解为$x=-4$。
【答案】
$x=-4$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题为基础题，关键是理解一元一次方程和对应一次函数的内在联系，将方程求解转化为求函数图象与x轴交点的横坐标，结合图象给出的线段长度即可快速得到答案。
【难度系数】
0.85

16 Ⅰ号无人机从海拔10 m处出发，以10 m/min的速度匀速上升；同时，Ⅱ号无人机从海拔30 m处出发匀速上升，经过5 min两架无人机位于同一海拔b m处。两架无人机所处位置的海拔y(m)与上升时间x(min)之间的函数关系如图所示。已知两架无人机都上升了15 min。
（1）求b的值及Ⅱ号无人机所处位置的海拔y(m)与上升时间x(min)之间的函数表达式；
（2）当Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28 m时，求上升时间。

(1) $b=10+10×5=60$ 设Ⅱ号无人机所处位置的海拔$y$(m)与上升时间$x$(min)之间的函数表达式为$y=kx+t$.将$(0,30),(5,60)$代入,得$t=30,5k+t=60$,解得$k=6,t=30$. 所以Ⅱ号无人机所处位置的海拔$y$(m)与上升时间$x$(min)之间的函数表达式为$y=6x+30(0≤x≤15)$
(2) 由题意,得Ⅰ号无人机所处位置的海拔$y$(m)与上升时间$x$(min)之间的函数表达式为$y=10x+10$. 所以$(10x+10)-(6x+30)=28$,解得$x=12$. 因为$12＜15$,所以上升时间为12 min

【分析】
（1）求b的值时，可利用Ⅰ号无人机的初始海拔、上升速度和上升时间直接计算5min时的海拔，就是两机同高度的b值；求Ⅱ号无人机的函数表达式时，已知它的函数图像过(0,30)和(5,b)两点，采用待定系数法设一次函数解析式，代入两点坐标求解系数即可，同时要结合上升总时长标注自变量的取值范围。
（2）先写出Ⅰ号无人机的海拔与时间的函数表达式，根据“Ⅰ号无人机比Ⅱ号高28m”的数量关系列方程，求解后验证解是否在上升时间的有效范围内，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
（1）计算b的值：
Ⅰ号无人机初始海拔为10m，上升速度为10m/min，上升5min后的海拔为：
$b=10+10×5=60$
设Ⅱ号无人机的海拔y与上升时间x的函数表达式为$y=kx+t(k≠0)$，由题意可知函数过点$(0,30)$和$(5,60)$，将两点代入表达式：
当$x=0$时，$t=30$；
将$t=30$、$x=5$、$y=60$代入得$5k+30=60$，解得$k=6$。
因为两架无人机都上升了15min，所以自变量x的取值范围是$0≤x≤15$，因此Ⅱ号的函数表达式为$y=6x+30(0≤x≤15)$。
（2）由题意可得Ⅰ号无人机的海拔y与上升时间x的函数表达式为：$y=10x+10(0≤x≤15)$。
根据Ⅰ号比Ⅱ号高28m列方程：
$(10x+10)-(6x+30)=28$
化简得：$4x-20=28$
解得：$x=12$
验证：$12＜15$，符合上升时间的取值范围，因此解有效。
【答案】
(1) $b=60$，Ⅱ号无人机所处位置的海拔y与上升时间x的函数表达式为$\boldsymbol{y=6x+30(0≤x≤15)}$；
(2) 上升时间为$\boldsymbol{12\ \mathrm{min}}$。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，一元一次方程的应用
【点评】
本题以无人机上升为背景，考查一次函数和一元一次方程的结合应用，解题的核心是准确提取题干和图像中的对应信息，理清数量关系，计算后要注意验证结果是否符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.7

17 一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地.如图是快、慢两车离乙地的路程 y(km)与快车行驶的时间 x(h)之间的函数图象.根据图象，解答下面的问题：
（1）当$2≤ x≤ 8$时，求慢车离乙地的路程 y与快车行驶的时间 x之间的函数表达式；
（2）当两车相距 50 km 时，求 x 的值.

(1) 当$2≤x≤8$时,设慢车离乙地的路程$y$与快车行驶的时间$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$,把$(2,0),(8,600)$代入,得$2k+b=0,8k+b=600$,解得$k=100,b=-200$. 所以慢车离乙地的路程$y$与快车行驶的时间$x$之间的函数表达式为$y=100x-200$
(2) 设快车离乙地的路程$y$与快车行驶的时间$x$之间的函数表达式为$y=mx+n$,把$(0,600),(3,0)$代入,得$n=600,3m+n=0$,解得$m=-200,n=600$. 所以快车离乙地的路程$y$与快车行驶的时间$x$之间的函数表达式为$y=-200x+600$. 当两车相距50 km时,$|100x-200-(-200x+600)|=50$,解得$x=\frac{5}{2}$或$x=\frac{17}{6}$. 所以当$x=\frac{5}{2}$或$x=\frac{17}{6}$时,两车相距50 km

【分析】
（1）当$2≤x≤8$时，慢车离乙地的路程$y$与快车行驶时间$x$符合一次函数关系，可设函数表达式为$y=kx+b$，找到图象上对应的两个已知点$(2,0)$和$(8,600)$，代入后解二元一次方程组即可求出$k$、$b$的值，得到函数表达式。
（2）先仿照第一问的方法，用待定系数法求出快车离乙地的路程$y$与$x$的函数表达式；两车相距50km即两车离乙地的路程差的绝对值为50，据此列绝对值方程求解，最后验证解是否符合自变量的取值范围即可。
【解析】
（1）当$2≤x≤8$时，设慢车离乙地的路程$y$与快车行驶时间$x$的函数表达式为$y=kx+b$。
将点$(2,0)$、$(8,600)$代入表达式，得：
$\begin{cases}2k+b=0 \\8k+b=600 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$6k=600$，解得$k=100$。
将$k=100$代入$2k+b=0$，得$200+b=0$，解得$b=-200$。
因此该段慢车的函数表达式为$y=100x-200（2≤x≤8）$。
（2）先求快车的函数表达式，设快车离乙地的路程$y$与$x$的函数表达式为$y=mx+n$。
由图象可知，快车过点$(0,600)$、$(3,0)$，代入得：
$\begin{cases}n=600 \\3m+n=0 \end{cases}$
将$n=600$代入第二个方程，得$3m+600=0$，解得$m=-200$。
因此快车的函数表达式为$y=-200x+600（0≤x≤3）$。
两车相距50km时，两车离乙地的路程差的绝对值为50，列方程得：
$\left|(100x-200)-(-200x+600)\right|=50$
化简绝对值内的式子：$\left|300x-800\right|=50$
分两种情况：
①$300x-800=50$，解得$x=\frac{17}{6}$；
②$300x-800=-50$，解得$x=\frac{5}{2}$。
两个解都在$2≤x≤3$的范围内，均符合题意。
【答案】
（1）$y=100x-200（2≤x≤8）$
（2）$x=\frac{5}{2}$或$x=\frac{17}{6}$
【知识点】
待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，绝对值方程求解
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是先利用图象中的已知点求出两车对应的函数解析式，再根据两车距离的等量关系列方程求解，解题时需注意自变量的取值范围，保证解符合实际意义。
【难度系数】
0.6

18 一次函数$y=k(x-1)(k≠0)$与$y=k(1-x)(k≠0)$在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（）

D

【分析】
要判断两个含参数k的一次函数的图象，我们可以按以下思路思考：
第一步，先将两个函数整理为一次函数的标准形式$y=mx+n$（$m≠0$），方便通过系数判断图象特征；
第二步，找两个函数的公共交点，排除交点不符合的选项：令两个函数的y值相等，可求出公共点坐标，若选项中两直线交点不是该点可直接排除；
第三步，分$k＞0$和$k＜0$两种情况，根据一次函数的性质：当$m＞0$时直线从左到右上升，$m＜0$时直线从左到右下降；$n＞0$时直线与y轴交于正半轴，$n＜0$时交于负半轴，分别判断两个函数经过的象限，匹配符合的选项即可。
【解析】
先化简两个一次函数的解析式：
1. 对$y=k(x-1)$展开得：$y = kx - k$；
2. 对$y=k(1-x)$展开得：$y = -kx + k$。
首先求两函数的公共交点：令$kx - k = -kx + k$，解得$x=1$，代入得$y=0$，因此两个函数的图象都经过点$(1,0)$。
接下来分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时：
函数$y=kx - k$：斜率$k＞0$，直线上升，与y轴交点为$(0,-k)$，$ -k＜0$即交点在y轴负半轴，因此图象过第一、三、四象限；
函数$y=-kx + k$：斜率$-k＜0$，直线下降，与y轴交点为$(0,k)$，$k＞0$即交点在y轴正半轴，因此图象过第一、二、四象限；
② 当$k＜0$时：
函数$y=kx - k$：斜率$k＜0$，直线下降，与y轴交点为$(0,-k)$，$-k＞0$即交点在y轴正半轴，因此图象过第一、二、四象限；
函数$y=-kx + k$：斜率$-k＞0$，直线上升，与y轴交点为$(0,k)$，$k＜0$即交点在y轴负半轴，因此图象过第一、三、四象限。
观察选项，只有D选项符合上述两种情况的图象特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是一次函数图象的常考题型，解题核心是掌握一次函数的斜率、截距与图象走向、所在象限的对应关系，通过先找公共点排除错误选项、再分情况讨论的方法可以快速解题，能较好地考查学生对一次函数性质的掌握情况和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.7

19 在同一平面直角坐标系中，有下列直线：
① $y=x+1$；② $y=2x+1$；③ $y=2x-1$；
④ $y=-2x+1$。下列说法不正确的是()

A.②和③相互平行
B.②可由③平移得到
C.①和④关于y轴对称
D.③和④关于x轴对称

C

【分析】
本题考查一次函数的图象与相关性质，解题思路如下：首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的核心规律：①两直线平行/平移的判断依据是$k$值是否相等；②关于$y$轴对称的两条直线满足$k$互为相反数、$b$值相等；③关于$x$轴对称的两条直线满足$k$互为相反数、$b$也互为相反数，也可通过取特殊点代入验证对称关系。我们逐一分析每个选项，选出说法错误的选项即可。
【解析】
一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k$为斜率，$b$为截距），逐一判断选项：
选项A：②$y=2x+1$的$k=2$，③$y=2x-1$的$k=2$，两直线$k$值相等，因此相互平行，A说法正确，不符合题意。
选项B：平移不改变一次函数的$k$值，将③向上平移2个单位（截距$-1+2=1$）即可得到②，因此②可由③平移得到，B说法正确，不符合题意。
选项C：若两直线关于$y$轴对称，则斜率$k$互为相反数、截距$b$相等。①$y=x+1$的$k=1$，④$y=-2x+1$的$k=-2$，二者不是相反数，因此①和④不关于$y$轴对称，C说法错误，符合题意。
选项D：若两直线关于$x$轴对称，则对任意$x$，两直线对应的$y$值互为相反数。将③的$y$取相反数得$-y=2x-1$，整理得$y=-2x+1$，与④的解析式一致，因此③和④关于$x$轴对称，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数平移，一次函数对称
【点评】
本题属于一次函数基础题型，重点考查对一次函数平行、平移、对称规律的理解，若对规律记忆不清晰，可通过取特殊点代入验证的方法辅助判断，降低出错概率。
【难度系数】
0.7