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20 [2024 通辽]如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=k_{1}x+b_{1}$与$y=k_{2}x+b_{2}$$(k_{1}k_{2}≠0,k_{1},k_{2},b_{1},b_{2}$为常数)的图象分别为直线$l_{1},l_{2}$.下列结论正确的是 (
A.$b_{1}+b_{2}＞0$
B.$b_{1}b_{2}＞0$
C.$k_{1}+k_{2}＜0$
D.$k_{1}k_{2}＜0$
A
)A.$b_{1}+b_{2}＞0$
B.$b_{1}b_{2}＞0$
C.$k_{1}+k_{2}＜0$
D.$k_{1}k_{2}＜0$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一次函数$y=kx+b$中系数$k$、$b$的几何意义：$b$是函数图象与$y$轴交点的纵坐标，$k$的符号由图象的升降决定，图象从左到右上升则$k＞0$，下降则$k＜0$。我们先根据图象分别确定$k_1$、$k_2$的符号，以及$b_1$、$b_2$的取值范围，再逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
1. 确定$b_1$、$b_2$的取值：
直线$l_1$与$y$轴交于点$(0,2)$，因此$b_1=2＞0$；
直线$l_2$与$y$轴交于负半轴，交点纵坐标在$-1$和$0$之间，因此$-1＜b_2＜0$。
2. 验证A选项：
$b_1+b_2=2+b_2$，因为$b_2＞-1$，所以$2+b_2＞2-1=1＞0$，故A正确。
3. 验证B选项：
$b_1＞0$，$b_2＜0$，异号相乘得负，因此$b_1b_2＜0$，故B错误。
4. 确定$k_1$、$k_2$的符号：
直线$l_1$、$l_2$均从左到右呈上升趋势，因此$k_1＞0$，$k_2＞0$。
5. 验证C选项：
两个正数相加结果为正，因此$k_1+k_2＞0$，故C错误。
6. 验证D选项：
两个正数相乘结果为正，因此$k_1k_2＞0$，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，有理数加法运算，有理数乘法运算
【点评】
本题核心是理解一次函数中$k$、$b$的几何意义，结合图象判断系数的符号和取值范围，再结合有理数运算法则就能快速判断选项正误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确一次函数$y=kx+b$中系数$k$、$b$的几何意义：$b$是函数图象与$y$轴交点的纵坐标，$k$的符号由图象的升降决定，图象从左到右上升则$k＞0$，下降则$k＜0$。我们先根据图象分别确定$k_1$、$k_2$的符号，以及$b_1$、$b_2$的取值范围，再逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
1. 确定$b_1$、$b_2$的取值：
直线$l_1$与$y$轴交于点$(0,2)$，因此$b_1=2＞0$；
直线$l_2$与$y$轴交于负半轴，交点纵坐标在$-1$和$0$之间，因此$-1＜b_2＜0$。
2. 验证A选项：
$b_1+b_2=2+b_2$，因为$b_2＞-1$，所以$2+b_2＞2-1=1＞0$，故A正确。
3. 验证B选项：
$b_1＞0$，$b_2＜0$，异号相乘得负，因此$b_1b_2＜0$，故B错误。
4. 确定$k_1$、$k_2$的符号：
直线$l_1$、$l_2$均从左到右呈上升趋势，因此$k_1＞0$，$k_2＞0$。
5. 验证C选项：
两个正数相加结果为正，因此$k_1+k_2＞0$，故C错误。
6. 验证D选项：
两个正数相乘结果为正，因此$k_1k_2＞0$，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，有理数加法运算，有理数乘法运算
【点评】
本题核心是理解一次函数中$k$、$b$的几何意义，结合图象判断系数的符号和取值范围，再结合有理数运算法则就能快速判断选项正误。
【难度系数】
0.7
21 在平面直角坐标系中，若将一次函数 $y=2x+m-1$ 的图象向右平移 3 个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则 $m$ 的值为
7
。答案
7
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，回忆一次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，写出原函数向右平移3个单位后的解析式；第二步，明确正比例函数的特征是常数项为0，据此列方程求解m的值即可。
【解析】
根据一次函数图象平移“左加右减”的规律，将$y=2x+m-1$的图象向右平移3个单位长度后，所得函数解析式为：
$y=2(x-3)+m-1$
整理得：$y=2x + m -7$
∵平移后得到的是正比例函数图象，正比例函数的常数项为0
∴$m-7=0$
解得：$m=7$
【答案】
7
【知识点】
一次函数图象平移规律；正比例函数的定义
【点评】
本题重点考查一次函数的平移变换和正比例函数的基本特征，熟练掌握函数平移规则、牢记正比例函数的形式是解题的核心，解题时注意平移时是对自变量x进行加减操作，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，回忆一次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，写出原函数向右平移3个单位后的解析式；第二步，明确正比例函数的特征是常数项为0，据此列方程求解m的值即可。
【解析】
根据一次函数图象平移“左加右减”的规律，将$y=2x+m-1$的图象向右平移3个单位长度后，所得函数解析式为：
$y=2(x-3)+m-1$
整理得：$y=2x + m -7$
∵平移后得到的是正比例函数图象，正比例函数的常数项为0
∴$m-7=0$
解得：$m=7$
【答案】
7
【知识点】
一次函数图象平移规律；正比例函数的定义
【点评】
本题重点考查一次函数的平移变换和正比例函数的基本特征，熟练掌握函数平移规则、牢记正比例函数的形式是解题的核心，解题时注意平移时是对自变量x进行加减操作，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
22 [2024资阳]小王前往距家2000米的公司参会，先以$v_0$米/分的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分，小王距家的路程$s$（米）与距家的时间$t$（分）之间的函数图象如图所示。若小王全程以$v_0$米/分的速度步行，则他到达时距会议开始还有
5
分。答案
5
解析
【分析】
解题首先要从s-t图象中提取有用信息：首先前10分钟步行路程为800米，可先求出步行速度$v_0$；其次本次出行全程用时16分钟，结合到达时距会议开始还有14分钟，可算出从出发到会议开始的总时长；最后计算全程步行需要的时间，用总时长减去全程步行的时间，即可得到所求的剩余时间。
【解析】
步骤1：求步行速度$v_0$
由图象可知，10分钟步行的路程为800米，根据速度公式得：
$v_0=\frac{800}{10}=80$（米/分）
步骤2：计算从出发到会议开始的总时长
本次出行到达公司用时16分钟，此时距会议开始还有14分钟，因此总时长为：
$16+14=30$（分）
步骤3：计算全程步行所需时间
总路程为2000米，全程步行的时间为：
$t_{\mathrm{步行}}=\frac{2000}{80}=25$（分）
步骤4：计算全程步行到达时距会议开始的时间
$30-25=5$（分）
【答案】
5
【知识点】
1. s-t图象的应用
2. 行程问题计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查对函数图象的解读能力，解题核心是准确从图象中获取路程与时间的对应信息，结合路程、速度、时间的关系计算即可，整体思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.7
解题首先要从s-t图象中提取有用信息：首先前10分钟步行路程为800米，可先求出步行速度$v_0$；其次本次出行全程用时16分钟，结合到达时距会议开始还有14分钟，可算出从出发到会议开始的总时长；最后计算全程步行需要的时间，用总时长减去全程步行的时间，即可得到所求的剩余时间。
【解析】
步骤1：求步行速度$v_0$
由图象可知，10分钟步行的路程为800米，根据速度公式得：
$v_0=\frac{800}{10}=80$（米/分）
步骤2：计算从出发到会议开始的总时长
本次出行到达公司用时16分钟，此时距会议开始还有14分钟，因此总时长为：
$16+14=30$（分）
步骤3：计算全程步行所需时间
总路程为2000米，全程步行的时间为：
$t_{\mathrm{步行}}=\frac{2000}{80}=25$（分）
步骤4：计算全程步行到达时距会议开始的时间
$30-25=5$（分）
【答案】
5
【知识点】
1. s-t图象的应用
2. 行程问题计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查对函数图象的解读能力，解题核心是准确从图象中获取路程与时间的对应信息，结合路程、速度、时间的关系计算即可，整体思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.7
23 甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60 min，气球距离地面的高度 y(m)与气球上升的时间 x(min)之间的函数关系如图所示.有下列说法:① 甲气球上升过程中，y与x之间的函数表达式为 $y=2x+5$；② 上升10 min时，甲气球在乙气球上方；③ 两气球高度差为15 m时，上升时间为50 min；④ 上升60 min时，乙气球距离地面的高度为40 m.其中，错误的是
①②④
（填序号）.答案
①②④
解析
【分析】
本题属于一次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先从函数图像中提取甲、乙两只气球高度随时间变化的已知点坐标，用待定系数法分别求出甲、乙的高度y与上升时间x的函数关系式；第二步，将四个说法分别对应到函数的性质或代入计算，逐个验证正误，最终找出错误的说法。
【解析】
首先求甲、乙的函数解析式：
1. 求甲的解析式：
由图可知甲过点$(0,5)$和$(20,25)$，设$y_甲=k_1x+b_1$，
将$(0,5)$代入得$b_1=5$，
将$(20,25)$、$b_1=5$代入得$25=20k_1+5$，解得$k_1=1$，
故$y_甲=x+5$。
验证①：①中说甲的解析式为$y=2x+5$，与求得的$y_甲=x+5$不符，故①错误。
2. 求乙的解析式：
由图可知乙过点$(0,15)$和$(20,25)$，设$y_乙=k_2x+b_2$，
将$(0,15)$代入得$b_2=15$，
将$(20,25)$、$b_2=15$代入得$25=20k_2+15$，解得$k_2=0.5$，
故$y_乙=0.5x+15$。
验证②：上升10min即$x=10$时，
$y_甲=10+5=15(m)$，$y_乙=0.5×10+15=20(m)$，
此时$y_甲＜y_乙$，乙气球在甲气球上方，故②错误。
验证③：两气球高度差为15m，分两种情况：
情况1：$y_乙-y_甲=15$，即$(0.5x+15)-(x+5)=15$，解得$x=-10$，不符合时间为正的实际情况，舍去；
情况2：$y_甲-y_乙=15$，即$(x+5)-(0.5x+15)=15$，解得$x=50$，符合要求，故③正确。
验证④：上升60min即$x=60$时，
$y_乙=0.5×60+15=45(m)$，不是40m，故④错误。
综上，错误的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图像的意义
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的相关知识，解题核心是准确从图像中提取有效信息求出函数解析式，验证结论时要注意结合自变量的实际取值范围排除不符合要求的解，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.6
本题属于一次函数的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先从函数图像中提取甲、乙两只气球高度随时间变化的已知点坐标，用待定系数法分别求出甲、乙的高度y与上升时间x的函数关系式；第二步，将四个说法分别对应到函数的性质或代入计算，逐个验证正误，最终找出错误的说法。
【解析】
首先求甲、乙的函数解析式：
1. 求甲的解析式：
由图可知甲过点$(0,5)$和$(20,25)$，设$y_甲=k_1x+b_1$，
将$(0,5)$代入得$b_1=5$，
将$(20,25)$、$b_1=5$代入得$25=20k_1+5$，解得$k_1=1$，
故$y_甲=x+5$。
验证①：①中说甲的解析式为$y=2x+5$，与求得的$y_甲=x+5$不符，故①错误。
2. 求乙的解析式：
由图可知乙过点$(0,15)$和$(20,25)$，设$y_乙=k_2x+b_2$，
将$(0,15)$代入得$b_2=15$，
将$(20,25)$、$b_2=15$代入得$25=20k_2+15$，解得$k_2=0.5$，
故$y_乙=0.5x+15$。
验证②：上升10min即$x=10$时，
$y_甲=10+5=15(m)$，$y_乙=0.5×10+15=20(m)$，
此时$y_甲＜y_乙$，乙气球在甲气球上方，故②错误。
验证③：两气球高度差为15m，分两种情况：
情况1：$y_乙-y_甲=15$，即$(0.5x+15)-(x+5)=15$，解得$x=-10$，不符合时间为正的实际情况，舍去；
情况2：$y_甲-y_乙=15$，即$(x+5)-(0.5x+15)=15$，解得$x=50$，符合要求，故③正确。
验证④：上升60min即$x=60$时，
$y_乙=0.5×60+15=45(m)$，不是40m，故④错误。
综上，错误的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图像的意义
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的相关知识，解题核心是准确从图像中提取有效信息求出函数解析式，验证结论时要注意结合自变量的实际取值范围排除不符合要求的解，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.6
24 某校计划购买一批篆刻石料，已知甲、乙两个商家的标价相同，但甲商家提出：若购买一张会员卡，则每块篆刻石料打七折；乙商家提出：每块篆刻石料按标价的九折出售。设购买篆刻石料的数量为$x$块，购买费用为$y$元，则在甲商家购买的费用$y$关于$x$的函数表达式为$y=7x+100$，在乙商家购买的费用$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），其函数图象如图所示。
（1）甲商家一张会员卡的价格为
（2）两个函数图象的交点$A$的坐标为
（3）若该校准备购买40块篆刻石料，则选择哪个商家比较合算？请说明理由。
（4）若本次购买篆刻石料的经费有800元，则选择哪个商家购买的篆刻石料数量更多？
（1）甲商家一张会员卡的价格为
100
元，每块篆刻石料的标价为10
元，$k=$9
。（2）两个函数图象的交点$A$的坐标为
$(50,450)$
，该点表示的实际意义是当购买篆刻石料的数量为50块时，在甲、乙两个商家购买的费用相同，均为450元
。（3）若该校准备购买40块篆刻石料，则选择哪个商家比较合算？请说明理由。
（4）若本次购买篆刻石料的经费有800元，则选择哪个商家购买的篆刻石料数量更多？
答案
(1) 100 10 9
(2) $(50,450)$ 当购买篆刻石料的数量为50块时，在甲、乙两个商家购买的费用相同，均为450元
(3) 选择乙商家比较合算 理由:当$x=40$时,甲商家:$y=7x+100=7×40+100=380$,乙商家:$y=9x=9×40=360$. 因为$360＜380$,所以选择乙商家比较合算.
(4) 当$7x+100=800$时,$x=100$;当$9x=800$时,$x=\frac{800}{9}$. 因为$100＞\frac{800}{9}$,所以选择甲商家购买的篆刻石料数量更多
(2) $(50,450)$ 当购买篆刻石料的数量为50块时，在甲、乙两个商家购买的费用相同，均为450元
(3) 选择乙商家比较合算 理由:当$x=40$时,甲商家:$y=7x+100=7×40+100=380$,乙商家:$y=9x=9×40=360$. 因为$360＜380$,所以选择乙商家比较合算.
(4) 当$7x+100=800$时,$x=100$;当$9x=800$时,$x=\frac{800}{9}$. 因为$100＞\frac{800}{9}$,所以选择甲商家购买的篆刻石料数量更多
解析
【分析】
（1）甲商家的费用函数由固定费用和可变费用组成，x=0时的y值就是固定的会员卡价格；已知七折后每块石料费用为7元，用折后价除以折扣即可得到石料标价；乙商家按标价九折出售，用标价乘折扣即可得到k值。
（2）两个函数图象的交点对应两个函数值相等的情况，联立两个函数解析式解方程就能得到交点坐标，该点的实际意义是购买对应数量的石料时，两家花费相同。
（3）判断购买40块石料哪家合算，只需将x=40分别代入两个函数，计算出对应的费用后比较大小，费用更低的商家更合算。
（4）经费为800元即y=800，将y=800分别代入两个函数求出对应的x值，x更大的商家可购买的石料数量更多。
【解析】
（1）甲商家函数$y=7x+100$中，当$x=0$时$y=100$，即会员卡价格为100元；
七折后每块石料价格为7元，因此石料标价为$7÷0.7=10$元；
乙商家每块石料打九折，单价为$10×0.9=9$元，因此$k=9$。
（2）联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=7x+100\\y=9x\end{cases}$
解方程得$9x=7x+100$，$2x=100$，$x=50$，代入$y=9x$得$y=450$，即交点$A$坐标为$(50,450)$，表示当购买50块篆刻石料时，在甲、乙两个商家购买的费用相同，均为450元。
（3）当$x=40$时：
甲商家费用：$y_甲=7×40+100=380$元
乙商家费用：$y_乙=9×40=360$元
因为$360＜380$，所以乙商家费用更低。
（4）当$y=800$时：
代入甲商家函数：$800=7x+100$，解得$x=100$
代入乙商家函数：$800=9x$，解得$x=\frac{800}{9}$
因为$100＞\frac{800}{9}$，所以甲商家可购买的石料数量更多。
【答案】
(1) 100 10 9
(2) $(50,450)$ 当购买篆刻石料的数量为50块时，在甲、乙两个商家购买的费用相同，均为450元
(3) 选择乙商家比较合算 理由:当$x=40$时,甲商家:$y=7x+100=7×40+100=380$,乙商家:$y=9x=9×40=360$. 因为$360＜380$,所以选择乙商家比较合算.
(4) 当$7x+100=800$时,$x=100$;当$9x=800$时,$x=\frac{800}{9}$. 因为$100＞\frac{800}{9}$,所以选择甲商家购买的篆刻石料数量更多
【知识点】
一次函数的应用，一次函数图象交点，方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费场景，考查一次函数的实际应用，要求学生理解函数表达式各项的实际意义，能通过联立方程、代入求值比较大小解决实际的方案决策问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
（1）甲商家的费用函数由固定费用和可变费用组成，x=0时的y值就是固定的会员卡价格；已知七折后每块石料费用为7元，用折后价除以折扣即可得到石料标价；乙商家按标价九折出售，用标价乘折扣即可得到k值。
（2）两个函数图象的交点对应两个函数值相等的情况，联立两个函数解析式解方程就能得到交点坐标，该点的实际意义是购买对应数量的石料时，两家花费相同。
（3）判断购买40块石料哪家合算，只需将x=40分别代入两个函数，计算出对应的费用后比较大小，费用更低的商家更合算。
（4）经费为800元即y=800，将y=800分别代入两个函数求出对应的x值，x更大的商家可购买的石料数量更多。
【解析】
（1）甲商家函数$y=7x+100$中，当$x=0$时$y=100$，即会员卡价格为100元；
七折后每块石料价格为7元，因此石料标价为$7÷0.7=10$元；
乙商家每块石料打九折，单价为$10×0.9=9$元，因此$k=9$。
（2）联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=7x+100\\y=9x\end{cases}$
解方程得$9x=7x+100$，$2x=100$，$x=50$，代入$y=9x$得$y=450$，即交点$A$坐标为$(50,450)$，表示当购买50块篆刻石料时，在甲、乙两个商家购买的费用相同，均为450元。
（3）当$x=40$时：
甲商家费用：$y_甲=7×40+100=380$元
乙商家费用：$y_乙=9×40=360$元
因为$360＜380$，所以乙商家费用更低。
（4）当$y=800$时：
代入甲商家函数：$800=7x+100$，解得$x=100$
代入乙商家函数：$800=9x$，解得$x=\frac{800}{9}$
因为$100＞\frac{800}{9}$，所以甲商家可购买的石料数量更多。
【答案】
(1) 100 10 9
(2) $(50,450)$ 当购买篆刻石料的数量为50块时，在甲、乙两个商家购买的费用相同，均为450元
(3) 选择乙商家比较合算 理由:当$x=40$时,甲商家:$y=7x+100=7×40+100=380$,乙商家:$y=9x=9×40=360$. 因为$360＜380$,所以选择乙商家比较合算.
(4) 当$7x+100=800$时,$x=100$;当$9x=800$时,$x=\frac{800}{9}$. 因为$100＞\frac{800}{9}$,所以选择甲商家购买的篆刻石料数量更多
【知识点】
一次函数的应用，一次函数图象交点，方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费场景，考查一次函数的实际应用，要求学生理解函数表达式各项的实际意义，能通过联立方程、代入求值比较大小解决实际的方案决策问题，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
