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1 如图，M是线段AB上一点，点C在线段AM上，点D在线段BM上。点C，D分别从点M，B出发，分别以1 cm/s，2 cm/s的速度沿BA向左运动。
（1）若AB=20 cm，当点C，D运动了2 s时，求AC+MD的长度；
（2）当点C，D运动时，总有MD=2AC，设AM=n cm，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且MN+BN=AN，求$\frac{AB}{MN}$的值。
（1）若AB=20 cm，当点C，D运动了2 s时，求AC+MD的长度；
（2）当点C，D运动时，总有MD=2AC，设AM=n cm，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且MN+BN=AN，求$\frac{AB}{MN}$的值。
答案
1. (1) $AC+MD=AB-MC-BD=20-2×1-2×2=14(\mathrm{cm})$
(2) 设$BM=x$ cm，运动时间为$t$ s. 由题意，得$x-2t=2(n-t)$，所以$x=2n$. 所以$AB=AM+BM=3n$ cm
(3) 如图①，当点N在线段BM上时，设$MN=y$ cm. 由题意，得$y+2n-y=n+y$，解得$y=n$. 所以$MN=n$ cm. 因为$AB=3n$ cm，所以$\frac{AB}{MN}=3$.
如图②，当点N在线段AB的延长线上时，设$MN=z$ cm. 由题意，得$z+z-2n=n+z$，解得$z=3n$. 所以$MN=AB=3n$ cm. 所以$\frac{AB}{MN}=1$. 综上所述，$\frac{AB}{MN}$的值为3或1
解析
【分析】
（1）先根据点C、D的运动速度和时间求出CM和BD的长度，结合线段和差关系可知$AC+MD=AB-MC-BD$，代入数值即可计算结果。
（2）设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，$BM=x\ \mathrm{cm}$，分别用含$t$、$x$、$n$的式子表示$MD$和$AC$，根据$MD=2AC$列等式，化简消去$t$求出$BM$的长度，再由$AB=AM+BM$即可求出$AB$。
（3）分两种情况讨论：①点N在线段BM上；②点N在线段AB的延长线上，分别设MN的长度为未知数，根据$MN+BN=AN$列方程求解，最后计算AB与MN的比值即可。
【解析】
（1）已知点C的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，点D的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$2\ \mathrm{s}$，因此：
$MC=1×2=2\ \mathrm{cm}$，$BD=2×2=4\ \mathrm{cm}$
由线段和差关系可得：
$AC+MD=(AM-MC)+(BM-BD)=AB-MC-BD$
代入$AB=20\ \mathrm{cm}$得：
$AC+MD=20-2-4=14\ \mathrm{cm}$
（2）设$BM=x\ \mathrm{cm}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$MD=x-2t$，$AC=n-t$。
根据题意$MD=2AC$，列等式：
$x-2t=2(n-t)$
化简得$x-2t=2n-2t$，即$x=2n$
因此$AB=AM+BM=n+2n=3n\ \mathrm{cm}$
（3）分两种情况讨论：
①如图①，当点N在线段BM上时，设$MN=y\ \mathrm{cm}$，则$BN=2n-y$，$AN=n+y$。
根据$MN+BN=AN$列方程：
$y+(2n-y)=n+y$
解得$y=n$，即$MN=n\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{AB}{MN}=\frac{3n}{n}=3$。
②如图②，当点N在线段AB的延长线上时，设$MN=z\ \mathrm{cm}$，则$BN=z-2n$，$AN=n+z$。
根据$MN+BN=AN$列方程：
$z+(z-2n)=n+z$
解得$z=3n$，即$MN=3n\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{AB}{MN}=\frac{3n}{3n}=1$。
综上，$\frac{AB}{MN}$的值为3或1。
【答案】
(1) $AC+MD=14\mathrm{cm}$
(2) $AB=3n$ cm
(3) $\frac{AB}{MN}$的值为3或1
【知识点】
线段和差计算，动点问题，分类讨论
【点评】
本题是线段动态计算的典型习题，重点考查线段和差关系的应用，解决动点问题时要注意用运动时间表示对应线段长度，涉及点在直线上的位置问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）先根据点C、D的运动速度和时间求出CM和BD的长度，结合线段和差关系可知$AC+MD=AB-MC-BD$，代入数值即可计算结果。
（2）设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，$BM=x\ \mathrm{cm}$，分别用含$t$、$x$、$n$的式子表示$MD$和$AC$，根据$MD=2AC$列等式，化简消去$t$求出$BM$的长度，再由$AB=AM+BM$即可求出$AB$。
（3）分两种情况讨论：①点N在线段BM上；②点N在线段AB的延长线上，分别设MN的长度为未知数，根据$MN+BN=AN$列方程求解，最后计算AB与MN的比值即可。
【解析】
（1）已知点C的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，点D的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$2\ \mathrm{s}$，因此：
$MC=1×2=2\ \mathrm{cm}$，$BD=2×2=4\ \mathrm{cm}$
由线段和差关系可得：
$AC+MD=(AM-MC)+(BM-BD)=AB-MC-BD$
代入$AB=20\ \mathrm{cm}$得：
$AC+MD=20-2-4=14\ \mathrm{cm}$
（2）设$BM=x\ \mathrm{cm}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$MD=x-2t$，$AC=n-t$。
根据题意$MD=2AC$，列等式：
$x-2t=2(n-t)$
化简得$x-2t=2n-2t$，即$x=2n$
因此$AB=AM+BM=n+2n=3n\ \mathrm{cm}$
（3）分两种情况讨论：
①如图①，当点N在线段BM上时，设$MN=y\ \mathrm{cm}$，则$BN=2n-y$，$AN=n+y$。
根据$MN+BN=AN$列方程：
$y+(2n-y)=n+y$
解得$y=n$，即$MN=n\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{AB}{MN}=\frac{3n}{n}=3$。
②如图②，当点N在线段AB的延长线上时，设$MN=z\ \mathrm{cm}$，则$BN=z-2n$，$AN=n+z$。
根据$MN+BN=AN$列方程：
$z+(z-2n)=n+z$
解得$z=3n$，即$MN=3n\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{AB}{MN}=\frac{3n}{3n}=1$。
综上，$\frac{AB}{MN}$的值为3或1。
【答案】
(1) $AC+MD=14\mathrm{cm}$
(2) $AB=3n$ cm
(3) $\frac{AB}{MN}$的值为3或1
【知识点】
线段和差计算，动点问题，分类讨论
【点评】
本题是线段动态计算的典型习题，重点考查线段和差关系的应用，解决动点问题时要注意用运动时间表示对应线段长度，涉及点在直线上的位置问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2 如图，C 是线段 AB 上一点，AB＝20 cm，BC＝8 cm，点 P 从点 A 出发，以 2 cm/s 的速度沿 AB 向右运动，终点为 B；点 Q 从点 B 出发，以 1 cm/s 的速度沿 BA 向左运动，终点为 A。已知 P，Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设点 P 的运动时间为 x s。
（1）AC＝
（2）当 x＝
（3）是否存在某一时刻，使得 C，P，Q 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由。
（1）AC＝
12
cm。（2）当 x＝
$\frac{20}{3}$
时，P，Q 两点重合。（3）是否存在某一时刻，使得 C，P，Q 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由。
答案
2. (1) 12 (2) $\frac{20}{3}$ (3) 存在 由题意知，$AP=2x$ cm，$BQ=x$ cm. ① 当C是线段PQ的中点时，得$12-2x=8-x$，解得$x=4$；② 当P为线段CQ的中点时，得$2x-12=\frac{1}{2}(8-x)$，解得$x=\frac{32}{5}$；③ 当Q为线段PC的中点时，得$2x+x-20=8-x$，解得$x=7$. 综上所述，$x$的值为4或$\frac{32}{5}$或7
解析
【分析】
（1）根据线段和差关系，AC的长度等于AB总长减去BC的长度，直接代入数值计算即可；
（2）P、Q两点重合为相遇问题，两者运动的路程之和等于AB的总长度，据此列一元一次方程求解即可；
（3）需分三种情况讨论：①C为PQ的中点，此时PC=CQ；②P为CQ的中点，此时CP=PQ；③Q为PC的中点，此时CQ=QP。结合每种情况对应的线段等量关系列方程，再根据两点的运动终止条件（P10s到达终点，Q20s到达终点，故x的取值范围为$0≤ x≤10$）检验解是否符合要求即可。
【解析】
（1）已知$AB=20\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，由线段和差可得：
$AC=AB-BC=20-8=12\ \mathrm{cm}$
（2）设运动时间为$x\ \mathrm{s}$时P、Q重合，此时P运动路程为$2x\ \mathrm{cm}$，Q运动路程为$x\ \mathrm{cm}$，两者路程和等于AB总长：
$2x+x=20$
解得$x=\frac{20}{3}$
（3）存在，理由如下：
点P到达终点B的时间为$20÷2=10\ \mathrm{s}$，点Q到达终点A的时间为$20÷1=20\ \mathrm{s}$，因此x的取值范围为$0≤ x≤10$，运动过程中$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$。
① 当C是线段PQ的中点时，$PC=CQ$，其中$PC=AC-AP=12-2x$，$CQ=BC-BQ=8-x$，列方程：
$12-2x=8-x$
解得$x=4$，符合$0≤ x≤10$；
② 当P是线段CQ的中点时，$CP=\frac{1}{2}CQ$，其中$CP=AP-AC=2x-12$，$CQ=8-x$，列方程：
$2x-12=\frac{1}{2}(8-x)$
解得$x=\frac{32}{5}$，符合$0≤ x≤10$；
③ 当Q是线段PC的中点时，$CQ=\frac{1}{2}PC$，结合线段位置可得$2x+x-20=8-x$，解方程：
$3x-20=8-x$
$4x=28$
解得$x=7$，符合$0≤ x≤10$。
综上，满足条件的x的值存在。
【答案】
(1) $\boxed{12}$
(2) $\boxed{\frac{20}{3}}$
(3) 存在，$x$的值为$\boxed{4}$或$\boxed{\frac{32}{5}}$或$\boxed{7}$
【知识点】
线段中点定义，一元一次方程的应用，线段的和差计算
【点评】
本题是线段动态问题的典型考题，解题核心是结合运动过程对中点的不同情况分类讨论，根据线段的等量关系列方程求解，同时需注意结合运动的终止条件检验解的合理性，可有效锻炼分类讨论思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）根据线段和差关系，AC的长度等于AB总长减去BC的长度，直接代入数值计算即可；
（2）P、Q两点重合为相遇问题，两者运动的路程之和等于AB的总长度，据此列一元一次方程求解即可；
（3）需分三种情况讨论：①C为PQ的中点，此时PC=CQ；②P为CQ的中点，此时CP=PQ；③Q为PC的中点，此时CQ=QP。结合每种情况对应的线段等量关系列方程，再根据两点的运动终止条件（P10s到达终点，Q20s到达终点，故x的取值范围为$0≤ x≤10$）检验解是否符合要求即可。
【解析】
（1）已知$AB=20\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，由线段和差可得：
$AC=AB-BC=20-8=12\ \mathrm{cm}$
（2）设运动时间为$x\ \mathrm{s}$时P、Q重合，此时P运动路程为$2x\ \mathrm{cm}$，Q运动路程为$x\ \mathrm{cm}$，两者路程和等于AB总长：
$2x+x=20$
解得$x=\frac{20}{3}$
（3）存在，理由如下：
点P到达终点B的时间为$20÷2=10\ \mathrm{s}$，点Q到达终点A的时间为$20÷1=20\ \mathrm{s}$，因此x的取值范围为$0≤ x≤10$，运动过程中$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$。
① 当C是线段PQ的中点时，$PC=CQ$，其中$PC=AC-AP=12-2x$，$CQ=BC-BQ=8-x$，列方程：
$12-2x=8-x$
解得$x=4$，符合$0≤ x≤10$；
② 当P是线段CQ的中点时，$CP=\frac{1}{2}CQ$，其中$CP=AP-AC=2x-12$，$CQ=8-x$，列方程：
$2x-12=\frac{1}{2}(8-x)$
解得$x=\frac{32}{5}$，符合$0≤ x≤10$；
③ 当Q是线段PC的中点时，$CQ=\frac{1}{2}PC$，结合线段位置可得$2x+x-20=8-x$，解方程：
$3x-20=8-x$
$4x=28$
解得$x=7$，符合$0≤ x≤10$。
综上，满足条件的x的值存在。
【答案】
(1) $\boxed{12}$
(2) $\boxed{\frac{20}{3}}$
(3) 存在，$x$的值为$\boxed{4}$或$\boxed{\frac{32}{5}}$或$\boxed{7}$
【知识点】
线段中点定义，一元一次方程的应用，线段的和差计算
【点评】
本题是线段动态问题的典型考题，解题核心是结合运动过程对中点的不同情况分类讨论，根据线段的等量关系列方程求解，同时需注意结合运动的终止条件检验解的合理性，可有效锻炼分类讨论思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
