3 O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
（1）如图①，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数；
（2）如图②，若∠DOE＝α，求∠AOC的度数（用含α的式子表示），并探究∠DOE与∠AOC之间的数量关系.

3. (1) 因为$∠ COD=90°$，$∠ DOE=25°$，所以$∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-25°=65°$. 又因为OE平分$∠ BOC$，所以$∠ BOC=2∠ COE=130°$. 所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-130°=50°$
(2) 因为$∠ COD=90°$，$∠ DOE=α$，所以$∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-α$. 又因为OE平分$∠ BOC$，所以$∠ BOC=2∠ COE=180°-2α$. 所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-(180°-2α)=2α$. 所以$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOC$

【分析】
（1）解第一问时，首先根据直角∠COD的度数和已知的∠DOE的度数，通过角的差运算求出∠COE的度数；再利用OE是∠BOC的角平分线的性质，得到∠BOC为∠COE的2倍，计算出∠BOC的度数；最后结合AB是直线，∠AOC与∠BOC组成平角，用180°减去∠BOC的度数，即可得到∠AOC的度数。
（2）第二问的解题思路和第一问完全一致，仅将具体的∠DOE=25°替换为∠DOE=α，按照相同的步骤推导即可得到用α表示的∠AOC的度数，对比两者的表达式就能得出二者的数量关系。
【解析】
（1）已知∠COD是直角，因此∠COD=90°，
∵∠DOE=25°，
∴∠COE = ∠COD - ∠DOE = 90° - 25° = 65°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC = 2∠COE = 2×65° = 130°，
∵O是直线AB上一点，∠AOB为平角，度数是180°，
∴∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 130° = 50°。
（2）
∵∠COD=90°，∠DOE=α，
∴∠COE = ∠COD - ∠DOE = 90° - α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC = 2∠COE = 2×(90° - α) = 180° - 2α，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - (180° - 2α) = 2α，
由此可得∠DOE和∠AOC的数量关系：∠DOE = $\frac{1}{2}$∠AOC。
【答案】
（1）$\boxed{50°}$
（2）∠AOC=$\boxed{2α}$，数量关系为$\boxed{∠DOE=\frac{1}{2}∠AOC}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是梳理清楚图中各角的和差关系，结合直角、平角、角平分线的性质逐步推导即可，掌握此类题的推导逻辑能够为后续复杂的角度计算问题打下基础。
【难度系数】
0.7

4 如图①,射线 OC 在∠AOB 的内部,图中共有三个角,即∠AOC,∠AOB,∠BOC.若上述三个角中有一个角的度数是另外一个角度数的一半,则称射线 OC 为∠AOB 的“优线”.
(1) 一个角的平分线这个角的“优线”(填“是”或“不是”);一个角共有条“优线”.
(2) 若∠AOB=60°,射线 OC 为∠AOB 的“优线”,则∠AOC 的度数为.
(3) 如图②,∠AOB=120°,射线 OP 从 OA 处出发,绕点 O 以每秒 2°的速度按顺时针方向旋转,射线 OQ 从 OB 处出发,绕点 O 以每秒 1°的速度按逆时针方向旋转,两条射线同时旋转,至 OP,OQ 相遇时停止,设旋转的时间为 t s,问:当 t 为何值时,射线 OP 是∠AOQ 的“优线”?

4. (1) 是 3 (2) $30°$或$20°$或$40°$ (3) 根据题意，得$∠ AOP=(2t)°$，$∠ BOQ=t°$，则$∠ AOQ=∠ AOB-∠ BOQ=(120-t)°$，$∠ POQ=∠ AOQ-∠ AOP=(120-3t)°$. ① 当$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOQ$时，即$2t=\frac{1}{2}(120-t)$，解得$t=24$(经检验，符合题意). ② 当$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ POQ$时，即$2t=\frac{1}{2}(120-3t)$，解得$t=\frac{120}{7}$(经检验，符合题意). ③ 当$∠ POQ=\frac{1}{2}∠ AOP$时，即$120-3t=t$，解得$t=30$(经检验，符合题意). 综上所述，当$t$的值为24或$\frac{120}{7}$或30时，射线OP是$∠ AOQ$的“优线”

【分析】
（1）首先明确“优线”定义：角内部的射线将角分为两个小角，若三个角（两个小角、原大角）中有一个角是另一个角的一半，则该射线为原角的优线。角平分线将原角分成两个相等的小角，每个小角都是原角的一半，满足优线定义。再考虑优线的数量：分三类情况，①一个小角是另一个小角的一半（共两种位置），②小角是原大角的一半（即角平分线），因此共3条优线。
（2）已知∠AOB=60°，OC为优线，分三类讨论：①OC是角平分线，∠AOC为原角的一半；②∠AOC是∠BOC的一半，此时∠AOC占总角的$\frac{1}{3}$；③∠BOC是∠AOC的一半，此时∠AOC占总角的$\frac{2}{3}$，分别计算即可。
（3）先根据旋转速度和时间表示出各角度数：$∠ AOP=(2t)°$，$∠ BOQ=t°$，再通过角的和差得到$∠ AOQ=(120-t)°$、$∠ POQ=(120-3t)°$，再按照优线的定义分三类列方程求解，最后验证解是否在相遇前的时间范围内即可。
【解析】
(1) 角平分线将原角分成两个相等的小角，每个小角的度数都是原角度数的一半，满足“优线”的定义，因此一个角的平分线是这个角的“优线”。
根据“优线”的定义，可得到3条符合要求的射线：①射线将原角分成1:2的两个角（较小角靠近角的一边）；②射线是角的平分线；③射线将原角分成2:1的两个角（较大角靠近角的一边），因此一个角共有3条“优线”。
(2) 当∠AOB=60°，OC为“优线”时，分3种情况：
① 若$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，设$∠ AOC=x$，则$∠ BOC=2x$，$x+2x=60°$，解得$x=20°$，即$∠ AOC=20°$；
② 若$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$，此时OC为角平分线，$∠ AOC=\frac{1}{2}×60°=30°$；
③ 若$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，设$∠ BOC=x$，则$∠ AOC=2x$，$x+2x=60°$，解得$x=20°$，即$∠ AOC=40°$。
因此$∠ AOC$的度数为$20°$或$30°$或$40°$。
(3) 由题意得，旋转t秒时，$∠ AOP=(2t)°$，$∠ BOQ=t°$，
则$∠ AOQ=∠ AOB - ∠ BOQ = (120 - t)°$，
$∠ POQ=∠ AOQ - ∠ AOP = (120 - t - 2t)° = (120 - 3t)°$。
两条射线相遇时，$2t + t = 120$，解得$t=40$，故t的取值范围是$0≤ t≤40$。
根据“优线”定义分3种情况：
① 当$∠ AOP = \frac{1}{2}∠ AOQ$时，$2t = \frac{1}{2}(120 - t)$，
解得$t=24$，$24＜40$，符合题意；
② 当$∠ AOP = \frac{1}{2}∠ POQ$时，$2t = \frac{1}{2}(120 - 3t)$，
解得$t=\frac{120}{7}$，$\frac{120}{7}＜40$，符合题意；
③ 当$∠ POQ = \frac{1}{2}∠ AOP$时，$120 - 3t = \frac{1}{2}×2t$，即$120-3t=t$，
解得$t=30$，$30＜40$，符合题意。
综上，t的值为24或$\frac{120}{7}$或30。
【答案】
(1) 是；3
(2) $20°$或$30°$或$40°$
(3) $t$的值为$24$或$\frac{120}{7}$或$30$
【知识点】
角的和差计算；新定义问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题为新定义结合角的动态旋转的题型，解题核心是准确理解“优线”的定义，对符合定义的情况做到不重不漏分类讨论，同时能将动态旋转过程中角的度数用含参数的代数式表示，再列方程求解，最后要注意验证解是否符合实际运动范围。
【难度系数】
0.6