1. 新趋势 推导探究 如图，一个点从数轴上的原点O开始，先向左移动3 cm到达点A，再向右移动4 cm到达点B，最后向右移动$\frac{7}{2}$ cm到达点C. 数轴上一个单位长度表示1 cm.
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
（2）若把点C到点A的距离记为CA，则CA=cm；
（3）若点A沿数轴以3 cm/s的速度向右运动，则经过多长时间后点A到点C的距离为3 cm？
（4）已知点A以1 cm/s的速度向左移动，同时B，C两点分别以4 cm/s，9 cm/s的速度向右移动. 设移动的时间为t s，试探索：BA－CB的值是否会随着t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出BA－CB的值.（BA表示点B到点A的距离，CB表示点C到点B的距离）

1. (1) 由题意,得点A表示的数为-3,点B表示的数为1,点C表示的数为$\frac{9}{2}$,则A,B,C三点在数轴上的位置如所示。
(2) $\frac{15}{2}$ 解析:由(1),得点A表示的数为-3,点C表示的数为$\frac{9}{2}$,所以$CA=\frac{9}{2}-(-3)=\frac{15}{2}$(cm)。
(3) 设经过x s后点A到点C的距离为3 cm.分类讨论如下:① 当点A在点C的左侧时,$\frac{15}{2}-3x=3$,解得$x=\frac{3}{2}$;② 当点A在点C的右侧时,$3x-\frac{15}{2}=3$,解得$x=\frac{7}{2}$.综上所述,经过$\frac{3}{2}$ s或$\frac{7}{2}$ s后点A到点C的距离为3 cm。
(4) 由题意,得移动前,$BA=4\ \mathrm{cm}$,$CB=\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$. 因为移动t s后,$BA=4+t+4t=(4+5t)\ \mathrm{cm}$,$CB=9t-4t+\frac{7}{2}=(5t+\frac{7}{2})\ \mathrm{cm}$,所以$BA-CB=(4+5t)-(5t+\frac{7}{2})=\frac{1}{2}\ (\mathrm{cm})$,所以$BA-CB$的值不会随着t的变化而改变,且$BA-CB=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$。

2. 新素养 推理能力 如图，已知等边三角形ABC的边长为12 cm，甲、乙两动点同时从顶点A出发，甲以1 cm/s的速度沿等边三角形的边按顺时针方向移动，乙以3 cm/s的速度沿等边三角形的边按逆时针方向移动，相遇后甲、乙的速度均增加1 cm/s且都反向运动，则第二次相遇时乙与最近顶点的距离是 cm.

2. 3 解析:设经过x s甲、乙两点第一次相遇. 由题意,得$(1+3)x=12×3$,解得$x=9$,则第一次相遇时甲、乙两点都在边AC上,且与点A的距离是9 cm. 因为第一次相遇后甲的速度为$1+1=2(\mathrm{cm/s})$,乙的速度为$3+1=4(\mathrm{cm/s})$,所以设又经过y s甲、乙两点第二次相遇,则$(2+4)y=12×3$,解得$y=6$,则$2y=12$,所以$12-9=3(\mathrm{cm})$,所以第二次相遇时甲、乙两点都在边AB上,且与点A的距离是3 cm,所以第二次相遇时乙与最近顶点的距离是3 cm.

3. 已知数轴上三点A,B,C表示的数分别为-12,-5,5,P,Q两点分别从A,C两点同时出发,相向而行,点P的速度为4个单位长度/秒,点Q的速度为6个单位长度/秒,设运动的时间为t s.
(1) 点A与点C之间的距离为;
(2) 点P表示的数为,点Q表示的数为,点P,Q在数轴上的相遇位置表示的数为;
(3) 当点P到A,B,C三点的距离之和为20个单位长度时,点P立即调头返回,速度不变.点P,Q还能在数轴上相遇吗?若能,请求出相遇点表示的数;若不能,请说明理由.

3. (1) 17 解析:点A与点C之间的距离为$5-(-12)=17$。
(2) $-12+4t$ $5-6t$ $-\frac{26}{5}$ 解析:由题意,得点P表示的数为$-12+4t$,点Q表示的数为$5-6t$.令$-12+4t=5-6t$,解得$t=\frac{17}{10}$,则$5-6t=-\frac{26}{5}$,所以点P,Q在数轴上的相遇位置表示的数为$-\frac{26}{5}$。
(3) 当点P到A,B,C三点的距离之和为20个单位长度时,设点P表示的数为m. 若点P在线段AB上,则$-5-(-12)+(5-m)=20$,解得$m=-8$,所以当点P表示的数为-8时,点P立即调头返回,此时$-12+4t=-8$,解得$t=1$,所以此时点Q表示的数为$5-6×1=-1$. 设点P调头返回后经过n s,点P,Q相遇. 由题意,得$-8-4n=-1-6n$,解得$n=\frac{7}{2}$,则$-8-4n=-22$,所以相遇点表示的数为-22. 故点P,Q还能在数轴上相遇,且相遇点表示的数为-22.

4. 已知数轴上三点A,O,B表示的数分别为6,0,-4，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动。另一动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动。若点P,R同时出发，则点P运动s时追上点R。

4. 5 解析:设点P运动x s时追上点R. 由题意,得$-4-4t=6-6t$,解得$t=5$. 故点P运动5 s时追上点R.